区级联考贵州省遵义市新蒲新区学年八年级上期末数学试题.docx

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区级联考贵州省遵义市新蒲新区学年八年级上期末数学试题

【区级联考】贵州省遵义市新蒲新区2020-2021学年八年级（上）期末数学试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．下列图形是轴对称图形的是（）

A．

B．

C．

D．

2．病毒H7N9的直径为0.000000028米，用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（　　）

A．28×10﹣9B．2.8×10﹣8C．0.28×10﹣7D．2.8×10﹣6

3．若分式

有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≠0B．x≠3C．x≠﹣3D．x≠﹣

4．下列式子正确的是（　　）

A．（2a2）3＝6a6B．2a2×a4＝2a8

C．（a+2）2＝a2+4D．a﹣2＝

5．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　）

A．∠BCA=∠F；B．∠B=∠E；C．BC∥EF；D．∠A=∠EDF

6．如图，直尺经过一副三角尺中的一块三角板DCB的顶点B，若∠C＝30°，∠ABC＝20°，则∠DEF度数为（　　）

A．25°B．40°C．50°D．80°

7．若等腰三角形有两条边的长度为5和8,则此等腰三角形的周长为

A．18或21B．21C．24或18D．18

8．在平面直角坐标系内，点A（x﹣6，2y+1）与点B（2x，y﹣1）关于y轴对称，则x+y的值为（　　）

A．0B．﹣1C．2D．﹣3

9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上，在线段AC的延长线上取点D，使得CD＝CE，连接DE，CF是△CDE的中线，若∠FCE＝52°，则∠A的度数为（　　）

A．38°B．34°C．32°D．28°

10．体育测试中，甲和乙进行400米跑测试，甲的速度是乙的1.6倍，甲比乙少用了30秒，设乙的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（　　）

A．40×1.6x﹣30x＝400B．

＝30

C．

＝30D．

＝30

11．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于D点，连接BD，若DE＝2，则AC的值为（　　）

A．4B．6C．8D．10

12．在△ABC中，∠A＝40°，点D在BC边上（不与C、D点重合），点P、点Q分别是AC、AB边上的动点，当△DPQ的周长最小时，则∠PDQ的度数为（　　）

A．140°B．120°C．100°D．70°

二、填空题

13．因式分解：

a2-9=．

14．从3cm、4cm、5cm、7cm的四根小棒中任取三根，能围成_____个三角形．

15．若式子a2﹣2a+1+|b﹣2|＝0，则ab＝_____．

16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BD：

DC＝4：

3，点D到AB的距离为6，则BC等于_____．

17．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为_____．

18．如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.（2个全等三角形不重合）

三、解答题

19．解分式方程：

20．先化简，后求值：

（1﹣

）÷（

），其中a＝3．

21．已知：

如图，BC∥EF，点C，点F在AD上，AF＝DC，BC＝EF．求证：

△ABC≌△DEF．

22．定义：

任意两个数a，b，按规则c＝b2+ab﹣a+7扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．

（1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c；

（2）如果a＝3+m，b＝m﹣2，试说明“如意数”c为非负数．

23．如图，点E是△ABC的BC边上的一点，∠AEC＝∠AED，ED＝EC，∠D＝∠B．

（1）求证：

AB＝AC；

（2）若∠D比∠BAC大15°，求∠BAC的度数．

24．某商场购进甲、乙两种空调共40台．已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价多0.2万元；用36万元购进乙种空调数量是用18万元购进甲种空调数量的4倍．请解答下列问题：

（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？

（2）若商场预计投入资金不多于11.5万元用于购买甲、乙两种空调，且购进甲种空调至少14台，商场有哪几种购进方案？

25．等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，将该三角形在直角坐标系中放置．

（1）如图

（1），过点A作AD⊥x轴，当B点为（0，1），C点为（3，0）时，求OD的长；

（2）如图

（2），将斜边顶点A、B分别落在y轴上、x轴上，若A点为（0，1），B点为（4，0），求C点坐标；

26．数学兴趣活动课上，小明将等腰△ABC的底边BC与直线1重合，问：

（1）已知AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，点P在BC边所在的直线l上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小明发现AP的最小值是　　；

（2）为进一步运用该结论，小明发现当AP最短时，在Rt△ABP中，∠P＝90°，作了AD平分∠BAP，交BP于点D，点E、F分别是AD、AP边上的动点，连接PE、EF，小明尝试探索PE+EF的最小值，为转化EF，小明在AB上截取AN，使得AN＝AF，连接NE，易证△AEF≌△AEN，从而将PE+EF转化为PE+EN，转化到

（1）的情况，若BP＝3

，AB＝6，AP＝3，则PE+EF的最小值为　　；

（3）请应用以上转化思想解决问题（3），在直角△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝10，点D是CD边上的动点，连接AD，将线段AD顺时针旋转60°，得到线段AP，连接CP，求线段CP的最小值．

