在各决策单元的效率评价指标均不超过1的条件下，选择权系数u及u，使ho最大，于是构成如下的最优化模型。
这个原始规划模型是一个分式规划。
利用Charnes-Cooper变换，可以将化为一个等价的线性规划问题。
令
则原分式规划转化为：
线性规划问题（R）的对偶规划问题为（加入松驰变量s+及s以后）
我们下面给出CR模型下DEAt效的定义。
定义：
若线性规划问题（R）的最优解及满足，则称DMU为弱DEAt效；若线性规划问题（R）存在某一最优解与满足，并且，则称DMU为DEA有效。
由定义易知，若DMU为DEA有效，那么它也是弱DEAt效。
对于规划问题（D）有：
1）DMUo为弱DEAt效的充要条件为规划问题（D）的最优值Vdi=1;
2）DMU为DEAt效的充要条件为规划问题（D）的最优值幺=1，并且它的每个最优解都满足s-0=s+0=o。
另外，可以证明，决策单元的DEAt效性等价于下述多目标规划问题的Pareto有效解：
（VP）
其中：
（称为CCR莫型的经验生产可能集）。
在实际应用中，各输入量与输出量都带有一定的量纲，在不同的量纲下，输入量与输出量的数值不同，对于DEA模型对此我们有下面的结论：
决策单元的最优效率评价指数与输入量及输出量的量纲选取无关。
运用P模型和D模型来判断决策单元是否DEAa效存在一定的困难，具体表现
为：
1）检验DMU的DEAa效性时，如果利用上面的LP问题（R），需要判断是否存在最优解、满足：
2）如果利用对偶规划（D），需要判断是否其所有最优解都满足：
由此不难发现：
这两种方法在验证评价单元是否DEAa效方面都比较麻烦，为
此，Charnes和Cooper等引进了非阿基米德无穷小量概念，构造了具有非阿基米德无穷小量的CR模型来判定DMU的有效性。
在广义实数域内，非阿基米德无穷小量&是一个小于任何正数且大于零的“抽象数”。
考虑带有非阿基米德无穷小量&的CR模型（）:
（P1）的对偶规划问题为：
其中。
利用此模型，可以一次判断出DMU是DEAa效，还是仅为弱DEA有效，或者是非DEAa效，实际上对于具有非阿基米德无穷小量的DEA莫型我们有如下DEA有效性判断：
设为非阿基米德无穷小量，并且规划问题（）的最优解为，则有：
1）若00=1，则DMU为弱DEAa效；
2）若00=1，并且s°=0、s+0=O,贝UDMU为DEA^效。
在实际应用中，只要取足够小（例如取），就可以使用单纯形方法求解规划问题（）。
例：
考虑下述四个双投入、双产出的DMU
决策单元
评价指标
DMU
DMU
DMU
DMU
投入1
2
3
4
3.5
投入2
3
1
5.2
3.5
产岀1
1
2
2.5
4.3
产出2
1.2
3.2
2.8
2.7
先对DM1进行分析，为此建立如下面向投入的CCR莫型:
令，可求得其最优解为：
q*=0.6089,l「=0.2943,l「=0.0957,S-*=1.1974,
因而根据上面所述的对于具有非阿基米德无穷小量的DEA莫型有效性判断准则
可知，DMU伪非DEA有效。
类似地，对于DMUDMLf口DMU可建立相应的规划模型，并分别求得其对应的最优解为：
DMU2q*=1，l2*=1，
DMU3q*=0.7258，12*=0.6328，14*=0.2871，S-*=2.1365，
DMU4q*=1，l4*=1，
同理，DMUDMU为DEA有效，而DMUDMU为非DEA有效。
上面我们从“产出不变、投入最少”的角度介绍了基于投入的CCF模型，它研
究的是DMU勺投入有效性。
当然，我们还可从“投入不变、产出最大”的角度出发研究DMU勺产出有效性，从而得到基于产出的CCR模型，在这两种模型中,决策单元DEAt效性的定义是等价的。
基于输出的CCR模型为：
和
非阿基米德无穷小量&是一个小于任何正数且大于零的“抽象数”，在实际使用中一般取。
1.3综合效率、规模效率和技术效率
