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1、勾股定理例题含答案勾股定理经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC中，/ C=90(1)已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40, b=9，求 c； (3)已知 c=25，b=15，求 a.思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析:(1)在厶ABC中，/ C=90,在厶ABC中，/ C=90,在厶ABC中，/ C=90,a=6, c=10,b=- -a=40, b=9,c= & Ic=25 , b=15,a= -举一反三【变式】如图/ B=Z ACD90 , AD=13, C!=12, 【答案I：/ ACD90AD

2、=13, CD=12 AC =aeJ- cD=13 2- 122=25AC=5又/ ABC=90 且 BC=3由勾股定理可得AB 2=AC BC2 2=5 3=16AB= 4AB的长是4.BG3,则AB的长是多少？类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在 中，一弓二匚飞,匸二二二丄U .求BC的长.角的直角三角形，为此作匸i 一 -1-于D,则有思路点拨：由条件小g阳=2曲=15= , 2 ，再由勾股定理计算出 AD DC的长，进而求出 BC的长.解析：作 于D,则因二二.上曲D = 90口一 60口二30 (用的两个锐角互余)ED二2血二巧 - (在 中，如果一个锐角等于那么它所对的直角

3、边等于斜边的一半) 根据勾股定理，在 三匚中，一三- -1一30根据勾股定理，在 八匚中,CD= JQ _ 的=J祁-15 = 65二上E二+匸J 亠二举一反三【变式1】如图，已知：一匚：二：，二 WX , _：二二一丄 于p. 求证：J i i ；_.解析：连结BM根据勾股定理，在矗ASMF中， 加二册_加.而在-中，则根据勾股定理有=曲亦.又二量=-T-1-(已知)，.加二曲-曲+亦.在三二匚27中，根据勾股定理有?.囲=肘+血【变式2】已知:/ A=60 AB=4, CD=2求：四边形 ABCD勺面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC,或延长AB DC交于F,或延长

4、AD BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长AD BC交于E。/ A=Z 60,/ B=90,.Z E=30o.AE=2AB=8 CE=2CD=4.BE=aE2-AB2=82-42=48, BE= =：卜。/ dE= CE2-CD2=42-2 2=12,. DE= = 一。丄 丄.S 四边形 ABC=Sa ABE-S CDF 戈 AB- BE-戈 CD- DE=后类型三：勾股定理的实际应用(一)用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A点出发，沿北偏东向走了 v到达B点，然后再沿北偏西 30方向走了 50

5、0m到达目的地(1)求A、C两点之间的距离。(2)确定目的地 C在营地A的什么方向。解析：(1)过B点作BE/AD/ DAB=/ ABE=60/ 30 +/ CBA+Z ABE=180 / CBA=90即厶ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m AB=OOV3m由勾股定理可得：二- 丄+ 所以丄一厂_ -厂 iTi I(2)在 Rt ABC中，/ BC=500m AC=1000m/ CAB=30/ DAB=60 / DAC=30即点C在点A的北偏东30的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ？（

6、二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四 个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了 四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.思路点拨：解答本题的思路是： 最省电线就是线路长最短， 通过利用勾股定理计算线路长， 然后进行比较，得出结论.解析：设正方形的边长为1，则图（1 ）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD = 3, AB+BC+CID3图（3 ）中，在Rt ABC中AC = 4aB2 =2同理 ：图（3）中的路线长为 -亠-

7、图（4）中，延长 EF交BC于 H,贝U FHL BC, B十CH3 =-由/ FBHh 及勾股定理得：EA = ED= FB= FC= 一； J EF= 1 2FH= 1 -此图中总线路的长为 4EA+EF= I I - - 3 2.8282.732图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线.举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm,高AE为4cm, EC是上底面的直径.一只蚂蚁从点 A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程.解:（提问：勾股定理） AC=厂 厂=t 10.77( cm)(勾股定理)答：最短路程约为1 0.77 cm.类型四：利用勾股定理

8、作长为 的线段5、作长为、厂、广的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为 1的等腰直角三角形，斜边长就等于忆，直角边为厂 和1的直角三角形斜边长就是 ，类似地可作 。作法：如图所示、丨、卜。举一反三【变式】在数轴上表示 1的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图，让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3和1。作法：如图所示在数轴上找到 A点，使OA=3作AC丄OA且截取AC=1,以OC为半径, 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点 B即为、J 。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1原命题：猫有四只脚.（正确）

9、2.原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等. （正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等. （正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2.逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3.逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. ？（正确）4.逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. (正确)总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果 ABC的三边分别为 a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断 ABC的形状。思路点拨：要判断厶ABC的形状

10、，需要找到 a、b、c的关系，而题目中只有条件 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手，解决问题。2 2 2解析：由 a +b+c +50=6a+8b+10c,得：2 2 2a -6a+9+b -8b+16+c -10c+25=0,2 2 2 (a-3) +(b-4) +(c-5) =0。2 2 2(a-3) 0, (b-4) 0, (c-5) 0。a=3 , b=4, c=5。/ 3 +4 =5 ,a 2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得 ABC是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的 ，在证明中也常要用到。举一反三 【变式1】四

