等腰三角形的性质一高二数学教案模板.docx
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等腰三角形的性质一高二数学教案模板
等腰三角形的性质
（一）_高二数学教案_模板
等腰三角形的性质
（一）
一、教学目的
使学生掌握等腰三角形性质定理（包括推论）及其证明．
二、教学重点、难点
重点：
等腰三角形的性质．
难点：
文字命题的证明．
三、教学过程
复习提问
什么叫做等腰三角形？
什么是等腰三角形的腰、底边、顶点和底角？
引入新课
教师演示事先备好的等腰三角形纸片对折，使两腰叠在一起，发现它的两底角重合，从而得到等腰三角形两底角相等的命题，当然此命题的真实性还需推理论证．
新课
1．等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）．
让学生回忆前面学过的文字命题证明的全过程．引导学生写出已知、求证，并且都要结合图形使之具体化．
2．推论1等腰三角形顶角平分线平分底边且垂直于底边．
从性质定理的证明过程可以知道（如图1）BD=DC，∠ADB=∠ADC，所以AD平分BC，且AD⊥BC，即得推论．
从推论1可以知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
推论2等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
3．等腰三角形性质的应用．等腰三角形的性质有着重要的应用，一般说，利用“等腰三角形两底角相等”的性质证明两角相等；利用“等腰三角形底边上的三条主要线段重合”的性质，来证明两条线段相等、两个角相等及两条直线互相垂直；利用“等边三角形各角相等，并且每一个角都等于60°”的性质，来证明一个角是60°，或作图中通过作等边三角形，作出一个60°的角．
例1已知：
如图2，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC、屋椽AB=AC．求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．
这是一道几何计算题，要使学生熟悉解计算题的步骤，引导学生写出解题过程．
小结
1．叙述等腰三角形的性质（本堂所讲定理及推论）及其应用．
2．等腰三角形顶角与底角之间的常用关系式：
在△ABC中，AB=AC，则
（1）∠A=180°-2∠B=180°-2∠C；
3．已知等腰三角形一个角的度数，求其它两个角的度数：
（1）若已知角是钝角或直角，则此角一定为顶角，于是由2中
（2）可求出两底角；
（2）若已知角是锐角，则此角可能是顶角，也可能是底角．若为前者，可按2中
（2）求出两底角．若为后者，则可按2中
（1）求出顶角．
练习：
略
作业：
略
四、教学注意问题
1．等腰三角形的性质在今后解（证）几何题中有着重要的应用，务必引起学生重视．且应反复练习．
2．几何计算题的一般解题步骤．
1.理解集合的概念；2.掌握集合的两种表示方法；3.会正确使用符号这三个学习目标即可 1.集合点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念.一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.一般用大括号表示集合，例如“汽车，飞机，轮船”等交通运输工具组成的集合可以写成｛汽车、飞机、轮船｝为了方便.我们还通常用大写的拉丁字母A、B、C……表示集合，例如A＝｛a,b,c｝.2.集合中的元素集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如“中国的直辖市”这一集合的元素是：
北京、上海、天津、重庆.集合中的元素常用小写的拉丁字母a,b,c，…表示.如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA.3.集合中元素的特性
（1）确定性 对于集合A和某一对象x，有一个明确的判断标准是x∈A，还是xA，二者必成其一，不会模棱两可.例如，“著名的数学家”，“漂亮的人”这类对象，一般不能构成数学意义上的集合，因为找不到用以判别每一具体对象是否属于集合的明确标准.
（2）互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的；因此，集合中的相同元素只能算作一个，如方程x2-2x+1=0的两个等根，x1＝x2＝1，用集合记为｛１｝，而不写为｛1，1｝，如果把集合｛１，２，３｝，｛2,3,4｝的元素合并起来构成一个新集合，那么新集合只有1，2，3，4这四个元素.（3）无序性 集合中的元素是不排序的，如集合｛1，2｝与｛2，1｝是同一个集合，但实际上在书写时还是按一定顺序书写的，如｛-1，0，1，2｝而不写成｛0，1，-1，2｝，这样写不方便，其更深刻的含义是揭示了集合元素的“平等地位”.4.集合表示法
（1）列举法 将集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内.
