小学数学《数与代数》总复习.docx
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小学数学《数与代数》总复习
小学数学总复习
数与代数
一 、数的认识
(一)、整数
1、整数的意义
自然数和0都是整数。
整数分为正整数和负整数。
0是正数和负数的分界点。
0既不是正数,以不是负数,所有的正数都大于0,所有的负数都小于0,正数都大于负数。
负数与负数相比较,数字大的反而小,数字小的反而大。
考点主要是对负数的简单认识,对温度计而言,0摄氏度以上为正,0摄氏度以下为负,对方向而言,向东为正,向西为负,对学生分数而言,一篇考试卷共负12分,以就是要从100分中减去12分,该篇试卷的实际得分是88分。
还有就是从很多数里直接找出负数。
2、自然数
我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数。
一个物体也没有,用0表示。
0也是自然数。
自然数的计数单位是1,
比如:
0的计数单位是1;999的计数单位也是1。
0不是最小的一位数,最小的一位数是1,最大的一位数是9。
考点主要是自然数的计数单位。
3、计数单位
一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
计数单位很重要,考点主要是自然数、分数、小数的计数单位,自然数的计数单位是1,分数的计数单位是把一个整体平均分成若干份,表示这样一份的数,任何一个分数的计数单位都是分母不变,只将分子变成1,比如五分之三的分数单位是五分之一,十二分之八的分数单位是十二分之一。
小数的计数单位是0.1、0.01、0.001等等,一位小数表示十分之一、两位小数表示百分之一、三位小数表示千分之一等等,比如0.3的计数单位是十分之一,0.89的计数单位是百分之一。
4、数位
计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。
数位与位数完全不同,数位是指数字所占的位置,位数是指一个多位数有几位数。
比如:
9875是()位数,8在()位上,它表示()。
5、数的整除
整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a。
如果数a能被数b(b≠0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数(或a的因数)。
倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除,所以35是7的倍数,7是35的约数。
一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身。
例如:
10的约数有1、2、5、10,其中最小的约数是1,最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有:
3、6、9、12……其中最小的倍数是3,没有最大的倍数。
个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除,例如:
202、480、304,都能被2整除。
。
个位上是0或5的数,都能被5整除,例如:
5、30、405都能被5整除。
。
一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除,例如:
12、108、204都能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除,这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除,但是能被9整除的数一定能被3整除。
一个数的末两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。
例如:
16、404、1256都能被4整除,50、325、500、1675都能被25整除。
一个数的末三位数能被8(或125)整除,这个数就能被8(或125)整除。
例如:
1168、4600、5000、12344都能被8整除,1125、13375、5000都能被125整除。
能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。
自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。
一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数),100以内的质数有:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数,例如4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数,自然数除了1外,不是质数就是合数。
如果把自然数按其约数的个数的不同分类,可分为质数、合数和1。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数,例如15=3×5,3和5叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例如:
把28分解质因数
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数。
其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数,例如12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有1、2、3、6、9、18。
其中,1、2、3、6是12和18的公约数,6是它们的最大公约数。
公约数只有1的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况:
1、1和任何自然数互质。
2、相邻的两个自然数互质。
3、两个不同的质数互质。
4、当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。
5、两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质,如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质。
如果较小数是较大数的约数,那么较小数就是这两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数,它们的最大公约数就是1。
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……
3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数,6是它们的最小公倍数。
。
如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。
数的整除考点知识很多,内容很广泛,针对性很强,主要注意:
(1)、因数与质因数的区别,质因数是指因数中的质数,比如:
6的因数有1、2、3、6,6的质因数就只有2和3,
(2)、4个最小,最小的奇数是1;最小的偶数是0(非0自然数最小的偶数是2);最小的质数是2;最小的合数是4;并要熟记20以内的奇数、偶数、合数、质数表;(3)、整除的概念必须是自然数a除以自然数b=自然数c且a、b、c不等于0;(4)、分解质因数时一定要分成几个质数相乘的形式,在分解式中一定不能出现1和合数;并且格式要对,比如:
把18分解质因数,正确格式是18=2×3×3或者18=3×2×3,质因数的顺序不限,不能写成18=2×3×3×1或者18=6×3或3×3×2=18;(5)、因数和倍数是相互依存的,缺一不可,只能说谁是谁的因数,谁是谁的倍数,不能说谁是因数,谁是倍数;(6)、求最大公因数和最小公倍数时,一定要遵循:
大公因、乘一边,小公倍、乘一圈的形式,即求最大公因数,只乘除数不乘商;求最小公倍数既要乘除数又要乘商。
(7)、a=2×3×7;b=2×5×3;a和b的最大公因数是();a和b的最小公倍数是()。
(8)、甲数的3倍=乙数的2.5倍,那么甲数()乙数;
(二)、小数
1、小数的意义
把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。
数中的圆点叫做小数点,小数点左边的数叫做整数部分,小数点左边的数叫做整数部分,小数点右边的数叫做小数部分。
