高二阶段考试数学试题 含答案.docx
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高二阶段考试数学试题含答案
2021年高二5月阶段考试数学试题含答案
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．命题“，”的否定是▲．
2．设复数满足（为虚数单位），则的实部为▲．
3．某校高一年级有400人，高二年级有600人，高三年级有500人，现要采取分层抽样的方法从全校学生中选出100名学生进行问卷调查，那么抽出的样本中高二年级的学生人数为▲．
4．“”是“”的▲条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）.
5．一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为▲．
6．根据如图所示的伪代码，可知输出的S的值为▲．
7．在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程
为▲．
8．已知点在不等式组所表示
的平面区域内，则的最大值为▲．
9．已知，，，….，
类比这些等式，若（均为正实数），则=▲．
10．（理科学生做）已知展开式中所有项的二项式系数和为32，则其展开式中的常数项为▲．
（文科学生做）已知平面向量满足，，，则向量夹角的余弦值为▲．
11．（理科学生做）现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有▲种不同的选派方案.（用数字作答）
（文科学生做）设函数是奇函数，则实数的值为▲．
12．设正实数满足，则当取得最大值时，的值为
▲．
13．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是▲．
14．设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为▲．
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
（理科学生做）设某地区型血的人数占总人口数的比为，现从中随机抽取3人.
（1）求3人中恰有2人为型血的概率；
（2）记型血的人数为，求的概率分布与数学期望.
（文科学生做）给定两个命题，：
对任意实数都有恒成立；：
．如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围．
16．（本小题满分14分）
（理科学生做）设数列满足，.
（1）求；
（2）先猜想出的一个通项公式，再用数学归纳法证明你的猜想.
（文科学生做）已知函数（）的一段图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调增区间；
（3）若，求函数的值域.
17．（本小题满分14分）
（理科学生做）如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，且.
（1）求直线与所成角的大小；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（文科学生做）设函数.
（1）用反证法证明：
函数不可能为偶函数；
（2）求证：
函数在上单调递减的充要条件是.
18．（本小题满分16分）
如图所示，某人想制造一个支架，它由四根金属杆构成，其底端三点均匀地固定在半径为的圆上（圆在地面上），三点相异且共线，与地面垂直.现要求点到地面的距离恰为，记用料总长为，设．
（1）试将表示为的函数，并注明定义域；
（2）当的正弦值是多少时，用料最省？
19．（本小题满分16分）
如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和，且满足，，其中为正常数.当点恰为椭圆的右顶点时，对应的.
（1）求椭圆的离心率；
（2）求与的值；
（3）当变化时，是否为定值？
若是，请求出此定值；
若不是，请说明理由.
20．（本小题满分16分）
设函数.
（1）当时，求函数的极大值；
（2）若函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，求的取值范围；
（3）设，当时，求函数的单调减区间．
建湖县第二中学高二数学独立练习参考答案
时间：
120分钟xx.05.21
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．命题“，”的否定是▲．
【知识点】命题的否定’
【答案解析】解析：
解：
∵命题“，”是特称命题,∴否定命题为：
.
故答案为：
．
【思路点拨】由于命题是一个特称命题，故其否定是全称命题，根据特称命题的否定的格式即可.
2．设复数满足（为虚数单位），则的实部为▲．
【知识点】复数代数形式的混合运算;复数的基本概念．
【答案解析】1解析：
解：
由，得,
则的实部为1.
故答案为：
1．
【思路点拨】由，两边除以，按照复数除法运算法则化简计算．
3．某校高一年级有400人，高二年级有600人，高三年级有500人，现要采取分层抽样的方法从全校学生中选出100名学生进行问卷调查，那么抽出的样本中高二年级的学生人数为▲．
【知识点】分层抽样的方法.
【答案解析】40解析：
解：
设从高二学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，解得x=40，
故答案为40．
【思路点拨】设从高二学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，由此求得x的值，即为所求．
4．“”是“”的▲条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）.
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【答案解析】充分不必要解析：
解：
由，得x＞2或x＜-2．即q：
x＞2或x＜-2．∴是的充分不必要条件，
故答案为：
充分不必要．
【思路点拨】求出成立的条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断．
5．一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为▲．
【知识点】古典概型及其概率计算公式.