参考答案

1．A

【解析】

试题分析：

根据轴对称图形的定义，A是轴对称图形，B、C既不是轴对称图形也不是中心对称图形，D是中心对称图形．故选A．

考点：

轴对称图形和中心图形的判断和区分．

2．B

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

解：

0.000000028用科学记数法表示2.8×10﹣8，

故选：

B．

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．C

【解析】

【分析】

根据分式有意义的条件可得：

x+3≠0，再解不等式即可．

【详解】

由题意得，x+3≠0

解得：

x≠-3

故选C

【点睛】

本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0是解题的关键.

4．D

【解析】

【分析】

根据积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式和负整数幂解答即可．

【详解】

解：

A、（2a2）3＝8a6，错误；

B、2a2×a4＝2a6，错误；

C、（a+2）2＝a2+4a+4，错误；

D、a﹣2＝

，正确；

故选：

D．

【点睛】

此题考查积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式和负整数幂，关键是根据积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式和负整数幂法则解答．

5．B

【解析】

全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．

解：

A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

B、∵在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；

C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．

故选B．

6．C

【分析】

依据三角形外角性质，即可得到∠BAD，再根据平行线的性质，即可得到∠DEF的度数．

【详解】

解：

，

，

，

，

，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题时注意：

两直线平行，同位角相等．

7．A

【分析】

根据等腰三角形的性质，分两种情况：

①当腰长为5时，②当腰长为8时，解答出即可．

【详解】

解：

根据题意，

①当腰长为5时，5+5＞8，周长=5+5+8=18；

②当腰长为8时，5+8＞8，周长=8+8+5=21．

故选：

A．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．

8．A

【解析】

【分析】

直接利用关于y轴对称点的性质进而得出x，y的值，即可得出答案．

【详解】

解：

∵点A（x﹣6，2y+1）与点B（2x，y﹣1）关于y轴对称，

∴2y+1＝y﹣1，x﹣6＝﹣2x

解得：

y＝﹣2，x＝2，

故x+y＝0．

故选：

A．

【点睛】

此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．

9．D

【解析】

【分析】

利用等腰三角形的三线合一求出∠ECD，再求出∠ACB即可解决问题．

【详解】

解：

∵CE＝CD，FE＝FD，

∴∠ECF＝∠DCF＝52°，

∴∠ACB＝180°﹣104°＝76°，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝76°，

∴∠A＝180°﹣152°＝28°，

故选D．

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

10．C

【解析】

【分析】

先分别表示出甲和乙跑400米的时间，再根据甲比乙少用了30秒列出方程即可．

【详解】

解：

设乙的速度是x米/秒，则甲跑400米用的时间为

秒，乙跑400米用的时间为

秒，

∵甲比乙少用了30秒，

∴方程是

＝30，

故选：

C．

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出甲、乙的速度，以及甲和乙跑400米所用的时间，根据时间差列方程即可．

11．B

【解析】

【分析】

依据含30°角的直角三角形的性质，即可得到AD的长，再根据角平分线的性质，即可得到CD的长，进而得出AC的长．

【详解】

解：

∵∠A＝30°，DE垂直平分AB，DE＝2，

∴AD＝BD＝4，

∴∠ABD＝∠A＝30°，

∴∠DBC＝∠ABD＝30°，

即BD平分∠ABC，

又∵DE⊥AB，DC⊥BC，

∴CD＝DE＝2，

∴AC＝4+2＝6，

故选：

B．

【点睛】

此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题注意掌握数形结合思想的应用．

12．C

【解析】

【分析】

作D关于AC的对称点E，作D关于AB的对称点F，连接EF交AC于P，交AB于Q，则此时△DPQ的周长最小，根据四边形的内角和得到∠EDF＝140°，求得∠E+∠F＝40°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