效率就其含义而言是在业务活动中投入与产出或成本与收益之间的对比关系，从本质上讲，它是其资源的有效配置、市场竞争能力、投入产出能力和可持续发展能力的总称。
因研究目的不同，评估对象的效率可从不同的角度来分析，主要包括技术效率和规模效率。
技术效率反映在给定投入的情况下被评价对象获取最大产出的能力，而规模效率则反映被评价对象是否在最合适的投资规模下进行经营。
为说明这两种效率的含义，首先需明确生产函数的概念。
考虑图1-3所示的单投入单输出的情况。
生产函数y=f（x）示生产处于最理想状态时，投入为x时所能获得的最大产出为y。
Fy
xy=f（x）
A
D
C
B
O
E
G
图1-3技术效率和规模效率
技术效率测度的是被考察单元与生产函数之间的距离，假设某评价单元在A点
进行经营，那么其技术效率
A的技术效率二
BD/BA⑴
由于所有的被考察评价单元必然在生产函数曲线以下（包括曲线本身）进行生产，故有技术效率w1。
其越靠近生产函数则技术效率越高，而处在生产函数曲线上的被考察单元（如DE、F）的技术效率等于1,称为技术有效。
从图1-3中，我们可以发现点E把生产函数分为2部分：
在E点左面，函数“加速上升”，说明增加投入量可以使产出有较高的增加，因而被考察对象仍有投资的积极性，这一段区间称为规模收益递增阶段；在E点右面，则是规模收益
递减阶段，表现为投入量为x时，如再增加，产出y增加的效率不高，被考察对象已没有再继续增加投资的积极性；因此，E点所代表的投入规模是最适度的。
一般的，某评价单元规模效率的表达式为（以A为例）：
A的规模效率二BC/BD
（2）
一般的，规模效率w1。
规模效率等于1称为规模有效，如E所代表的被考察对象是规模有效的（同时又是技术有效的），而A、DF所代表的评价单元却不是规模有效的。
图3-4中的0G为规模收益不变的生产前沿面，被考察对象的总效率定义为：
A的总效率=BC/BA（3）
由式
（1）、式⑵和式⑶易得：
总效率=技术效率X规模效率
在进行经济分析的时候，DEA方法和生产函数方法是解决问题的两种不同方法，二者的区别主要体现为：
生产函数方法y=f（x）:
首先构造含有参数的函数，通过数据确定参数，确定生产函数，描述生产前沿面。
通常只能描述二个投入，一个产出的情况。
DEA方法：
由投入产出数据，通过数学规划LP确定DEA有效单元，寻找生产前沿面。
可以用于多投入、多产出情况。
通过对决策单元运用DEA方法进行效率评价，我们能过获得许多关于被评价单元的静态管理信息，这些信息主要表现在以下几个方面：
（1）能够判断评价单元DMU是否规模有效和技术有效；
⑵如果评价单元DMU处于非DEAt效状态，那么它投入的改进值为：
（3）可以对决策单元进行规模效益分析：
1.5DEA的一般工作过程
一般来说，DEA的工作过程包括如下几个环节：
1.问题描述与系统定义这是DEA分析的前提，是指在进行有效性评价之前,需要对所研究的实际问题进行正确的定性、定量描述并定义评价系统，这主要包括三个方面的工作：
（1）明确问题。
首先需要明确系统评价的目标以及影响这些目标的因素，并围绕评价目标对评价对象进行分析，辨识决策单元的边界和各因素间可能的定性定量关系；其次，确定各种因素的性质，例如把因素分为可变的、可控的、不可变的、不可控的或主要的、次要的等，便于下面评价指标体系的选取和评价模型的选择。
一般来说，明确评价的目标是DEA分析的首要问题，有关DMU勺选取、输入输出指标的确定、DEA模型的选择等都将以此为依据而进行。
（2）选择决策单元，即确定参考集。
根据上述所确定的目标选定决策单元集合，一般来说，决策单元的选取应满足以下几个基本特征：
具有相同的目标和任务；具有相同的外部环境；具有相同的投入、产出指标，并且决策单元的选取应具有一定的代表性。
（3）确立系统的评价指标体系。
DEA主要是利用各参考单元的输入输出评价指标
数据对评价单元的相对有效性进行评定，因而，正确选取评价指标是DEA分析
中的重要环节之一。
一般来说，可将各决策单元的“效用型”指标（如：
资金产
