高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题.docx
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高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题
问题探究8
与焦点弦相关的问题
8.
椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）
实验成果动态课件
椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数
112
1=
IAf；IIBf；Iep
备用课件
双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数
AB在同支Ill_2
IA存IIBFJ一亦
AB在异支II=Z
IAFilIB斤I一印
备用课件
拋物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数
11_2
IAFI+IBF∖~7p
备用课件
已知椭圆｝+十=1,耳为椭圆之左焦点，过点片的直线交椭圆于力，B两点、,是否存在
=λFA∙FB恒成立•并由此求IAB\的最小值.（借用柯西不等式）
9.
椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）
实验成果动态课件
椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数
112-e
+=
IABlICDl2ep
备用课件
=15.03凰米B=6.91O
同支线段
a=
C=398
a⅛+⅛=0∙21,,,∙^
异支线段
A拖BCDz°08,r^
双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数
11_\2-e2I
∖AB∖+∖CD∖~Iep
备用课件
抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数
112-e
+=
IABlICDl2ep
备用课件
10.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值
3）
问题探究10
实验成果动态课件
设椭圆焦点弦力B的中垂线交长轴
于点0,则|0Fl与IMl之比为
离心率的一半（F为焦点）
备用课件
设双曲线焦点弦力B的中垂线交焦点所在直线于点D,则|/?
Fl与丨AB\之比为离心率的一半（F为焦点）
备用课件
设抛物线焦点弦力B的中垂线与对称轴交于点D、则IQFl与
|AB\之比为离心率的一半（F为焦点）
备用课件
已知椭圆专-+十=1,耳为椭圆之左焦点，过点片的直线交椭圆于力，B两点、,A3中垂线交兀轴于点2是否存在实常数几，使IABl=Al^Dl恒成立？
11.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1（中点共线）
12.
问题探究11
实验成果动态课件
椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段.
备用课件
双曲线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段.
备用课件
抛物线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段.
备用课件
已知椭圆1-+1-=1,斤为椭圆之左焦点，过点片的直线人交椭圆于力，B两点、,直线厶：
x=-4交X轴于点G,点、A,B在直线人上的射影分别是N,M.设直线AM、BN的交点为
■
D,是否存在实常数兄，使∣Gδ∣=Λ∣D^∣恒成立.
12.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）
椭圆的焦点弦性质（三点八线）
m_・j
问题探究12
准线
双曲线的焦点眩性质（三点共线
二实验成果动态课件
椭圆焦点弦端点力、B与另一顶点、D
连线与相应准线的交点MM則M
C、3三点共线，M、C、/1三点共线
备用课件
双曲线焦点弦端点/4、B与另一顶点Q连线与相应准线的交点MM、则裁、C、B三点共线，M、C、/1三点共
线
备用课件
•'拋扬线焦点弦端点久B与另一顶点
。
连线与相应准线的交点MM、则WC、0三点共线，M、C、S三点共
⅛（抛物线的Q点在无穷远处）・
JCV-
已知椭圆—+—=1,片为椭圆之左焦点，过点片的直线A交椭圆于儿0两点，CD分
别为椭SJ的左.右顶点,
动点P满足PA=λAD.PC=μCBy
试探究点P的轨迹・
13.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直角）
■良与相应准线的交点MM、则
问题探究13
X2y2
已知双曲线一一一=1,片为双曲线之左焦点，过点片的直线厶交双曲线于儿0两点.
31
CD分别为双曲线的左、右顶点，动点P满足PA=∖AD,PC=μxCBy动点0满足
QA=A）AC,QB=BIx试探究ZPFIQ是否为定值.
14.
椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系
双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线
抛扬线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线
备用课件
问题探究14
已知椭圆+=l,片为椭圆之左焦点，过点片的直线厶,厶分别交椭圆于儿8两点和
C9Q两点，直线人：
x=-4,直线力。
交直线人于点P,试判断点P、C、0是否三点共线,
■■
并证明之.
15.椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平
分线）
问题探究15
实验成果动态课件
椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点与焦点的连线平
分ZAF2C
备用课件
双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线
平分ZAFiC
备用课件
抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线
平分ZAFD
备用课件
已知椭圆专-+十=1,耳为椭圆之左焦点，过点片的直线厶仏分别交椭圆于力，3两点和
GD两点、,直线厶：
χ=-4,直线〃交直线厶于点只试证明ZPF1A=ZPF1D.
16∙椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广
问题探究16
实验成果动态课件
过椭國长轴上任意一点〃（M））的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定
2
t
备用课件
过双曲线实轴上任意一点N（f,O）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一
2
定直线X=—
t
备用课件
过抛物线对称轴上任意一定点N
（/,0）的两条弦端点的直线的交点的
轨迹是一定直线X=-t
备用课件
已知椭圆—+—=1,过点N⑵0）的直线厶仏分别交椭圆于儿B两点和GD两点，设直84
线初与直线防交于点P,试证明点P的轨迹为直线x=4・
17.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线
及对称轴所分比之和为定值
A
过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值.
备用课件
问题探究17
22
已知椭圆1-+2_=1,点片为椭圆之左焦点，过点片的直线A分别交椭圆于/4,8两点,
设直线与y轴于点M,MA=λAE,MB=//BK,试求λ+μ的值.
18.椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值
问题探究18
实验成果动态课件
过椭圜上任点力作两焦点的焦点弦AC.
AB.其共线向莹比之和为定值.即
→→
AF}=“FlB
→→
AFI=nuFIB备用课件
■■■
m}+m.=2^—^=定值
*1-r
过双曲线上任点A作两焦点的焦点弦AC9AB、其共线向量比之和为定值.即
→→
AF}=w?
IFlB
→→
AF）=nuF、B备用课件
■■■
1+/t
〃?
]+"=2^^=定值
-1-r
（注：
图中测算不是向量，故中间一式用的是差）
由于拋物线的开放性，焦点只有一个，故准线相应地替换了焦点，即
））
PA=ZfijAF
PB=THqBF
备用课件
m]+ni2=0
已知方向向量为7=Q忑）的直线/过点A（0,-2>A）和椭圆C+二=1（">b>0）的CrZr
网=网I・⑴求椭
焦点，且椭圆C的中心O和椭圆的右准线上的点B满足：
OB^e=O圆C的方程；⑵设E为椭圆C上任一点，过焦点斥，耳的弦分别为ES,E7∖设EFi=λiFiSyEF∖=λ1FJ.求Λ1+A2的值.
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