11、边形 ABCD中，/ B=90, AB=3 BC=4, CD=12, AD=13求四边形 ABCD勺面积。【答案】：连结AC/ B=90 , AB=3 BC=4AC=AB+BC=25 （勾股定理）AC=522 2/ AC+CD=169 , AD=169ac+cD=aDZ ACD=90 （勾股定理逆定理）【变式2】已知： ABC勺三边分别为mi- n2,2mn,m2+ n2(m,n为正整数，且mn),判断 ABC是否为直角三角形所以 ABC是直角三角形DE 2=CE?+cD=4a2+16a2=20a2。连接DF （如图）DF 2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 df2=ef2+d,

12、 FE 丄 DE经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是 3： 4,斜边长是20，求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据 勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是 3x，4x，根据题意得：2 2 2(3x) + (4x) = 20化简得x2= 16;1直角三角形的面积= 二X 3x X 4x = 6x2= 96总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为 2，求它的

13、面积。【答案】如图，等边 ABC作AD! BC于D2贝BD=二BC (等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合) AB= AC= BC= 2 (等边三角形各边都相等)BD= 1在直角三角形 ABD中，AB= AD+BD,即：AD= Ah BD= 4 1 = 3AD= 【变式2】直角三角形周长为 12cm斜边长为5cm,求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是 x, y，根据题意得：卩十十5 = 12 4 才=宁(2) 由(1)得：x+y =乙2 2 2 (x+y) = 49, x +2xy+y = 49 (3)(3) (2),得：xy = 12丄 丄直角三角形的面积是 2

14、xy = 2 X 12= 6 (cni)【变式3】若直角三角形的三边长分别是 n+1, n+2, n+3,求n。思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长 n+3,然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜边长为 n+3,由勾股定理可得：2 2 2(n+1) + (n+2) =( n+3)化简得：n2= 4 n= 2，但当 n= 2 时，n+1= 10,二 n= 2总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边 哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(A、8, 15, 17 B、4, 5

15、, 6 C、5, 8, 10 D、8, 39, 40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用 c2= a2+b2的变形：b2= c2 a2 =( c a) (c+a)来判断。 例如：对于选择 D,2/ 8 工(40+39)X( 40 39),以8, 39, 40为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。 【答案】：A【变式5】四边形 ABCD中，/ B=90, AB=3 BC=4, 解：连结AC/ B=90, AB=3, BC=4aC=a+bC=25 （勾股定理）AC=5/ ACf+CD=169, ADf=16922 2AC+CD=AD/ ACD=90 （勾股定理

16、逆定理）1 1CD=12, AD=13求四边形ABCD勺面积。 S 四边形 abc=Sab（+Saac= j AB BC+j AC CD=36类型二：勾股定理的应用2、如图，公路 MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN= 30,点A处有一所中学，AP= 160m。假设拖拉机 行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A,实质上是看A到公路的距离是否小于 100m,小于100m则受影响，大于10

17、0m则不受影响，故作垂线段 AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要 求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束 影响学校。解析：作AB丄MN垂足为B。在 Rt ABP中，/ ABP= 90,/ APB= 30, AP = 160,2 AB = - AP= 80。(在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半)点A到直线MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶到点 C处学校开始受到影响，那么 AC= 100(m),2 2 2由勾股定理得： BC = 100 -80 = 3

18、600, BC= 60。同理，拖拉机行驶到点 D处学校开始脱离影响，那么， AD= 100(m), BD= 60(m), CD= 120(m)。拖拉机行驶的速度为 ：18km/h = 5m/st = 120mr 5m/s = 24s。答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为 24秒。总结升华：勾股定理是求线段的长度的很重要的方法 ，若图形缺少直角条件，则可以通过作辅助垂线的方法构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径” ，在花园内走出了一条路”。他们仅仅少走了 步路(假设2步为1m),

19、却踩伤了花草。24x = C75 (2)如图可直接得出平行四边形 ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积 一题来解决.3、如图所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC D是斜边BC的中点，E、F分别是AB AC边上的点，且思路点拨：现已知BE CF,要求EF,但这三条线段不在冋一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 AD.解：连接AD.因为/ BAC=90 , AB=AC 又因为 AD ABC的中线,所以 AD=DC=D.B ADL BC.且/ BAD玄 C=45.因为/ EDA+Z ADF=90 . 又因为/ CDF+Z ADF=

20、90 所以/ EDA=/ CDF 所以 AEDA CFD (ASA).所以 AE=FC=5同理：AF=BE=12在Rt AEF中，根据勾股定理得： 护 =AE2 +血=亨+1，= 1罗, 所以EF=13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线 段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法4、如图所示，已知 ABC中，/ C=90,Z A=60, ：； / ，求二、丨、的值。思路点拨：由 ，再找出左、却的关系即可求出X和勺的值。解：在 Rt ABC 中，/ A=60,Z B=90 -

21、/ A=30,则：二，由勾股定理，得 O因为 a + 岔，所以 = 3+3 ,_击（申+1） 一苗苗+1 压二少击” 2易=2右。总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边 AD,使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm BC=10cm 求EF的长。解：因为 ADE-与 AFE关于AE对称，所以 AD=AF DE=EF因为四边形ABCD是矩形，所以/ B=Z C=90,在 Rt ABF中，AF=AD=BC=10cm AB=8cm所以齐、宀 /II 。所以 FC=5C-=10-6=4Ccm）。设 EC =工cm 则 EF = = （8 z） cm 。在 Rt ECF 中，二7- - ，即厂，解得1。即EF的长为5cmo