（2）描述法 用描述表示的集合，对其元素的属性要准确理解.例如，集合｛y｜y=x2｝表示函数y值的全体，即｛y｜y≥0｝；集合｛x｜y＝x2｝表示自变量x的值的全体，即｛x｜x为任一实数｝；集合｛x,y｜y=x2｝表示抛物线y=x2上的点的全体，是点集（一条抛物线）；而集合｛y=x2｝则是用列举法表示的单元素集，也就是只有一个元素（方程y=x2）的有限集.（3）图示法 为了形象地表示集合，我们常常画一条封闭曲线，用它的内部来表示一个集合，例如，如图可表示集合｛1,2,3,4｝5.特定集合表示法自然数集（或非负整数集），记作N，自然数集内排除0的集，也称正整数集，记作N*或N+（注意，自然数集包括0）；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；Z，Q，R等数集内排除0的集，分别表示为Z*（或Z+），Q*（或Q+），R*（或R+）.6.集合的分类①有限集：
含有限个元素的集合叫做有限集.例如：
A＝｛1,2,3,4｝②无限集：
含有无限多个元素的集合叫做无限集.例如：
集合N+③空集：
不含任何元素的集合称为空集.例如：
集合方程x2+2x+3=0在实数范围内的解集.例1 下列各组对象能否构成一个集合?
指出其中的集合是无限集还是有限集?
并用适当的方法表示出来.
（1）直角坐标平面内横坐标与纵坐标互为相反数的点；
（2）高一数学课本中所有的难题；（3）方程x4+x2+2＝0的实数根；（4）图甲中阴影部分的点（含边界上的点）.图甲 图乙 解：
（1）是无限集合.其中元素是点，这些点要满足横坐标和纵坐标互为相反数.可用两种方法表示这个集合：
描述法：
｛（x,y）｜y＝x｜｝；图示法：
如图乙中直线l上的点.
（2）不是集合.难题的概念是模糊的不确定的，实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”.因而这些难题不能构成集合.（3）是空集.其中元素是实数，这些实数应是方程x4+x2+2=0的根，这个方程没有实数根，它的解集是空集.可用描述法表示为：
或者｛x∈R｜x4+x2+2=0｝.（4）是无限集合.其中元素是点，这些点必须落在图甲的阴影部分（包括边界上的点）.图甲本身也可看成图示法表示，我们还可用描述表示这个集合；｛（x,y）｜-1≤x≤2，-≤y≤2，且xy≤0｝例2 下面六种表示法：
（1）｛x＝-1，y=2｝，
（2）｛（x,y）｜x=-1,y=2｝，（3）｛-1，2｝，（4）（-1，2），（5）｛（-1，2）｝，（6）｛（x,y）｜x＝-1或y＝2｝，能正确表示方程组的解集的是：
A.
（1）
（2）（3）（4）（5）（6） B.
（1）
（2）（4）（5）C.
（2）（5） D.
（2）（5）（6）分析 由于此方程组的解是因而写成集合时，应表示成一对有序实数（-1，2）.解：
因为｛（x,y）｜＝｛（x,y）｜＝｛（-1，2）｝故选C.评析 集合
（1）既非列举法，又非描述法.集合（3）表示由-1和2两个数组成的集合.（4）是一个点.（6）中的元素是（-1，y）或（x,2），x,y∈R是一个无限集.以上均不合题意.例3 用符号∈或填空.
（1）3.14 Q，0 N， Z，（-1）0 N，0
（2）2 ｛x｜x＜＝，3 ｛x｜x＞4｝，+ ｛x｜x≤2+｝；（3）3 ｛x｜x＝n2+1，n∈N｝，5 ｛x｜x＝n2+1，n∈N｝；（4）（-1，1） ｛y｜y＝x2｝,（-1,1） ｛（x,y）｜y＝x2｝解：
（1）∈、∈、、∈、（空集不含任何元素）；
（2）2＝＞，3＝＞＝4，+＝＝＜＝＝2+，故填、∈、∈；（3）令n2+1=3，n＝± nN.令n2+1＝5， n＝±2，2∈N，故填、∈；（4），∈.（因为｛y｜y＝x2｝中元素是数而（-1，1）代表一个点）例4 用另一种形式表示下列集合
（1）｛绝对值不大于3的整数｝
（2）｛所有被3整除的数｝（3）｛x｜x＝｜x｜，x∈Z且x＜5｝（4）｛x｜（3x-5）（x+2）（x2+3）＝0，x∈Z｝（5）｛（x,y）｝｜x+y=6，x∈N+，y∈N+｝解：
（1）绝对值不大于3的整数｝还可以表示为｛x｜｜x｜≤3，x∈Z｝，也可表示为｛-3，-2，-1，0，1，，2，3｝；
（2）｛x｜x＝3n，n∈Z｝；（说明：
｛被3除余1的整数｝可表示为｛x｜x=3n+1,n∈Z｝）；（3）∵x＝｜x｜，∴x≥0，又∵x∈Z且x＜5，∴｛x｜x＝｜x｜，x∈Z且x＜5｝还可以表示为｛0,1,2,3,4｝（4）｛-2｝（注意x∈Z｝）（5）｛（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）｝例5。
用另一种形式表示下面的集合：
｛x｜（2x-1）（x+2）（x2+1）=0,x∈Z｝.错误解答 集合的元素x是由方程（2x-1）（x+2）（x2+1）＝0的根组成的，解方程，得x＝，x＝-2，x＝∴ 原集合可以表示为｛，-2，｝错误存在于解方程的过程和最后的集合表示当中，解方程时应注意到x2+1≠0，x∈R，所以，方程的根为x＝，x＝-2.注意到已知条件x∈zR，才不致造成错误.因为Z 所以，正确答案应为｛-2｝或写作｛x｜x=-2｝.例6 已知A＝｛x｜x＝a+b，a,b∈Z｝，分析判断下列元素x与集合A之间的关系：
（1）x＝0，
（2）x＝，（3）x＝.分析 x与A的关系只有x∈A和xA两种.判断x是不是A中的元素，即观察x能否写成a+b（a,b∈Z）的形式.解：
（1）因为0＝0+0×，所以0∈A.
（2）因为x＝＝-，无论a、b为何整数，a+b＝-不能成立，所以x＝A.（3）因为x＝＝＝1+2，所以∈A.评析 研究元素与集合的关系，一要注意集合的表示方法（列举法或描述法），二要准确判断元素的属性.例7 已知集合A＝｛p｜x2+2（p-1）x+1=0,x∈R｝，求一次函数y＝2x-1，x∈A的取值范围.分析 关键是理解集合A中元素的属性.p的取值范围必须满足关于x的一元二次方程x2+2（p-1）x+1=0有实数根.解：