【答案解析】解析：
解：
∵总个数，
∵事件A中包含的基本事件的个数,∴p＝
故答案为：
．
【思路点拨】算出基本事件的总个数n=C42=6，再算出事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3，算出事件A的概率，即P（A）=即可．
6．根据如图所示的伪代码，可知输出的S的值为▲．
【知识点】伪代码.
【答案解析】21解析：
解：
由题意，第一次循环，i=3，S=2×3+3=9；第二次循环，i=5，S=2×5+3=13；第三次循环，i=7，S=2×7+3=17；第四次循环，i=9，S=2×9+3=21，退出循环
故答案为：
21
【思路点拨】第一次循环，i=3，S=2×3+3=9；第二次循环，i=5，S=2×5+3=13；第三次循环，i=7，S=2×7+3=17；第四次循环，i=9，S=2×9+3=21，退出循环，故可得结论．
7．在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程
为▲．
【知识点】抛物线、双曲线方程.
【答案解析】解析：
解：
抛物线的焦点坐标为（2，0），则双曲线的右焦点（2，0），所以，
设双曲线方程为代入点（1，0），可得，即，.
∴双曲线的方程为.
故答案为：
．
【思路点拨】求出抛物线的焦点坐标，可得双曲线的一个顶点，设出双曲线方程，代入点的坐标，即可求出双曲线的方程．
8．已知点在不等式组所表示的平面区域内，则的最大值为▲．
【知识点】简单线性规划．
【答案解析】6解析:
解：
P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，如图：
所以z=2x+y的经过A即的交点（2，2）时取得最大值：
2×2+2=6．
故答案为：
6．
【思路点拨】画出约束条件表示的可行域，确定目标函数经过的位置，求出最大值即可．
9．已知，，，….，类比这些等式，若（均为正实数），则=▲．
【知识点】类比推理．
【答案解析】41解析：
解：
观察下列等式，，，….，第n个应该是=
则第5个等式中：
a=6，b=a2-1=35,a+b=41．
故答案为：
41．
【思路点拨】根据观察所给的等式，归纳出第n个式子，即可写出结果．
10．（理科学生做）已知展开式中所有项的二项式系数和为32，则其展开式中的常数项为▲．
【知识点】二项式定理.
【答案解析】解析：
解：
因为展开式中所有项的二项式系数和为：
，解得，由二项式展开式
整理得：
，所以，故，则其展开式中的常数项为：
.
故答案为：
.
【思路点拨】先由所有项的二项式系数和求出，然后欲求展开式中的常数项，则令x的指数可求得结果.
（文科学生做）已知平面向量满足，，，则向量夹角的余弦值为▲．
【知识点】数量积表示两个向量的夹角．
【答案解析】解析：
解：
设向量的夹角为；因为，平方变形得：
，解得：
，所以.
故答案为：
.
【思路点拨】先设出其夹角，根据已知条件整理出关于夹角的等式，解方程即可.
11．（理科学生做）现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有▲种不同的选派方案.（用数字作答）
【知识点】排列组合及简单计数问题.
【答案解析】55解析：
解：
从8名学生中选出4人，共有种选法，
其中甲乙同时参加的有种选法，
所以从8名学生中选出4人，甲乙不同时参加的选法有70-15=55种，
故答案为55．
【思路点拨】所有选法共有种，减去甲乙同时参加的情况种即可.
（文科学生做）设函数是奇函数，则实数的值为▲．
【知识点】奇函数的定义.
【答案解析】解析：
解：
因为函数，所以，
又因为函数是奇函数，所以，即，解得，
故答案为：
.
【思路点拨】利用奇函数的定义解方程即可.
12．设正实数满足，则当取得最大值时，的值为▲．
【知识点】基本不等式.
【答案解析】3解析：
解：
因为为正实数，且,则，所以
，当且仅当时等号成立，此时=3.
故答案为3.
【思路点拨】把原式整理代入并判断出等号成立的条件即可.
13．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是▲．
【知识点】函数的单调性；不等式恒成立问题.
