勾股定理例题含答案.docx
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勾股定理例题含答案
勾股定理经典例题透析
类型一：
勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，/C=90°
（1）已知a=6，c=10，求b，
（2）已知a=40,b=9，求c；（3）已知c=25，b=15，求a.
思路点拨：
写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析:
⑵
⑶
（1）
在厶ABC中，/C=90°,
在厶ABC中，/C=90°,
在厶ABC中，/C=90°,
a=6,c=10,b=---
a=40,b=9,c=•&I
c=25,b=15,a=—----
举一反三
【变式】如图/B=ZACD90°,AD=13,C!
=12,【答案I：
/ACD90°
AD=13,CD=12
•••AC=aeJ-cD
=132-122
=25
•AC=5
又•••/ABC=90且BC=3
•••由勾股定理可得
AB2=AC—BC
22
=5—3
=16
•AB=4
•AB的长是4.
BG3,则AB的长是多少？
类型二：
勾股定理的构造应用
2、如图，已知：
在’中，一弓二匚飞,匸二二二
丄U.求BC的长.
角的直角三角形，为此作匸i一-1-'于D,则有
思路点拨：
由条件
小"g阳=2曲=15
=,2，再由勾股定理计算出ADDC的长，进而求出BC的长.
解析：
作于D,则因二二
..上曲D=90口一60口二30°（用△的两个锐角互余）
ED二2血二巧
•-（在中，如果一个锐角等于
那么它所对的直角边等于斜边的一半）根据勾股定理，在三匚中，
一三-」」-1一
30°
根据勾股定理，在八匚中,
CD=JQ_的=J祁-15"=65
•二上E二+匸J—亠二
举一反三【变式1】如图，已知：
一匚―：
二：
，二WX,_：
二二一丄于p.求证：
Jii；_•.
解析：
连结BM根据勾股定理，在矗ASMF中，加二册_加.
而在-中，则根据勾股定理有
㈣=曲—亦.
又•••二量=-■T-1-（已知），
...加二曲-曲+亦.
在三二匚27中，根据勾股定理有
?
.•.囲=肘+血
【变式2】已知:
/A=60°AB=4,CD=2求：
四边形ABCD勺面积。
分析：
如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC,或延长ABDC交于F,或延长ADBC交于点
E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：
延长ADBC交于E。
•••/A=Z60°,/B=90°,.ZE=30°o
.AE=2AB=8CE=2CD=4
.BE'=aE2-AB2=82-42=48,BE=・='：
卜。
•/dE=CE2-CD2=42-22=12,.DE=='一。
丄丄
.S四边形ABC=SaABE-S△CDF戈AB-BE-戈CD-DE=后
类型三：
勾股定理的实际应用
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东
向走了…」v到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
解析：
（1）过B点作BE//AD
•••/DAB=/ABE=60
•/30°+/CBA+ZABE=180•••/CBA=90
即厶ABC为直角三角形
由已知可得：
BC=500mAB=OOV3m
由勾股定理可得：
二-丄」+■
所以丄一厂_-厂iTiI
（2）在Rt△ABC中，
■/BC=500mAC=1000m
•••/CAB=30
•••/DAB=60•••/DAC=30
即点C在点A的北偏东30°的方向
举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车
能否通过该工厂的厂门？
（二）用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.
思路点拨：
解答本题的思路是：
最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，
得出结论.
解析：
设正方形的边长为1，则图
（1）、图
（2）中的总线路长分别为
AB+BC+CD=3,AB+BC+CID3
图（3）中，在Rt△ABC中
AC=4aB2=^2
同理：
•••图（3）中的路线长为•--亠-
图（4）中，延长EF交BC于H,贝UFHLBC,B十CH
3®=-
由/FBHh及勾股定理得：
EA=ED=FB=FC=一；J
•EF=1—2FH=1—-
•此图中总线路的长为4EA+EF=II--—
'''3>2.828>2.732
•图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线.
举一反三
【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高AE为4cm,EC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,
沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.
解:
（提问：
勾股定理）
•••AC=='厂■厂=t〜10.77（cm）（勾股定理）
答：
最短路程约为10.77cm.
类型四：
利用勾股定理作长为的线段
5、作长为、■厂、■广的线段。
思路点拨：
由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于’■■忆，直角边为厂和1的直角
三角形斜边长就是，类似地可作。
作法：
如图所示
、‘「丨、'卜。
举一反三
【变式】在数轴上表示1的点。
解析：
可以把「［看作是直角三角形的斜边，」'""，
为了有利于画图，让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
作法：
如图所示在数轴上找到A点，使OA=3作AC丄OA且截取AC=1,以OC为半径,以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为、J。
类型五：
逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1•原命题：
猫有四只脚.（正确）
2.原命题：
对顶角相等（正确）
3•原命题：
线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）
4•原命题：
角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.（正确）
思路点拨：
掌握原命题与逆命题的关系。
解析：
1.逆命题：
有四只脚的是猫（不正确）
2.逆命题：
相等的角是对顶角（不正确）
3.逆命题：
到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.？
（正确）
4.逆命题：
到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（正确）
总结升华：
本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
7、如果△ABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断△ABC的形状。
思路点拨：
要判断厶ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,
故只有从该条件入手，解决问题。
222
解析：
由a+b+c+50=6a+8b+10c,得：
222
a-6a+9+b-8b+16+c-10c+25=0,
222
•••（a-3）+（b-4）+（c-5）=0。
222
•••（a-3）>0,（b-4）>0,（c-5）>0。
•a=3,b=4,c=5。
•/3+4=5,
•a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形。
总结升华：
勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用到。
举一反三【变式1】四边形ABCD中，/B=90°,AB=3BC=4,CD=12,AD=13求四边形ABCD勺面积。
【答案】：
连结AC
•••/B=90°,AB=3BC=4
•AC=AB+BC=25（勾股定理）
•AC=5
2—22
•/AC+CD=169,AD=169
•ac+cD=aD
•
ZACD=90（勾股定理逆定理）
【变式2】已知：
△ABC勺三边分别为mi-n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数，且m>n）,判断△ABC是否为直角三角
形•
所以△ABC是直角三角形•
DE2=CE?