由已知，Δ＝4（p-1）2-4≥0.得p≥2或p≤0.所以A＝｛p｜p≥2或p≤0｝.因为x∈A，所以x≥2或x≤0，所以2x-1≥3或2x-1≤-1，所以y的取值范围是｛y｜y≤-1或y≥3｝.
教学目标
（1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；
（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；
（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；
（5）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．
教学建议
一、知识结构
教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域．再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用．
二、重点、难点分析
本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域．
对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：
（1）二元一次不等式表示平面区域．首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念．明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）．其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线．
（2）二元一次不等式组表示平面区域．在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．
难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答．
对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键．
对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：
①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法．
三、教法建议
（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念
（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论．
（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的．
（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的．
（5）对作业、思考题、研究性题的建议：
①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维．
（6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．
如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可．
（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：
一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
线性规划教学设计方案
（一）
教学目标
使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域．
重点难点
了解二元一次不等式表示平面区域．
教学过程（）
【引入新课】
我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？
【二元一次不等式表示的平面区域】
1．先分析一个具体的例子
我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合是什么图形呢？
在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：
①在l上；②在l的右上方的平面区域；③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（－1，－1）等等不属于A，它们满足不等式，这些点却在l的左下方的平面区域．
由此我们猜想，对直线l右上方的任意点成立；对直线l左下方的任意点成立，下面我们证明这个事实．
在直线上任取一点，过点P作垂直于y轴的直线，在此直线上点P右侧的任意一点，都有 ∴
于是
所以
因为点，是L上的任意点，所以，对于直线右上方的任意点，
都成立
同理，对于直线左下方的任意点，
都成立
所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集点．
是直线右上方的平面区域（如图）
类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是直线左下方的平面区域．
2．二元一次不等式和表示平面域．
（1）结论：
二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域．
把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．
（2）判断方法：
由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点，以的正负情况便可判断表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当时，常把原点作为此特殊点．