【答案解析】解析：
解：
因为在上单调递增，即
在上恒成立，令，即
在上恒成立，故，则.
故答案为：
.
【思路点拨】先利用函数的单调性转化为不等式恒成立问题，然后求解即可.
14．设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为▲．
【知识点】导数的几何意义；利用导数求最大值.
【答案解析】解析：
解：
设点坐标为，则有，因为以为切点可作直线与两曲线都相切，所以，即
或由，故，此时；所以点坐标为，代入整理得：
，，令，即，得，可判断当时有极大值也是最大值，，
故答案为：
.
【思路点拨】设点坐标为满足两个函数解析式成立，再借助于斜率相同可解得a，代入函数，最后利用导数求最大值即可.
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
（理科学生做）设某地区型血的人数占总人口数的比为，现从中随机抽取3人.
（1）求3人中恰有2人为型血的概率；
（2）记型血的人数为，求的概率分布与数学期望.
【知识点】n次独立重复试验恰有k次发生的概率；分布列；期望.
【答案解析】
（1）
（2）
解析：
解：
（1）由题意，随机抽取一人，是型血的概率为，…………2分
3人中有2人为型血的概率为.…………6分
（2）的可能取值为0，1，2，3，…………8分
，，，
，…………12分
.…………14分
【思路点拨】
（1）代入n次独立重复试验恰有k次发生的概率的公式即可；
（2）根据n次独立重复试验恰有k次发生的概率的公式依次求出为0，1，2，3，时的概率，最后求出期望值.
（文科学生做）给定两个命题，：
对任意实数都有恒成立；：
．如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围．
试题解析：
解：
命题：
ax2+ax+1＞0恒成立
当a=0时，不等式恒成立，满足题意）
当a≠0时，，解得0＜a＜4
∴0≤a＜4
命题：
a2+8a﹣20＜0解得﹣10＜a＜2
∵为真命题，为假命题∴有且只有一个为真，
当真假时得
当假真时得
所以﹣10＜a＜0或2≤a＜4
16．（本小题满分14分）
（理科学生做）设数列满足，.
（1）求；
（2）先猜想出的一个通项公式，再用数学归纳法证明你的猜想.
【知识点】数学归纳法；归纳推理．
【答案解析】
（1）
（2），证明见解析.
解析：
解：
（1）由条件，依次得，
，，…………6分
（2）由
（1），猜想.…………7分
下用数学归纳法证明之：
①当时，，猜想成立；………8分
②假设当时，猜想成立，即有，…………9分
则当时，有
，
即当时猜想也成立，…………13分
综合①②知，数列通项公式为.…………14分
【思路点拨】
（1）直接利用已知关系式，通过n=1，2，3，4，求出a2，a3，a4；
（2）利用
（1）猜想数列的通项公式，利用数学归纳法证明的步骤证明即可.（文科学生做）已知函数（）的一段图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调增区间；
（3）若，求函数的值域.
（1）由题意知：
，∴，
又，∴,
，又，∴.
∴函数的解析式：
.
（2）由，，得，
所以的增区间为，，
（3）∵，∴，
∴.
∴值域为
17．（本小题满分14分）
（理科学生做）如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，且.
（1）求直线与所成角的大小；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角.
【答案解析】
（1）
（2）
解析：
解：
分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则由题意可得：
,,,,,
又分别是的中点，,.…………3分
（1）因为，，
所以
，…………7分
直线与所成角的大小为.…………8分
（2）设平面的一个法向量为,由,得,
可取，…………10分
又，所以
，……13分
直线与平面所成角的正弦值为.…………14分
【思路点拨】
（1）分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则由题意可得，，然后利用向量的夹角公式计算可得结果；
（2）找出两个半平面的法向量后利用向量的夹角公式计算即可.
（文科学生做）设函数.
（1）用反证法证明：
函数不可能为偶函数；
（2）求证：
函数在上单调递减的充要条件是.
