最新人教版八年级数学初二上册第十五章分式学案.docx
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最新人教版八年级数学初二上册第十五章分式学案
第十五章 分 式
15．1 分 式
15．1.1 从分数到分式
1．了解分式的概念，理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件．
2．能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件．
重点：
理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件．
难点：
能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件．
一、自学指导
自学1：
自学课本P127－128页，掌握分式的概念，完成填空．（5分钟）
总结归纳：
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
叫做分式，分式
中，A叫做分子，B叫做分母．
点拨精讲：
分式是不同于整式的另一类式子，它的分母中含有字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性．
自学2：
自学课本P128页“思考与例1”，理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件．（5分钟）
总结归纳：
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式
才有意义；当B≠0，A＝0时，分式
＝0.
点拨精讲：
分式的分数线相当于除号，也起到括号的作用．
二、自学检测：
学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（5分钟）
课本P128－129页练习题1，2，3.
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（10分钟）
探究1 当x取何值时：
（1）分式
有意义？
（2）分式
有意义？
（3）分式
无意义？
（4）分式
无意义？
（5）分式
的值为0？
（6）分式
的值为0?
解：
（1）要使分式
有意义，则分母2x－3≠0，即x≠
；
（2）要使分式
有意义，则分母2x2＋3≠0，即x取任意实数；（3）要使分式
无意义，则分母2x－1＝0，即x＝
；（4）要使分式
无意义，则分母|x|－3＝0，即x＝±3；（5）要使分式
的值为0，则有
，即x＝2；（6）要使分式
的值为0，则有
，即x＝－3.
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（5分钟）
1．当a＝－1时，分式
＝0．
2．当x为任何实数时，下列分式一定有意义的是（C）
A.
B.
C.
D.
3．若分式
的值为0，则x的值为（D）
A．1B．－1C．±1D．2
4．下列各式中，哪些是整式？
哪些是分式？
，x－1，
，
，
，
，
（x＋y），
，
.
解：
整式有x－1，
，
（x＋y），
；分式有
，
，
，
，
.
（3分钟）1.分式的值为0的前提条件是此分式有意义．
2．分式的分数线相当于除号，也具有括号的作用．
（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）
（10分钟）
15．1.2 分式的基本性质
1．掌握分式的基本性质，掌握分式约分方法，熟练进行约分，并了解最简分式的意义；
2．使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤．
重点：
知道约分、通分的依据和作用，掌握分式约分、通分的方法；
难点：
掌握分式约分、通分的方法，理解分式的变号法则．
一、自学指导
自学1：
自学课本P129－130页“思考与例2”，掌握分式的基本性质，完成填空．（3分钟）
总结归纳：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0）的整式，分式的值不变．用式子表示为：
＝
，
＝
（C≠0）．
自学2：
自学课本P130－131页“思考与例3”，掌握分式约分的方法，能准确找出分子、分母的公因式，理解最简分式的概念．（3分钟）
总结归纳：
根据分式的基本性质，把一个分式的分子、分母的公因式约去，叫做约分．分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．分式的约分，一般要约去分子与分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式．
自学3：
自学课本P131－132页“思考与例4”，掌握分式通分的方法，学会找最简公分母．（3分钟）
总结归纳：
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．
找最简公分母的方法：
①若分母是多项式的先分解因式；②取各分式的分母中系数的最小公倍数；③各分式的分母中所有字母或因式都要取到；④相同字母（或因式）的幂取指数最大的．
二、自学检测：
学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（8分钟）
1．下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）
＝
；
（2）
＝
（y≠－1）．
点拨精讲：
对于
（1），由已知分式可以知道x≠0，因此可以用x去除分式的分子、分母，因而并不特别需要强调x≠0这个条件，而
（2）是在已知分式的分子、分母都乘以y＋1得到的，是在条件y＋1≠0下才能进行，这个条件必须强调．
解：
（1）根据分式的基本性质，分子、分母同时除以x；
（2）∵y≠－1，∴y＋1≠0，∴根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以y＋1.
2．课本P132页练习题1，2.
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（8分钟）
探究1 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母各项系数都化为整数．
（1）
；
（2）
.
解：
（1）
＝
＝
；
（2）
＝
＝
.
探究2 不改变分式的值，使下面分式的分子、分母都不含“－”号．
（1）
；
（2）
；（3）
；（4）－
.
解：
（1）
＝
；
（2）
＝－
；（3）
＝－
；（4）－
＝
.
点拨精讲：
分式的分子、分母以及分式本身三个符号，改变其中任何两个符号，分式的值不变．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（5分钟）
1．课本P133页习题4，6，7.
2．课本P134页习题12.