【应用举例】
例1 画出不等式表示的平面区域
解；先画直线（画线虚线）取原点（0，0），代入，
∴ ∴ 原点在不等式表示的平面区域内，不等式表示的平面区域如图阴影部分．
例2 画出不等式组
表示的平面区域
分析：
在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
解：
不等式表示直线上及右上方的平面区域，表示直线上及右上方的平面区域，上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．
课堂练习
作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域．
（1）
（2） （3）
（4） （5）
总结提炼
1．二元一次不等式表示的平面区域．
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．
3．二元一次不等式组表示的平面区域．
布置作业
1．不等式表示的区域在的（ ）．
A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方
2．不等式表示的平面区域是（ ）．
3．不等式组表示的平面区域是（ ）．
4．直线右上方的平面区域可用不等式 表示．
5．不等式组表示的平面区域内的整点坐标是 ．
6．画出表示的区域．
答案：
1．B 2．D 3．B 4． 5．（－1，－1）
6．
教学目标
（1）能熟练运用不等式的基本性质来解不等式；
（2）在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上，掌握分式不等式、高次不等式的解法；
（3）能将较复杂的绝对值不等式转化为简单的绝对值不等式、一元二次不等式（组）来解；
（4）通过解不等式，要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类讨论等数学思想；
（5）通过解各种类型的不等式，培养学生的观察、比较及概括能力，培养学生的勇于探索、敢于创新的精神，培养学生的学习兴趣．
教学建议
一、知识结构
本节内容是在高一研究了一元一次不等式，一元二次不等式，简单的绝对值不等式及分式不等式的解法基础上，进一步深入研究较为复杂的绝对值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则，将这些不等式等价转化为一次不等式（组）或二次不等式的求解，具体地说就是含有绝对值符号的不等式去掉绝对值符号，无理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式一次化.其基本模式为：
;
;
;
二、重点、难点分析
本节的重点和一个难点是不等式的等价转化.解不等式与解方程有类似之处,但其二者的区别更要加以重视.解方程所产生的增根是可以通过检验加以排除的,由于不等式的解集一般都是无限集,如果产生了增根却是无法检验加以排除的,所以解不等式的过程一定要保证同解,所涉及的变换一定是等价变换.在学生学习过程中另一个难点是不等式的求解.这个不等式其实是一个不等式组的简化形式,当为一元一次式时,可直接解这个不等式组,但当为一元二次式时,就必须将其改写成两个一元二次不等式的形式,分别求解在求交集.
三、教学建议
（1）在学习新课之前一定要复习旧知识,包括一元二次不等式的解法,简单的绝对值不等式的解法,简单的分式不等式的解法,不等式的性质,实数运算的符号法则等.特别是对于基础比较差的学生,这一环节不可忽视.
（2）在研究不等式的解法之前,应先复习解不等式组的基本思路以及不等式的解法,然后提出如何求不等式的解集,启发学生运用换元思想将替换成,从而转化一元二次不等式组的求解.
（3）在教学中一定让学生充分讨论,明确不等式组“”中的两个不等式的解集间的交并关系，“”两个不等式的解集间的交并关系.
（4）建议表述解不等式的过程中运用符号“”.
（5）建议在研究分式不等式的解法之前,先研究简单高次不等式（一端为0,另一端是若干个一次因式乘积形式的整式）的解法.可由学生讨论不同解法,师生共同比较诸法的优劣,最后落实到区间法.
（6）分式不等式与高次不等式的等价原因,可以认为是不等式两端同乘以正数,不等号不改变方向所得;也可以认为是与符号相同所得.
（7）分式不等式求解时不能盲目地去分母，但当分母恒为正数（如分母是）时，应将其去掉，从而使不等式化简.
（8）建议补充简单的无理不等式的解法,其中为一次式.教学中先由学生研究探索得到求解的基本思路及方法,再由教师概括总结,得出结论后一定要强调不等号的方向对的影响,即保证了,而却不能保证这一点,所以要分和两种情况进行讨论.
（9）求解不等式不仅要重视思路的理解,更要重视表述的规范,作为教师应给学生做出示范,学生通过模仿掌握书写格式,这样才有可能保证运算的合理性与结果的准确性.
教学设计示例
分式不等式的解法
教学目标
1．掌握分式不等式向整式不等式的转化；
2．进一步熟悉并掌握数轴标根法；
3．掌握分式不等式基本解法.
教学重点难点
重点是分式不等式解法
难点是分式不等式向整式不等式的转化
教学方法
启发式和引导式
教具准备
三角板、幻灯片
教学过程（）
1．复习回顾：
前面，我们学习了含有绝对值的不等式的基本解法，还了解了数轴标根法的解题思路，本节课，我们将继续研究分式不等式的解法.
2．讲授新课：
例3 解不等式＜0.
分析：
这是一个分式不等式，其左边是两个关于x的二次三项式的商，根据商的符号法则，它可以化成两个不等式组：
因此，原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集，此种解
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