二次根式知识点总结及练习题大全.docx

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二次根式知识点总结及练习题大全

二次根式知识点总结及练习题大全

1.二次根式：

式子（≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：

必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；

⑵被开方数中不含分母；

⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：

2）（21（）（）=（≥0）；二次根式的运算：

5.）因式的外移和内移：

如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它1（变形为积?

的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．）二次根式的加减法：

先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（2（商），所得的积，二次根式相乘（除）将被开方数相乘（除）（3）二次根式的乘除法：

仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．）．0，a>00≥）；（b≥0=·（a≥，b乘法对加法的分配律以及?

4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，（多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

【典型例题】2）、平方法（当时，①如果，则；②如果，则。

、比较与的大小。

例1

2、比较与的大小。

例

）、分母有理化法（3通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

、比较与的大小。

3例

（4）、分子有理化法

通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例4、比较与的大小。

（5）、倒数法

例5、比较与的大小。

（6）、媒介传递法

适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例6、比较与的大小。

（7）、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质：

①；②

例7、比较与的大小。

（8）、求商比较法

它运用如下性质：

当a>0，b>0时，则：

①；②

例8、比较与的大小。

二次根式的概念和性质

1．判断题（对的打“∨”，错的打“×”）

2）=-（（（）;2）

（1）（）=-

22）=2×=1（）-）=-（;（4）

（2）（3）（（）的是2．下面的计算中，错误．．0.07．±=±．A=±0.03B-=-0.13=0.15D．C．）3．下列各式中一定成立的是（=-．A．=+=3+4=7B2=1-=

．）=D．（C-22．=________-+5-=________4．（）；．（）6·[-]．-6；

7．数a在数轴上的位置如图所示，化简：

-│1-a│=_______．

8．计算：

+=_______．

2-|-|、--（）109．

+13.．．+1211

二次根式的乘除练习题1、填空：

__________

1）二次根式的乘法法则用式子表示为（__________

2）二次根式的除法法则用式子表示为（_________

将式子分母有理化后等于___化去，叫做分母有理化.（3）把分母中的_________）成立的条件是（4_________

）成立的条件是（5_________

6）成立的条件是（6）（7）化简：

（）计算：

（8．下列运算正确的是（）122=5

．-=5D．=-5C）-．（=-5B．（）A．

2．下面的计算中，正确的是（）

A．=0.1；B．-=-0.03；C．±=±13；D．=-4

3．下列命题中，错误的是（）．．A．如果=5，则x=5;

B．若a（a≥0）为有理数，则是它的算术平方根

C．化简的结果是-3

D．在直角三角形中，若两条直角边分别是，2，那么斜边长为5

4．计算+|-11|-，正确的结果是（）

A．-11B．11C．22D．-22

2．．=________）-+=________；65．（-

2．

（2）=__________．7-a8．比较大小6______7．（填“>”，“＝”，“<”号）2-21-10

．数a在数轴上的位置如图所示，化简：

│-a-1│-2=________．910．=________．+=______．．计算：

+++…11、b为边长的等腰三角形的周长．，求以12．如果+│b-2│=0a

.

1、判断题：

下列运算是否正确1）（）（）（）（2（）（3）（）（4））（）（5）（6）（

）（）（7（）（8）.

、运用乘法分配律进行简单的根式运算1（计算例11（）2）

（1）

（2）

（3）

2、比较两个实数的大小.

例2比较下列两个数的大小

（1）与

（2）与

、与42、与、与3、与1.、二次根式的乘除混合运算3

（2）1（）

1（）（）2

.

、运用分母有理化进行计算43

化简例分析：

当分母里二次根式的被开方数都相差1时，如果分母有理化后则变为1或-1，就可将原式变为不含分母的二次根式.

思考题：

计算

二次根式的加减

1．若与是同类二次根式，则a=_______，b=_______．

2．在，，，中能与进行加减合并的根式有_________．

3．计算：

+=_________．

4．已知长方形的长和宽分别为，，则它的周长是________．

2-4=_________．5．在实数范围内分解因式：

a6．+与+大小关系是_________．

7．下列根式中与其他三个不同类的是（）

A．B．C．D．

8．下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（）

A．与B．与C．与2D．18与

9．下列根式合并过程正确的是（）

A．2--=2B．a+b=a+b

C．5+=a+D．-=

10．计算：

++-的值是（）

A．+5B．+8C．6+D．12+

11．若5+=6，则y值为（）

A．B．1C．2D．3

12．一个等腰三角形的两边分别为2，3，则这个三角形的周长为（）

6+2．3+4B．A6+2

或．C6+4D．3+413．计算：

5+-72+31（）

（2）

2+6a-3a4）（3）++-+（

P．，c=2，求周长a=714．如果△ABC的三边，b=4

巩固练习）1.下列根式中，与是同类二次根式的是（

A.B.C.D.

）下面说法正确的是（2.

B.与是同类二次根式A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式的根式D.与不是同类二次根式同类二次根式是根指数为2C.）与不是同类二次根式的是（3.