值率、利税率等）作为系统的输出指标，而将“成本型”指标（如：
劳动力、流动资金单位平均余额、对环境的影响破坏等）作出系统的输入指标。
系统评价指标不同，则有效性评价结果也将不同。
实践中，评价指标体系的选取应遵循针对性、真实性、精简性、可操作性和一致性等基本原则，并注意指标之间的配合与相互关系，避免因忽视了某一指标的约束性而影响其它指标的意义。
2.选择评价模型根据评价目标和实际问题的背景选择适当的DEA评价模型，充分考虑到投入产出指标的可处理性、决策单元生产可能集的形式、指标间的相
对重要性、决策者的偏好等因素。
3.收集和整理数据资料在DEA评价中，需要输入大量的数据。
其正确性将直
接影响决策单元的评价结果，因而正确地收集和整理数据资料便成为DEA评价
的重要组成部分。
通过这项工作，提供数学模型进行计算所需的参数值，并汇集系统评价指标间相互关系的定性分析资料。
4.求解DEA规划模型DEAg划模型一般为线性规划形式，因而可用线性规划
的一般方法（如单纯形法等）编程求解，或借助常用的商业线性规划软件求解，另外也可直接使用人们业已开发的各种专门的DEA评价模型求解。
通过模型计
算获得各决策单元的评价结果。
5.结果分析及辅助决策利用模型计算的结果，判断各单元的DEAt效性，找
出非有效单元无效的原因及其改进措施，或进行其它的行为分析（如规模收益分析、单元排序分析等等）。
综合以上结论，形成评价报告，并向上层决策人员提出建议以辅助决策。
实践中，一个比较可靠的结果往往需要根据实际问题背景，并在与上层决策人员和有关专家的反复商讨下，经过上述步骤的多次反复，才可能获得。
上面过程可简单地用图1-4表示。
明确问题
确定评价目标
确定参考集DMU
确定评价指标体系
收集/整理数据
模型运行，得到评价结果
结果分析
满意否
决策实施，评价结束
实际问题背景
选择评价模型
决策者偏好或其它决策信息
满意
重新选择评价模型
确认数据正确性
新建指标体系
新建参考集
重新开始
图1-4DEA的一般工作过程
1.6DEA评价案例
如何科学地对普通中学进行评估，这是近几十年一直在研究的问题。
合理、准确的评估方法是一种积极的导向，有助于端正教育思想，引导正确的方向。
特别是义务教育阶段，积极推行素质教育，避免片面追求升学率，尤为需要建立一个科学、合理的评估方法与模型。
教育评估和一般企业评估一样，不能只从
“产出”角度出发，还应该充分考虑“效率”，即应考虑其产出与投入的比值。
本节以某市市区各普通初级中学为对象，应用前面所介绍的DEA模型，对其办
学情况进行相对有效性评价。
考虑到该市各学校所处的经济、社会、文化环境，所选决策单元为该市市区20
所普通中学。
1.评价单元：
该市市区二十个普通中学：
市二中、市四中、市六中、市十中、市九中、市^一中、市十二中、北二中、北三中、山一中、山二中、山三中、山四中、山五中、耀化中学、秦铁中、泰附中、农技中、黄庄中学、山桥中。
2.评估模型所用输入输出指标体系如下：
产出指标：
Y1:
毕业生人数。
按90届毕业人数。
丫2：
毕业生平均成绩。
以90届毕业生毕业统考的人均成绩计算。
丫3：
毕业生的身体素质。
以90届毕业生的体育达标率计算。
投入指标：
Xi：
师资力量。
Xi=2zi+1.5z2+1.2Z3+Z4，其中Zi、Z2、Z3分别为
学校在编的特级、一级、二级教师人数，Z4为其它人数。
%：
教育经费。
按90年度下拨教育经费计算。
%:
仪器设备。
图书资料总额，按截止到90年8月普通初中所拥有仪器设备、图书资料总额计算。
由于DEA方法评估结论与输入输出的量纲无关，所以不必对各数据进行无量纲化处理。
因此，对于该问题，以上各数据的统计与计算结果请见表1-1。
表1-1:
20所普通初中输入输出统计数据
序号
中学名称
X1
X2
X3
Y1
Y2
丫3
1
市二中
92
25.2
2.82
354
412
1
2
市四中
80
24
2.87
227
368
1
3