【详解】

解：

作D关于AC的对称点E，作D关于AB的对称点F，连接EF交AC于P，交AB于Q，

则此时△DPQ的周长最小，

∵∠AGD＝∠ACD＝90°，∠A＝40°，

∴∠EDF＝140°，

∴∠E+∠F＝40°，

∵PE＝PD，DQ＝FQ，

∴∠EDP＝∠E，∠QDF＝∠F，

∴∠CDP+∠QDG＝∠E+∠F＝40°，

∴∠PDQ＝140°﹣40°＝100°，

故选：

C．

【点睛】

本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出图形是解题的关键．

13．（a+3）（a﹣3）

【解析】

试题分析：

a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．

试题解析：

a2-9=（a+3）（a-3）．

考点：

因式分解-运用公式法．

14．3

【解析】

【分析】

三角形三条边的特性：

任意两边的长度和大于第三边，任意两边的长度差小于第三边．根据此特性，进行判断．

【详解】

解：

3cm、4cm、5cm和7cm的四根木棒中，其中共有以下方案可组成三角形：

取3cm，4cm，5cm；由于5﹣3＜4＜5+3，能构成三角形；

取3cm，5cm，7cm；由于7﹣3＜5＜7+3，能构成三角形；

取4cm，5cm，7cm；由于7﹣4＜5＜7+4，能构成三角形．

所以有3种方法符合要求．

故答案为：

3．

【点睛】

本题主要考查三角形三条边的关系：

任意两边的长度和大于第三边，任意两边的长度差小于第三边．

15．2

【解析】

【分析】

直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质分析得出答案．

【详解】

解：

∵a2﹣2a+1+|b﹣2|＝0，

∴（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，

∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，

解得：

a＝1，b＝2，

则ab＝2．

故答案为：

2．

【点睛】

此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．

16．14

【解析】

【分析】

先根据角平分线的性质得出CD的长，再由BD：

DC＝4：

3求出BD的长，进而可得出结论．

【详解】

解：

∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点D到AB的距离为6，

∴CD＝6．

∵BD：

DC＝4：

3，

∴BD＝8，

∴BC＝6+8＝14．

故答案为：

14．

【点睛】

本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．

17．

．

【分析】

根据共走了45米，每次前进5米且左转的角度相同，则可计算出该正多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度．

【详解】

连续左转后形成的正多边形边数为：

，

则左转的角度是

．

故答案是：

．

【点睛】

本题考查了多边形的外角计算，正确理解多边形的外角和是360°是关键．

18．0；4；8；12

【分析】

此题要分两种情况：

①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP或AC＝BN进行计算即可．

【详解】

解：

①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，

∵AC＝2，

∴BP＝2，

∴CP＝6−2＝4，

∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；

②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB≌△NBP，

这时BC＝PN＝6，CP＝0，因此时间为0秒；

③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，

∵AC＝2，

∴BP＝2，

∴CP＝2＋6＝8，

∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；

④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB≌△NBP，

∵BC＝6，

∴BP＝6，

∴CP＝6＋6＝12，

点P的运动时间为12÷1＝12（秒），

故答案为0或4或8或12．

【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

19．无解

【解析】

【分析】

找出分式方程的最简公分母，去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到原分式方程的解．

【详解】

解：

去分母：

4＝3x﹣6+x+2

解得：

x＝2，

经检验当x＝2时，x﹣2＝0，

所以x＝2是原方程的增根，此题无解

【点睛】

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

20．

2.

【解析】

【分析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．

【详解】

解：

原式＝

，

当a＝3时，

原式＝

＝2．

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

21．详见解析.

【解析】

【分析】

首先利用等式的性质可得AC=DF，根据平行线的性质可得∠ACB=∠DFE，然后再利用SAS判定△ABC≌△DEF即可．

【详解】

证明：

∵AF=DC，

∴AF+FC=DC+FC，

即AC=DF，

∵BC∥EF，

∴∠ACB=∠DFE，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS）．

【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

22．

（1）4；

（2）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）本题是一道自定义运算题型，根据题中给的如意数的概念，代入即可得出结果

（2）根据如意数的定义，求出代数式，分析取值范围即可.

【详解】

解：

（1）∵a＝2，b＝﹣1

∴c＝b2+ab﹣a+7

＝1+（﹣2）﹣2+7

＝4

（2）∵a＝3+m，b＝m﹣2

∴c＝b2+ab﹣a+7

＝（m﹣2）2+（3+m）（m﹣2）﹣（3+m）+7

＝2m2﹣4m+2

＝2（m﹣1）2

∵（m﹣1）2≥0

∴“如意数”c为非负数

【点睛】

本题考查了因式分解，完全平方式（m﹣1）2的非负性，难度不大．

23．

（1）详见解析；

（2）∠BAC＝50°．

【解析】

【分析】

（1）根据SAS证明△AED与△AEC全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定解答即可；

（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．

【详解】

证明：

（1）在△AED与△AEC中

，

∴△AED≌△AEC（SAS），

∴∠D＝∠C，

∵∠D＝∠B，

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC；

（2）∵∠B＝∠C，

∵∠D比∠BAC大15°，

∴∠BAC+∠BAC+15°+∠BAC+15°＝180°，

【点睛】

此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△AED与△AEC全等．

24．

（1）甲空调每台的进价为0.4万元，则乙空调每台的进价为0.2万元；

（2）商场共有四种购进方案：

①购进甲种空调14台，乙种空调26台；②购进甲种空调15台，乙种空调25台；③购进甲种空调16台，乙种空调24台；④购进甲种空调17台，乙种空调23台．

【解析】

【分析】

（1）设甲空调每台的进价为x万元，则乙空调每台的进价为（x﹣0.2）万元，根据“用36万元购进乙种空调数量是用18万元购进甲种空调数量的4倍”列出方程，解之可得；