【知识点】反证法与放缩法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【答案解析】
（1）见解析
（2）见解析
解析：
解：
（1）假设函数是偶函数，…………2分
则，即，解得，…………4分
这与矛盾，所以函数不可能是偶函数.…………6分
（2）因为，所以.…………8分
①充分性：
当时，，
所以函数在单调递减；…………10分
②必要性：
当函数在单调递减时，
有，即，又，所以.…………13分
综合①②知，原命题成立.…………14分
【思路点拨】
（1）假设函数f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），代入利用对数的性质，可得矛盾，即可得证；
（2）分充分性、必要性进行论证，即可得到结论．
18．（本小题满分16分）
如图所示，某人想制造一个支架，它由四根金属杆构成，其底端三点均匀地固定在半径为的圆上（圆在地面上），三点相异且共线，与地面垂直.现要求点到地面的距离恰为，记用料总长为，设．
（1）试将表示为的函数，并注明定义域；
（2）当的正弦值是多少时，用料最省？
【知识点】函数解析式与定义域的求法；利用导数求函数的最知.
【答案解析】
（1），.
（2）时用料最省.
解析：
解：
（1）因与地面垂直，且，
则是
全等的直角三角形，又圆的半径为3，
所以，，…………3分
又，所以，…………6分
若点重合，则，即，所以，
从而，.…………7分
（2）由
（1）知
，
所以，当时，，…………11分
令，，当时，；当时，；
所以函数L在上单调递减，在上单调递增，…………15分
所以当，即时，L有最小值，此时用料最省.…………16分
【思路点拨】
（1）通过图形分别求出的值，然后写出解析式并注明定义域即可；
（2）利用导数结合单调性即可求出最值.
19．（本小题满分16分）
如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和，且满足，，其中为正常数.当点恰为椭圆的右顶点时，对应的.
（1）求椭圆的离心率；
（2）求与的值；
（3）当变化时，是否为定值？
若是，请求出此定值；
若不是，请说明理由.
【知识点】椭圆的性质；椭圆的标准方程；根与系数的关系.
【答案解析】
（1）
（2）（3）为定值.
解析：
解：
（1）因为，所以，得，即，
所以离心率.………4分
（2）因为，，所以由，得，………7分
将它代入到椭圆方程中，得，解得，
所以.………10分
（3）法一：
设，
由，得，………12分
又椭圆的方程为，所以由，
得①，且②，
由②得，
，
即
，
结合①，得，………14分
同理，有，所以，
从而，即为定值.………16分
法二：
设，
由，得，同理，……12分
将坐标代入椭圆方程得，两式相减得
，
即，……14分
同理，，
而，所以，
所以，
所以
，
即，所以为定值.………16分
【思路点拨】
（1）根据椭圆的性质求出a，c的关系式即可；
（2）由得代入到椭圆方程中即可得结果；
（3）设，由，得到点坐标间的关系，再将将坐标代入椭圆方程后两式相减，再利用即可.
20．（本小题满分16分）
设函数.
（1）当时，求函数的极大值；
（2）若函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，求的取值范围；
（3）设，当时，求函数的单调减区间．
【知识点】利用导数求极值；借助导数求范围；利用导数求单调区间.
【答案解析】
（1）极大值为5.
（2）;
（3）①当时，函数的单调减区间为；②当时，函数的单调减区间为,；
③当时，函数的单调减区间为,,．
解析：
解：
（1）当时，由=0，得或，………2分
列表如下：
－1
3
＋
0
－
0
＋
递增
极大
递减
极小
递增
所以当时，函数取得极大值为5.………4分
（2）由，得，即，………6分
令，则，
列表，得
1
－
0
＋
0
－
递减
极小值
递增
极大值2
递减
………8分
由题意知，方程有三个不同的根，故的取值范围是.………10分
（3）因为，
所以当时，在R上单调递增；
当时，的两根为，且，
所以此时在上递增，在上递减，在上递增；………12分
令，得，或（），
当时，方程（）无实根或有相等实根；当时，方程（）有两根，
………13分
从而
①当时，函数的单调减区间为；………14分
②当时，函数的单调减区间为,；……15分
③当时，函数的单调减区间为,,．………16分
【思路点拨】
（1）当时，求出原函数的导数，找到极值点列表求出极大值；
（2）原式变型为，令，然后通过列表找到a的取值范围；（3）对a进行分类讨论即可.
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