市六中
72
18
3.57
120
378
1
4
市十中
68
14
2.75
181
376
1
5
市九中
90
15.4
2.38
174
341
1
6
市^一中
98
22.8
12
220
300
1
7
市十二中
98
21.95
10.3
223
323
1
8
北二中
45
2
1.4
139
441
1
9
北三中
34
14.5
2.22
91
409
.87
10
山一中
66
8.5
2.54
174
356
1
11
山二中
57
6.3
1.83
140
360
1
12
山三中
57
13.8
7.47
158
296
.98
13
山四中
71
12.8
1.7
137
345
.91
14
山五中
61
12.7
2.2
145
342
1
15
耀化中学
61
22
3.75
129
362
.85
16
秦铁中
69
4.5
3.8
118
345
1
17
泰附中
34
10
1.5
128
349
1
18
农技中
29
12.6
8.42
76
248
.94
19
黄庄中学
43
11.54
3.42
43
288
1
20
山桥中学
46
15.2
5.65
167
409
1
利用CCR莫型，分别对上述各学校（决策单元）建立相应的线性规划模型，求得各中学的评价结果见表1-2。
表1-2:
各中学评价结果（评价模型：
CCR）
中学名称
对应CCR模型最优解
评价结论
市二中
q*=1,l1*=1
DEA有效,规模收益不变
市四中
q*=0.7426,11*=0.4381,l17*=0.5619,S「*=1.1637,
S3-*=0.053,S2+*=8.5973
非DEA有效,规模收益不变
市六中
q*=0.5078,l8*=0.188,l9*=0.111,l17*=0.7154,
S3*=0.2299,S1+*=7.8075
非DEA有效,规模收益递减。
市十中
q*=0.7435,l1*=0.2169,la*=0.3611,l17*=0.4219,
S3*=0.2943,S2+*=19.8915,
非DEA有效,规模收益不变。
市九中
q*=0.6854,,*=0.1628,18*=0.8372,
S-*=9.0315,S2"*=4.7778,S2+*=95.2791,
非DEA有效,规模收益不变。
市^一中
q*=0.6097,l1*=0.3943,"*=0.2616,
17*=0.344,S3*=5.3219,S2+*=97.9137,
非DEA有效,规模收益不变。
市十二中
q*=0.6219,l1*=0.4051,l8*=0.3134,l存=0.2815,
S3*=4.4019,S2+*=80.3565,
非DEA有效,规模收益不变。
北二中
q*=1,l8*=1,
DEA有效,规模收益不变。
北三中
q*=1,l9*=1,
DEA有效,规模收益不变。
山一中
q*=0.785,lr=0.1678,l8*=0.7347,l17*=0.0975,
-+
S3*=0.346,S2*=71.1605,
非DEA有效,规模收益不变。
山二中
q*=0.7781，11*=0.0098，18*=0.8896，
-+
17*=0.1006，S2*=1.8697，S2*=71.4563，
非DEA有效，规模收益不变。
山三中
q*=0.7566，l1*=0.1354，丨8*=0.1772，l仃*=0.6673，
S3*=4.0206，S2+*=70.8586，
非DEA有效，规模收益递增。
山四中
q*=0.7902，l1*=0.0489，“*=0.8611，S-*=12.8598，
S2*=7.161，S2+*=54.8924，
非DEA有效，规模收益递增。
山五中
q*=0.6919,l1*=0.0524，18*=0.4698，l仃*=0.4778，
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