首次积分法在偏微分方程中的应用研究.docx

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首次积分法在偏微分方程中的应用研究

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首次积分法在偏微分方程中的应用研究论文作者签名:

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答辩委员会主席:

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答辩日期:

杭州师范大学研究生学位论文独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得垫刿竖整盘堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。

与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。

学位论文作者签名（?

参砷签字吼洲年，月朋学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解筮趟监基盘堂有权保留并向国家有关部门或机构送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。

本人授权垫刿堙整盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。

（保密的学位论文在解密后适用本授权书）度捌、学位论文作者签名:

纱导师签名:

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少年厂月,，,,致谢时光苟然，弹指问，我溯;年,只,,,

三年的硕士生涯转瞬即逝，回首过去三年的求学岁月，心中颇多感怀与感激。

首先。

诚挚地感谢我的指导老师徐衍聪教授。

从论文选题，研究方法，中期考核到最后得出一系列的研究成果，无不凝聚着徐老师大量的心血。

尤其当我在研究中遇到困难而百思不得其解时，徐老师总是能恰到好处的给以点拨，使我茅塞顿开。

长期以来，徐老师以他严谨求实的治学态度，精益求精的工作作风，以及他深刻的数学思想和渊博的知识一直深深地感染和熏陶着我。

在今后的学术道路上，我将牢记思师的鞭策和教诲，踏实研究，励精图治，不断开拓进取。

我还要感谢徐老师在生活中给予我的关爱，为我创造了优越的学,,,,环境和科研环境，这些我都会铭记在心、永生难忘。

感谢理学院的各位老师，同时还感谢同学们对我的热心帮助和有益讨论。

我还要特别感谢一直在家乡无时无刻不在牵念、惦记着我的父亲母亲。

正是这份浓浓的亲情以及他们一如既往的帮助与支持，给予宋夷蟮亩Γ呶矣赂曳芙?

感谢母校杭州师范大学，您不但给了我知识，更给了我思想、成长的舞台。

我还要感谢理学院的领导和老师对我的教育和关怀。

在此，我再次向辛勤培育我们的各位老师、向关心我们成长进步的各级领导，表示衷心的感谢和崇高的敬意～祝愿杭州师范大学的明天更加美好。

最后，向百忙之中抽出宝贵时间审阅本论文的外审专家和答辩专家、教授致以崇高的敬意和深深的感谢杭州师范人学硕十学位论文摘要摘要众所周知，著名数学物理学家牛顿和莱布尼兹在,,,,,世纪创立的微积分学在近代和现代科学研究中得到了广泛的运用，并取得了一系列辉煌的成就:

二体问题的解决、海王星的发现，都是微分方程成功应用于质点动力学的壮丽篇章。

随着分析力学的发展，人们开始关心并研究连续变化的介质，如弦振动，弹性固体形变、流体力学等复杂力学现象的规律，进而得到了很多偏微分方程模型。

近年来，随着科学技术的迅速发展，偏微分方程已被广泛地应用于气象、机械、电信、化工、生态、经济、人口和其他社会科学的各个研究领域。

如何合理解释这些偏微分方程的动力学行为是研究者的主要目标，而寻求它们的精确解，研究其各类解的性质也成为科学工作者的重要课题。

本文主要运用首次积分法，深入研究了一些重要的偏微分方程，得到了它们的新的精确解。

首次积分法【,】是冯兆生教授在,,,,年求解,,,,,,,,,,,方程中被第一次提出的求解非线性偏微分方程的有

效方法。

首次积分法以环交换理论为基础，把偏微分方程通过行波变换，将其化为具有首次积分的常微分方程，再求出常微分方程的解，从而得到偏微分方程的孤立波解、指数函数解、三角函数解和其他精确解。

目前，首次积分法被广泛用于求解非线性偏微分方程。

例如:

,,,,,,,,应用首次积分法求解,,,,,,方程，,,,,,,,,,,和,,,,,,（,,〔,,求解了,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,方程通过使用首次积分法，,,,;,,,,,,〔,,使用首次积分法求得,,,,,,,,（,,,,,,,,,方程和,,（,,,方程的解。