+cD=4a2+16a2=20a2。
连接DF（如图）
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。
•••df2=ef2+d^,
•••FE丄DE
经典例题精析
类型一：
勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3：
4,斜边长是20，求此直角三角形的面积。
思路点拨：
在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。
解析：
设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：
222
（3x）+（4x）=20
化简得x2=16;
1
•直角三角形的面积=二X3xX4x=6x2=96
总结升华：
直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。
举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
【答案】如图，等边△ABC作AD!
BC于D
2
贝BD=二BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）
•••AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等）
•BD=1
在直角三角形ABD中，AB"=AD+BD,即：
AD=Ah—BD=4—1=3
•
AD='
【变式2】直角三角形周长为12cm斜边长为5cm,求直角三角形的面积。
【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x,y，根据题意得：
卩十『十5=12⑴
4才=宁
（2）由
（1）得：
x+y=乙
222（x+y）=49,x+2xy+y=49（3）
（3）—
（2）,得：
xy=12
丄丄
•直角三角形的面积是2xy=2X12=6（cni）
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n。
思路点拨：
首先要确定斜边（最长的边）长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。
解：
此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：
222
（n+1）+（n+2）=（n+3）
化简得：
n2=4
•n=±2，但当n=—2时，n+1=—1<0,二n=2
总结升华：
注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。
【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（
A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40
解析：
此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，
对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：
b2=c2—a2=（c—a）（c+a）来判断。
例如：
对于选择D,
2
•/8工（40+39）X（40—39）,
•••以8,39,40为边长不能组成直角三角形。
同理可以判断其它选项。
【答案】：
A
【变式5】四边形ABCD中，/B=90°,AB=3BC=4,解：
连结AC
•••/B=90°,AB=3,BC=4
•aC=a£+bC=25（勾股定理）
•AC=5
•/ACf+CD=169,ADf=169
2—22
•AC+CD=AD
•••/ACD=90（勾股定理逆定理）
11
CD=12,AD=13求四边形ABCD勺面积。
•S四边形abc[=S^ab（+Saac=jAB•BC+jAC■CD=36
类型二：
勾股定理的应用
2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/QPN=30°,点A处有一所中学，AP=160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪
声影响？
请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
思路点拨：
（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m
则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。
（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。
因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。
解析：
作AB丄MN垂足为B。
在Rt△ABP中，•••/ABP=90°,/APB=30°,AP=160,
2
•AB=-AP=80。
（在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）
•••点A到直线MN的距离小于100m,
•这所中学会受到噪声的影响。
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC=100（m）,
222
由勾股定理得：
BC=100-80=3600,•BC=60。
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD=100（m）,BD=60（m）,
•CD=120（m）。
拖拉机行驶的速度为：
18km/h=5m/s
t=120mr^5m/s=24s。
答：
拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。
总结升华：
勾股定理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作辅助垂线的方法
构造直角三角形以便利用勾股定理。
举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出
了一条"路”。
他们仅仅少走了步路（假设2步为1m）,却踩伤了花草。
24x—=C75
（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积一
题来解决.
3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=ACD是斜边BC的中点，E、F分别是ABAC边上的点，且
思路点拨：
现已知BECF,要求EF,但这三条线段不在冋一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直
角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD.
解：
连接AD.
因为/BAC=90,AB=AC又因为AD^^ABC的中线,
所以AD=DC=D.BADLBC.
且/BAD玄C=45°.
因为/EDA+ZADF=90.又因为/CDF+ZADF=90所以/EDA=/CDF所以△AED^ACFD（ASA）.
所以AE=FC=5
同理：
AF=BE=12
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：
护=AE2+血=亨+1，=1罗,所以EF=13。
总结升华：
此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。
通过此题，我们可以了解：
当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。
（二）方程的思想方法
4、如图所示，已知△ABC中，/C=90°,ZA=60°,：
；/，求二、丨、「的值。
思路点拨：
由■，再找出左、却的关系即可求出X和勺的值。
解：
在Rt△ABC中，/A=60°,ZB=90°-/A=30°,
则：
•—二，由勾股定理，得■''''■'O
因为a+岔，所以=3+^3,
_击（申+1）一苗
苗+1"压二少■击”2易=2右。
总结升华：
在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。
举一反三：
【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cmBC=10cm求EF的长。
解：
因为△ADE-与^AFE关于AE对称，所以AD=AFDE=EF
因为四边形ABCD是矩形，所以/B=ZC=90°,
在Rt△ABF中，AF=AD=BC=10cmAB=8cm
所以齐、宀『/II。
所以FC=5C-^=10-6=4Ccm）。
设EC=工cm则EF==（8—z）cm。
在Rt△ECF中，二「7■--•，即厂，解得「1。
即EF的长为5cmo
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