第3章 332 第2课时 线性规划的实际应用.docx

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第3章332第2课时线性规划的实际应用

第2课时　线性规划的实际应用

学习目标

核心素养

理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题．（重点、难点）

借助线性规划的实际应用，培养数学建模和直观想象素养.

应用线性规划解决实际问题的类型

思考：

一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，假设信贷部用于企业投资的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元．那么x和y应满足哪些不等关系？

[提示]　分析题意，我们可得到以下式子

1．已知目标函数z＝2x＋y，且变量x，y满足约束条件

则（　　）

A．zmax＝12，zmin＝3

B．zmax＝12，无最小值

C．zmin＝3，无最大值

D．z既无最大值又无最小值

D　[画出可行域如图所示，z＝2x＋y，即y＝－2x＋z在平移过程中的纵截距z既无最大值也无最小值．

]

2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人每天50元，请瓦工需付工资每人每天40元．现有工人工资预算每天

2000元，设请木工x人，请瓦工y人，则请工人的约束条件是________．

[答案]　

3．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为________元．

36800　[设租用A型车x辆，B型车y辆，租金为z元，

则

画出可行域（如图中阴影部分内的整点），则目标函数z＝1600x＋2400y在点（5，12）处取得最小值zmin＝36800元．]

线性规划的实际应用问题

[探究问题]

1．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的

倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．设投资甲、乙两个项目的资金分别为x、y万元，那么x、y应满足什么条件？

[提示]　

2．若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z万元，那么z与x，y有何关系？

[提示]　根据公司所获利润＝投资项目甲获得的利润＋投资项目乙获得的利润，可得z与x，y的关系为z＝0.4x＋0.6y.

3．x，y应在什么条件下取值，x，y取值对利润z有无影响？

[提示]　x，y必须在线性约束条件

下取值．x，y取不同的值，直接影响z的取值．

【例1】　某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.怎样安排生产可使所获利润最大．

思路探究：

可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解．

[解]　设生产书桌x张，生产书橱y个，利润为z元，则目标函数为z＝80x＋120y，根据题意知，

约束条件为

即

画出可行域如图所示，

作直线l：

80x＋120y＝0，并平移直线l，由图可知，当直线l过点C时，z取得最大值，解

得C（100，400），所以zmax＝80×100＋120×400＝56000，即生产100张书桌，400个书橱，可获得最大利润．

（变结论）例题中的条件不变，如果只安排生产书桌可获利润多少？

如果只安排生产书橱呢？

[解]　

（1）若只生产书桌，则y＝0，此时目标函数z＝80x，由图可知zmax＝80×300＝24000，即只生产书桌，可获利润24000元．

（2）若只生产书橱，则x＝0，此时目标函数z＝120y，由图可知zmax＝120×450＝54000，即只生产书橱，可获利润54000元．

解答线性规划应用题的一般步骤

（1）审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些．由于线性规划应用题中的变量比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺．

（2）转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．

（3）求解——解这个纯数学的线性规划问题．

（4）作答——就应用题提出的问题作出回答．

线性规划中的最优整数解问题

【例2】　某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车，4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员．在建筑某段高速公路的工程中，此公司承包了每天运送360吨沥青的任务．已知每辆卡车每天往返次数为：

A型车8次，B型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为：

A型车160元，B型车280元．每天派出A型车与B型车各多少辆时，公司花的成本费最低？

思路探究：

①本题的线性约束条件及目标函数分别是什么？

②根据实际问题的需要，该题是否为整点问题？

[解]　设公司每天所花成本费为z元，每天派出A型车x辆，B型车y辆，则z＝160x＋280y,x，y满足的约束条件为

作出不等式组的可行域，如图．

作直线l：

160x＋280y＝0，即l：

4x＋7y＝0.

将l向右上方移至l1位置时，直线l1经过可行域上的M点，且此时直线与原点的距离最近，z取得最小值．

由方程组

，

解得

.

但y＝0.4不是整数，故取x＝7，y＝1，此时z取得最小值．

所以，当每天派出A型车7辆、B型车1辆时，公司所花费用最低．

寻找整点最优解的三种方法

（1）平移找解法：

先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．

（2）小范围搜寻法：

即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大（小）值．

（3）调整优值法：

先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解．

某厂有一批长为18m的条形钢板，可以割成1.8m和1.5m长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润．

[解]　设割成的1.8m和1.5m长的零件分别为x个、y个，利润为z元，则z＝20x＋15y－（x＋0.6y）

即z＝19x＋14.4y

且

作出不等式组表示的平面区域如图，又由

解出x＝

，y＝

，

所以M

，

因为x，y为自然数，在可行域内找出与M最近的点为（3，8），此时z＝19×3＋14.4×8＝172.2（元）．

又可行域的另一顶点是（0，12），z＝19×0＋14.4×12＝172.8（元）：

过顶点（8，0）的直线使z＝19×8＋14.4×0＝152（元）．

M

附近的点（1，10），（2，9），

直线z＝19x＋14.4y过点（1，10）时，z＝163；过点（2，9）时z＝167.6.

所以当x＝0，y＝12时，z＝172.8元为最大值．

答：

只截1.5m长的零件12个，可获得最大利润．

1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．

2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解（比如人数、车辆数等），应结合可行域与目标函数微调.

1．判断正误

（1）将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．（　　）

（2）当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）√

2．一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤卖5元，稻米每公斤卖3元，现该农民手头有400元，那么获得最大收益为________元．

1650　[设该农民种x亩水稻，y亩花生时能获得利润z元，则

即

z＝960x＋420y，

作出可行域如图阴影部分所示，

将目标函数变形为y＝－

x＋

，作出直线y＝－

x，在可行域内平移直线y＝－

x，可知当直线过点B时，z有最大值，

由

解得B

，故当x＝1.5，y＝0.5时，zmax＝1650元，故该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1650元．]

3．某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A，B，C，D四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙分别在各种设备上需要加工的台时数如下：

设备

产品　　　

A

B

C

D

甲

2

1

4

0

乙

2

2

0

4

已知各设备在计划期内有效台时数分别为12，8，16，12（1台设备工作1小时称为1台时），该厂每生产一件甲产品可得到利润2元，每生产一件乙产品可得到利润3元，若要获得最大利润，则生产甲产品和乙产品的件数分别为________．

4，2　[设在计划期内生产甲产品x件，乙产品y件，则由题意得约束条件为

即

作出可行域如图阴影部分所示，目标函数为z＝2x＋3y，由图可知当直线z＝2x＋3y经过点A时，z有最大值，解

得

即安排生产甲产品4件，乙产品2件时，利润最大．]

4．某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：

甲种钢板每张面积2m2，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3m2，每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？

（“用料最省”是指所用钢板的总面积最小）

[解]　设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，依题意

钢铁总面积z＝2x＋3y.作出可行域，如图所示．

由图可知当直线z＝2x＋3y过点P时，z最小．由方程组

得

所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．