A.B.C.D.

）下列根式中，是最简二次根式的是（4.

A.B.C.D.

5.★若，则化简的结果是（）A.B.C.3D.-3

★6.若的整数部分为，小数部分为，则的值是（）

A.B.C.1D.3

7.下列式子中正确的是（）

A.B.

C.D.

8.在中，与是同类二次根式的是。

9.若最简二次根式与是同类二次根式，则。

10.一个三角形的三边长分别为，则它的周长是cm。

11.若最简二次根式与是同类二次根式，则。

12.已知，则。

13.已知，则。

★14.。

15.计算：

⑴.⑵.

⑶.⑷.

★16.计算及化简：

⑴.⑵.

★17.已知：

为实数，且，化简：

。

二次根式的混合运算

一、填空

1、计算：

2、化简：

=，=。

3、二次根式有意义时的的范围是＿＿＿＿＿＿。

4、若，则x的范围是。

5、一个等腰直角三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的面积为。

6、代数式的最大值是__________。

7、计算：

，=。

8、把的根号外的因式移到根号内得。

9．若+有意义，则=_______．

10．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．

11．分母有理化:

（1）=_________;

（2）=________;（3）=______.

．_______，那么的最后结果是z=5，y=4，x=3．已知12．

13．化简=_________．（x≥0）

14．a化简二次根式号后的结果是_________．

42xx．－1＝－27＝________，②4________15．在实数范围内分解因式①2cbabca．的三边长，则＋||＋＝42．设－，，________为△ABCaa．＝________＜1，化简＝________，43．若0＜ba时，化简：

的结果为．当46_____<－。

<1二、选择题）16、下列各式中不是二次根式的是（D））C（（A）（B）（）17、下列运算正确的是（B）（A）（D）C）2+=2（（（）18、下列二次根式中与是同类二次根式的是））（D）（B）（C（A）19、化简的结果为（

1（B）（C）（D）–（A）

（）

、化简的结果是202（D）4±（A）–2（B）2（C）

）21、使代数式8有意义的的范围是（）不存在D（（B）（C）A（）

）、若成立。

则x的取值范围为：

（223＜）2＜xDxCx（B）≤3（）2≤≤3（2xA（）≥（）、若，则的值为：

23

2（）（）（）（A0B1C-1D）

24.使式子有意义的未知数x有（）个．A．0B．1C．2D．无数

25．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（）．A．4B．3C．2D．1

28．若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，?

那么此直角三角形斜边长是（）A．3cm

B．3cmC．9cmD．27cm

29．化简a的结果是（）．A．B．C．-D．-

30．等式成立的条件是（）

A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-1

31．计算的结果是（）A．B．C．D．

32．如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．

A．（y>0）B．（y>0）C．（y>0）D．以上都不对

33．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（）．

A．B．C．-D．-

34．在下列各式中，化简正确的是（）

2D．=x

C．=aA．=3B．=±35．化简的结果是（）A．-B．-C．-D．-

aab的关系是（与36．已知）＝，则

ababaa＝－D．＝－C．．A＝B．＝2的结果是（）37．计算（）（＋）－（＋）A．－7B．－7－2C．－7－4D．－6－4

x＜5时，的值是（．当）38xxxx＋C．5－55．A－5B．－．－Dxx＋3，则39．若＝的取值应为（）xxxx3C．≥－3D．≤－3B．A≥3．≤a）．当＜0时，化简的结果是（40a2．－D0．1C．－B1．A．

xyxy的值为（）41．已知：

＋＝，＝，则代数式A．4B．2C．D．

计算题

10、11、

12、13、

14、15、

16、3（2－4＋3）17、（

219）＋、（1872、（＋＋）（－＋）

22yxyx21、（）÷（＋）20、（－＋2＋）÷（＋）

化简：

（

解答题是多少时，x+在实数范围内有意义？

1、当、已知y=++5，求的值．2

、b的值．ab3、已知a、为实数，且+2=b+4，求

。

│时，试化简│≤≤若4.-3x2x-2++

5．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．

，求的值．为实数，且y=6．若x、y

2xxx－的值．＋7．已知：

＝，求1

yx＝，＝＋，求的值．8．已知：

22baba0＝9．已知＋4－，求的值．－2＋5

xx－时，化简＋＜|10．当－2|1|1|．

11、在实数范围内分解下列因式:

242-3-4（3）2x-3

（2）xx

（1）在实数范围内有意义？

、当x是多少时，+12

13、已知y=++5，求的值．

的值．+2=b+4b为实数，且，求a、ba14、已知、

++│。

2-315.若≤x≤时，试化简│x-2

为偶数，求（16．已知，且x1+x）的值．

，求的值．y=为实数，且y、x．若17．

2xxx1－的值．已知：

＋＝，求

yx．已知：

＝＋，求的值．＝，20

22baba0－2，求的值．＋21．已知＋5－4＝

xx|1－．|22．当|＜－2|1时，化简＋

【综合训练】____；3____）；

（2）_____（）1．化简：

（1

）。

____；（5）（4

2.）化简=_________。

3.计算的结果是4Ｄ．2Ａ.2Ｂ．±Ｃ．-2

2）的结果是化简：

（4.1；（）的结果是；

5-2=______；3）=；（4）（

；－）=_________；（6）（5）＋（5

．________；（8）（7）＝

．计算的结果是5、、6B、C、2DA。

6．的倒数是

下列计算正确的是7.