（2）设购进甲种空调m台，则购进乙种空调（40﹣m）台，由“投入资金不多于11.5万元”列出关于m的不等式，解之求得m的取值范围，继而得到整数m的可能取值，从而可得所有方案．

【详解】

解：

（1）设甲空调每台的进价为x万元，则乙空调每台的进价为（x﹣0.2）万元，

根据题意，得：

，

解得：

x＝0.4，

经检验：

x＝0.4是原分式方程的解，

所以甲空调每台的进价为0.4万元，则乙空调每台的进价为0.2万元；

（2）设购进甲种空调m台，则购进乙种空调（40﹣m）台，

根据题意，得：

0.4m+0.2（40﹣m）≤11.5，

解得：

m≤17.5，

又m≥14，

∴14≤m≤17.5，

则整数m的值可以是14，15，16，17，

所以商场共有四种购进方案：

①购进甲种空调14台，乙种空调26台；

②购进甲种空调15台，乙种空调25台；

③购进甲种空调16台，乙种空调24台；

④购进甲种空调17台，乙种空调23台．

【点睛】

此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．

25．

（1）4；

（2）（

）

【解析】

【分析】

（1）通过证明△BOC≌△CDA，可得CD＝OB＝1，即可求OD的长；

（2）过点C作CF⊥y轴，CE⊥x轴，通过证明△ACF≌△BCE，可得BE＝AF，CF＝CE，可证四边形CEOF是正方形，可得CF＝OE＝OF＝CE，即可求点C坐标．

【详解】

解：

（1）∵B点为（0，1），C点为（3，0）

∴OB＝1，OC＝3

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCO+∠ACD＝90°，且∠BCO+∠OBC＝90°

∴∠ACD＝∠OBC，且AC＝BC，∠BOC＝∠ADC＝90°，

∴△BOC≌△CDA（AAS）

∴CD＝OB＝1

∴OD＝OC+CD＝4

（2）如图，过点C作CF⊥y轴，CE⊥x轴，

∵A点为（0，1），B点为（4，0），

∴AO＝1，BO＝4

∵CF⊥y轴，CE⊥x轴，∠AOB＝90°，

∴四边形CEOF是矩形，

∴∠ECF＝90°，

∴∠FCA+∠ACE＝90°，且∠ACE+∠BCE＝90°，

∴∠FCA＝∠BCE，且AC＝BC，∠CFA＝∠CEB＝90°，

∴△ACF≌△BCE（AAS）

∴BE＝AF，CF＝CE，

∴矩形CEOF是正方形

∴CF＝OE＝OF＝CE，

∴OA+AF＝OB﹣BE

∴2AF＝OB﹣OA

∴AF＝

∴OF＝

∴点C（

，

）

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

26．

（1）3；

（2）

；（3）PC的最小值为5．

【解析】

【分析】

（1）如图1中，作AH⊥BC于H．根据垂线段最短，求出AH即可解决问题．

（2）如图2中，在AB上截取AN，使得AN＝AF，连接NE．作PH⊥AB于H．由△EAN≌△EAF（SAS），推出EN＝EF，推出PE+EF＝PE+NE，推出当P，E，N共线且与PH重合时，PE+PF的值最小，最小值为线段PH的长．

（3）如图3中，在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK，DK．由△PAC≌△DAK（SAS），推出PC＝DK，易知KD⊥BC时，KD的值最小，求出KD的最小值即可解决问题．

【详解】

解：

（1）如图1中，作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC＝6，AH⊥BC，

∴∠BAH＝∠CAH＝

∠BAC＝60°，

∴AH＝AB•cos60°＝3，

根据垂线段最短可知，当AP与AH重合时，PA的值最小，最小值为3．

故答案为3．

（2）如图2中，在AB上截取AN，使得AN＝AF，连接NE．作PH⊥AB于H．

∵∠EAN＝∠EAF，AN＝AF，AE＝AE，

∴△EAN≌△EAF（SAS），

∴EN＝EF，

∴PE+EF＝PE+NE，

∴当P，E，N共线且与PH重合时，PE+PF的值最小，最小值为线段PH的长，

∵

•AB•PH＝

•PA•PB，

∴PH＝

＝

，

∴PE+EF的最小值为

．

故答案为

．

（3）如图3中，在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK，DK．

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴∠CAK＝60°，

∴∠PAD＝∠CAK，

∴∠PAC＝∠DAK，

∵PA＝DA，CA＝KA，

∴△PAC≌△DAK（SAS），

∴PC＝DK，

∵KD⊥BC时，KD