（3分钟）1.分式的约分：
分子、分母都是多项式的先分解因式，便于找公因式，分式化简的结果一定要是最简分式．且一般分子、分母中不含“－”．
2．分式的通分关键是找准最简公分母，若分母是多项式的先分解因式，便于找最简公分母．
（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）
（10分钟）
15．2 分式的运算
15．2.1 分式的乘除
（1）
1．通过实践总结分式的乘除法，并能较熟练地进行分式的乘除法运算．
2．引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力．
重点：
分式的乘除法运算．
难点：
分式的乘除法、混合运算中符号的确定．
一、自学指导
自学1：
自学课本P135－137页“问题1，思考，例1，例2及例3”，掌握分式乘除法法则．（7分钟）
类比分数的乘除法法则，计算下面各题：
（1）
·
；
（2）
÷
.
解：
（1）原式＝
＝
＝
；
（2）原式＝
·
＝
.
点拨精讲：
计算的结果能约分的要约分，结果应为最简分式．
总结归纳：
分式的乘法法则——分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．即：
·
＝
.
分式的除法法则——分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．即：
÷
＝
·
＝
.
二、自学检测：
学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（8分钟）
课本P137－138练习题1，2，3.
点拨精讲：
分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（10分钟）
探究1 计算：
（1）
·
；
（2）
÷
.
解：
（1）
·
＝
·
＝
；
（2）
÷
＝
·
＝
.
点拨精讲：
如果分子、分母含有多项式，应先分解因式，再按法则进行计算．
探究2 当x＝5时，求
÷
的值．
解：
∵
÷
＝
·
＝x－3，∴当x＝5时，原式＝x－3＝5－3＝2.
点拨精讲：
先对分式的结果化简，可以使计算变得简便．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（5分钟）
1．计算：
（1）
·（－
）；
（2）－3xy÷
；（3）
÷
；（4）
÷
.
2．有这样一道题“计算：
÷
－x的值，其中x＝998”，甲同学错把x＝998抄成了x＝999，但他的计算结果却是正确的，请问这是怎么回事？
解：
∵
÷
－x＝
·
－x＝x－x＝0，∴无论x取何值，此式的值恒等于0.
（3分钟）1.分式乘除法的法则可类比分数的乘除法则进行．
2．当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．
3．分式乘除法运算的最后结果能约分的要约分，一定要是一个最简分式．
（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）
（10分钟）
15．2.1 分式的乘除
（2）
1．使学生在理解和掌握分式的乘除法法则的基础上，运用法则进行分式的乘除法混合运算．
2．使学生理解并掌握分式乘方的运算性质，能运用分式的这一性质进行运算．
重点：
分式的乘除混合运算和分式的乘方．
难点：
对乘方运算性质的理解和运用．
一、自学指导
自学1：
自学课本P138－139页“例4、思考与例5”，掌握分式乘方法则及乘除、乘方混和运算的方法，完成填空．（7分钟）
1．an表示的意思是n个a相乘的积；a表示底数，n表示指数．
2．计算：
（
）3＝
×
×
＝
＝
＝
．
3．由乘方的定义，类比分数乘方的方法可得到：
（
）2＝
·
＝
＝
；
……
（
）n＝
·
·…·
＝
\s\up6（n个））_,\s\do4（n个））_＝
．
点拨精讲：
其中a表示分式的分子，b表示分式的分母，且b≠0.
总结归纳：
分式的乘方法则——分式乘方是把分子、分母各自乘方．即：
（
）n＝
（n为正整数）；乘除混合运算可以统一为乘法运算；式与数有相同的混合运算顺序：
先乘方，再乘除．
二、自学检测：
学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（8分钟）
1．课本P139练习题1，2.
2．判断下列各式正确与否：
（1）（
）2＝
；
（2）（
）3＝
；（3）（
）3＝
；
（4）（
）2＝
.
3．计算：
（1）（－
）2·（－
）3÷（－
）4；
（2）
÷
.
解：
（1）原式＝
·（－
）·
＝－x5；
（2）原式＝
·
＝
.
点拨精讲：
注意符号及约分．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（5分钟）
探究1 先化简代数式（
＋
）÷
，然后选取一个使原式有意义的a值代入求值．
解：
∵（
＋
）÷
＝[（
＋
）]·
＝
·
＋
·
＝a＋1－1＝a，当a＝3时，原式＝3.
点拨精讲：
这里a的取值要让分式有意义，保证各分母及除式不能为0.
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（10分钟）
1．x＝1，y＝1，求
÷（4x2－y2）的值．
2．使代数式
÷
有意义的x的值是（D）
A．x≠3且x≠－2
B．x≠3且x≠4
C．x≠3且x≠－4
D．x≠3且x≠－2且x≠4
3．计算：
（1）
·
；
（2）（－12x4y）2÷（－
）3；
（3）
·
；
（4）
·
÷
.
（3分钟）1.分式的分子或分母带“－”的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按－1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式的分子分母可直接乘方．
2．注意熟练、准确运用乘方运算法则及分式乘除法法则．
3．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除．
（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）
（10分钟）
15．2.2
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