．CD．A．B．

8.下列运算正确的是D、A、B、C、；．已知等边三角形9ABC的边长为，则ΔABC的周长是____________。

10.比较大小：

３

11．使有意义的的取值范围是．

x则的取值范围是12.若式子在实数范围内有意义,xxxx-5

≥≠-5

A.>-5B.D.<-5

C.．13.函数中，自变量的取值范围是

的是14.下列二次根式中，的取值范围是≥212Dx+2C、、xA2、－xB－、x－2下列根式中属最简二次根式的是15.A.B.C.D.

16．下列根式中不是最简二次根式的是．D．A．BC．

．下列各式中与是同类二次根式的是17．C．D2A．B．18．下列各组二次根式中是同类二次根式的是

A．B．C．D．

19.）已知二次根式与是同类二次根式，则的α值可以是

A、5B、6C、7D、8

xy的值为．若，则20．

A．B．C．D．

21.若，则．

22．如图，在数轴上表示实数的点可能是

A．点B．点C．点D．点

计算：

23.）（1

（2）

4）．（（3）．

24.先将÷化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值。

若，则的取值范围是25.．BD．．C．A26.如图，数轴上两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是

B．C．D．A．

巩固训练．

21.1二次根式

1.使式子有意义的条件是。

2.当时，有意义。

3.若有意义，则的取值范围是。

4.当时，是二次根式。

5.在实数范围内分解因式：

。

6.若，则的取值范围是。

7.已知，则的取值范围是。

8.化简：

的结果是。

9.当时，。

10.把的根号外的因式移到根号内等于。

11.使等式成立的条件是。

12.若与互为相反数，则。

13.在式子中，二次根式有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

14.下列各式一定是二次根式的是（）

A.B.C.D.

15.若，则等于（）

A.B.C.D.

16.若，则（）

A.B.C.D.

17.若，则化简后为（）

A.B.

C.D.

18.能使等式成立的的取值范围是（）

A.B.C.D.

19.计算：

的值是（）

A.0B.C.D.或

20.下面的推导中开始出错的步骤是（）

A.B.C.D.

21.若，求的值。

22.当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。

23.去掉下列各根式内的分母：

已知，求的值。

24.

25.已知为实数，且，求的值。

二次根式的乘除21.2

当，时，。

1.

2.若和都是最简二次根式，则。

3.计算：

。

4.计算：

。

5.长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为（精确到0.01）。

6.下列各式不

是最简二次根式的是（）

A.B.C.D.

7.已知，化简二次根式的正确结果为（）

A.B.C.D.

8.对于所有实数，下列等式总能成立的是（）

A.B.

C.D.

9.和的大小关系是（）

A.B.C.D.不能确定

10.对于二次根式，以下说法中不正确的是（）

A.它是一个非负数B.它是一个无理数

C.它是最简二次根式D.它的最小值为3

11.计算：

12.化简：

21.3二次根式的加减

1.下列根式中，与是同类二次根式的是（）

A.B.C.D.

2.下面说法正确的是（）

A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式

B.与是同类二次根式

C.与不是同类二次根式

D.同类二次根式是根指数为2的根式

3.与不是同类二次根式的是（）

A.B.C.D.

4.下列根式中，是最简二次根式的是（）

A.B.C.D.

5.若，则化简的结果是（）

A.B.C.3D.-3

6.若，则的值等于（）

A.4B.C.2D.

）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（7.

A.B.C.1D.3

8.下列式子中正确的是（）

A.B.

C.D.

9.在中，与是同类二次根式的是。

10.若最简二次根式与是同类二次根式，则。

11.一个三角形的三边长分别为，则它的周长是cm。

12.若最简二次根式与是同类二次根式，则。

13.已知，则。

14.已知，则。

15.。

16.计算：

⑴.⑵.

⑶.⑷.

17.计算及化简：

⑴.⑵.

19.已知：

，求的值。

20.已知：

为实数，且，化简：

。

21.已知的值。

答案：

21.1二次根式：

1.；2.；3.；4.任意实数；

8.；；；6.；7.5.12.-1；10.；11.；9.4；CCCABCDB

20：

13——；1；23.21.4；22.，最小值为25.-2

；24.4.-5；；5.2.83；21.21.2二次根式的乘除：

；2.1、；3.18DDCAB：

106——11.；；12.13.

BAACCCCC

：

8——1二次根式的加减：

21.3

9.；10.1、1；11.；12.1；13.10；

14.；15.；

16.；

17.；

21.2

；20.-1；19.；18.5．