首次积分法的显著优点是把求偏微分方程的过程化为求常微分方程的首次积分。

本文共分为四章。

第一章，介绍了偏微分方程的发展及其广泛应用，分析了昏前求偏微分方程精确解的研究现状及求解方法。

第二章，分析首次积分法的基本原理，并归纳、总结了运用首次积分法求偏微分方程的精确解的基本步骤。

第三章，运用首次积分法求出一些重要的偏微分方程的精确解。

运用首次积分法求得了广,,,,,,,,,,,,,,,,,,（,,,）方程睁,,一类常系数非线性偏微分方程〔,，、拓展的,,,,,,,,（,,,,,,,方程组【,啉一类非线性偏微分方程【,嗥推广的,,,,,,,,,,,,,,,,（,,）方程组〔,,—,,,和推广的,,,,,,,,方程〔,,,,,】在不同情况下的精确解。

第四章，对本文研究工作及对首次积分法的杭州师范大学硕士学位论文摘要未来应用进行总结和展望。

关键诃:

首次积分法，推广的,,,,,,,—,,,,,,,,,,（,,,）方程，推广的,,,,,,,,,,,,,,,,方程，拓展的,,,,,,,,,,,,,,,,（,,）方程，拓展的,,,（,,,,方程。

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,,,,,（杭州师范大学硕士学位论文目录目录摘

要……………………………………………………………,,,,,,,;,………（………………………………………………,,,目

录……………………………………………………………,,绪

论…………………………………………………………,（,偏微分方程基本概况………………………………………,（,偏微分方程的精确解求解的研究现状………………………（（,（,本文的主要工作及结构安

排………………………………（。

首次积分

法…………………………………………………（（,（,首次积分法基本原

理………………………………………,（,首次积分法算法介

绍………………………………………,首次积分法在偏微分方程中的应用………………………………,,,（,推广的,,,,,,,,,,,,,?

,,,（,,,）方程……………………（,,,（,（,引

言………………………………………………,,,（,（,推广的,,,,,册,,,,,,,,,,（,,,）方程的精确解………,,,（,（,小结………………………………………………,,,（,拓展的,,,,,,,,,,,,,,,,方程………………………………,,,（,（,引言………………………………………………,,,（,（,拓展的,,,,,,,,,,,,,,,,方程的精确解………………（（,,,（,（,小结………………………………………………,,,（,拓展的,,,,,,,,,,,,,,,,方程组……………………………（（,,,（,（,弓,言………………………………………………,,,（,（,拓展的，）,,,,

（,,,（,（,小,,,,,,,,,,,方程组的精确解………………

结………………………………………………,,杭州师范大学硕士学位论文目录,（,一类拓展的非线性偏微分方程………………………………四,（,（,引言……（………………………………………（（四,（,（,一类非线性偏微分方程的两种拓展形式的精确解………（（四,（,（,小

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,,,,,,（,,）方程组………………………（（盯,（,（,引言………………………………………………卯,（,（,推广,,,,,,,,,,,,,,,,（,,）方程组的精确解…………（盯,（,（,小结………………………………………………铝,（,推广的,,,（,,,,方程………………………………………（必,（,（,引

言………………………………………………必,（,（,推广的,,,—,,,,方程的精确解………………………（（必,（,（,小

结…………………………………………（…（（的,总结与展

望…………………………………………………（（,,参考文

献………………………………………………………（,,简

历……………………………………………………………,,作者在攻读硕士学位期间完成的主要论文……………………………,,杭州师范人学硕士学位论文绪论,绪论,（,偏微分方程基本概况在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题甩一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题由多个变量的函数来描述。

比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量;速度、电场的弓,力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量;物体在一点上的张力状态的描述出的量,,,做张量，等等。

这些量不仅和时间有关系，而且和空问坐标也有联系，这就需要要用多个变量的函数来表示。

应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的，而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。

介质的温度也是这样。

这样就产生了研究某些物理现象的理想化的多个变量的

函数方程，这种方程就是偏微分方程。

微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，不久，法国数学家达曙贝尔也在他的著作（（论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。

这些著作当时没有弓,起人们多大的注意。

,,,年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》申，提议证明无穷多种和正弦由线不同的曲线是振动的模式。

这样就开僻了偏微分方程这门学科。

和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔?

贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解决弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起到较大的影响（拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容（偏微分方程得封迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了重要贡献。

例如法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。

在从事热流动的研究过程中，写出了《热的解析理论溉在文章申他提出了三维空问的热方程，也就是一种偏微分方程。

他的研究对偏微分方程的发展有很大的影嗬。

,,,,世纪，,,,,,,,,,,,,,,仓,立的微积分在经典力学上得以广泛运用（并取得了辉煌的成就，二体问题的解决、海王星酶发现，都是微分方程成功应用于质点动力学的壮丽篇章。

随着分析力学的发展，人们开始研究连续变化的介质，杭州师范大学硕士学位论文绪论如弦振动、弹性固体形变、流体力学等复杂力学现象的规律，得到了一些偏微分方程。

古典力学的,,,,,,,,,,,;,,,理论和计算变分,,,,,,,,,,,,,,方程都会导出偏微分方程（,,,,年,（,,,,,,,用其命名的偏微分方程组预言了光是一种电磁波，这个预言,,年后被,（,,,,,的试验证实;广义相对论中,,,,,,,,引力场方程的球对称解，准确地解释了水星近日运动，并预言了太阳引力场中光线的偏折，成为广义相对论正确性的有力论证（在量子力学中偏微分方程的应用更广泛。

在过去的两个多世纪里，偏微分方程成功的应用于物理学和其他自然学科，预见和揭示了小到夸克、蟮教焯宓奈镏试硕钠毡楣媛伞,保?

偏微分方程的精确解求解的研究现状偏微分方程的解一般有无穷多个，但是解决具体的物理问题的时候，必须从中选取所需要的解，因此，还需知道附加条件。

因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式，仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性，所以就物理现象来说，各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件，就是初始条件和边界条件。

弦振动是一种机械运动，当然机械运动的基本定律是质点力学的,,,,，但是弦并不是质点，所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上（然而，如果我们把弦细细地分成若干个极小的小段，每一小段抽象地看作是一个质点，这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。

对于同样的弦乐器，如果一种是以薄片拨动弦，另一种是以弓在弦上拉动，那么它们发出的声音是不同的。

原因就是由于“拨动”和“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同，因此产生后来的振动情况也就不同（天文学中也有类似情况，如果要通过计算预言天体的运动，必须要知道这些天体的质量，同时除了牛顿定律的一般公式外，还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态，就是在某个起始时问，这些天体的分布以及它们的速度。

在解决任何数学物理方程的时候，总会有类似的附加条件（就弦振动来说，弦振动方程只表示弦的内点的力学规律，对弦的端点不成立，所以在弦的两端必须给出边界条件，也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况（当然，客观实际中存在“没有初始条件的问题”，如定场问题（静

电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等），也存在“没有边界条件的问题”，如着重研究不靠近两端的那段弦，就抽象的成为无边界的弦了（在数学上，初始条,杭州师范入学硕士学位论文绪论件和边界条件叫做定解条件。

偏微分方程本身是表达回一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据;定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。

方程和定解条件合为一体，就叫做定解问题。

求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。

但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。

偏微分方程的精确解能准确的反应和揭示偏微分方程所表示的规律与合理性。

近些年，随着科学技术的发展，偏微分方程被广泛的应用于气象、机械、电信、化工、生态、经济、人口和其他社会科学的各个领域。

解释这些偏微分方程的合理性和寻求他们的精确解成为科学工作者的重要课题。

经过数百年的研究探索，发展了一些求偏微分方程精确解的方法。

逆散射法〔,,,，,,,,,,方法〔,,,，,,,;,,,,,变换法【,昏,,】，,,,,,,,变换法〔,,,，,,,,,,,,,,,方法〔,,,，齐次化方法〔,,,，正弦（余弦法〔,,,，,,;,,,椭圆函数法【,,（,,,，,,—;,,方法【,,,,,】，,,,,,,,分解法【,,,,,】，变分迭代法〔,,,，拓展的双曲正切法〔,,一,,,，回伦摄动法【,,（,,,，双曲正切一双曲正割法〔,,,等。

,,,年，瑞典几何学家,配,,,,,在研究负常曲率面时提出了,,,,,,,,,,,方程的,狁,,,,,变换方法,,,,,,〕，并得到了一个非线性叠加公式，这个叠加公式在非线性理论中具有重要的应用。

但是由于这个变换没有别的应用，直到,,世纪,,年代，由于菲线性光学等许多领域都,与,,,,,,,,,,,方程有关，这个变换才重新受到人们的重视（,,,,年，,,,,,,,在研究一个一维,,,,,,,,,,,方程的特征值问题时提出了,,,,,,,变换法〔舛其基本思想就是利用非线性方程的一个解及其,,,对的解，用代数算法及微分算法来获得非线性方程的新的精确解和,,,对相应的解。

,,,年，我国中科院院士谷超豪等人将,