在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
2、小数的分类
纯小数:
整数部分是零的小数,叫做纯小数。
例如:
0.25、0.368都是纯小数。
带小数:
整数部分不是零的小数,叫做带小数。
例如:
3.25、5.26都是带小数。
有限小数:
小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。
例如:
41.7、25.3、0.23都是有限小数。
无限小数:
小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数。
例如:
4.33……3.1415926……
无限不循环小数:
一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫做无限不循环小数。
例如:
π
循环小数:
一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这个数叫做循环小数。
例如:
3.555……0.0333……12.109109……
一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
例如:
3.99……的循环节是“9”,0.5454……的循环节是“54”。
纯循环小数:
循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数。
例如:
3.111……0.5656……
混循环小数:
循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数。
3.1222……0.03333……
写循环小数的时候,为了简便,小数的循环部分只需写出一个循环节,并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。
如果循环节只有一个数字,就只在它的上面点一个点。
例如:
3.777……简写作3.7在7上打点, 0.5302302……简写作 0.5302在3和2上打点。
(三)、分数
1、分数的意义
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里,中间的横线叫做分数线;分数线下面的数,叫做分母,表示把单位“1”平均分成多少份;分数线下面的数叫做分子,表示有这样的多少份。
把单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。
2、分数的分类
真分数:
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
假分数:
分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。
假分数大于或等于1。
带分数:
假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。
3、约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数,叫做约分。
分子分母是互质数的分数,叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
(四)、百分数
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
百分数通常用"%"来表示。
百分号是表示百分数的符号。
容易出现的题目是
(1)、求产品的合格率、人数的出勤率、缺勤率、出油率、出粉率等等;
(2)0.25℅去掉℅,原数扩大()倍;0.25添上℅,原数缩小()倍。
(3)、在求百分率时×100℅一定要写上,不能去掉。
二 、方法
(一)、数的读法和写法
1、整数的读法:
从高位到低位,一级一级地读。
读亿级、万级时,先按照个级的读法去读,再在后面加一个“亿”或“万”字。
每一级末尾的0都不读出来,其它数位连续有几个0都只读一个零。
2、整数的写法:
从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0。
3、小数的读法:
读小数的时候,整数部分按照整数的读法读,小数点读作“点”,小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
4、小数的写法:
写小数的时候,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
5、分数的读法:
读分数时,先读分母再读“分之”然后读分子,分子和分母按照整数的读法来读。
6、分数的写法:
先写分数线,再写分母,最后写分子,按照整数的写法来写。
7、百分数的读法:
读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时按照整数的读法来读。
8、百分数的写法:
百分数通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
(二)、数的改写
一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。
有时还可以根据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数。
1、准确数:
在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。
改写后的数是原数的准确数。
例如把1254300000改写成以万做单位的数是125430万;改写成以亿做单位的数12.543亿。
2、近似数:
根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个近似数来表示。
例如:
1302490015省略亿后面的尾数是13亿。
3、四舍五入法:
要省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小,就把尾数去掉;如果尾数的最高位上的数是5或者比5大,就把尾数舍去,并向它的前一位进1。
例如:
省略345900万后面的尾数约是35万。
省略4725097420亿后面的尾数约是47亿。
4、大小比较
1、比较整数大小:
比较整数的大小,位数多的那个数就大,如果位数相同,就看最高位,最高位上的数大,那个数就大;最高位上的数相同,就看下一位,哪一位上的数大那个数就大。
2、比较小数的大小:
先看它们的整数部分,,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大……
3、比较分数的大小:
分母相同的分数,分子大的分数比较大;分子相同的数,分母小的分数大。
分数的分母和分子都不相同的,先通分,再比较两个数的大小。
(三)、数的互化
1.、小数化成分数:
原来有几位小数,就在1的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。
2、分数化成小数:
用分母去除分子。
能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,不能化成有限小数的,一般保留三位小数。
3、一个最简分数,如果分母中除了2和5以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有2和5以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。
4、小数化成百分数:
只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
5、百分数化成小数:
把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
6、分数化成百分数:
通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
7、百分数化成小数:
先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。
(四)、数的整除
1、把一个合数分解质因数,通常用短除法。
先用能整除这个合数的质数去除,一直除到商是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式。
2、求几个数的最大公约数的方法是:
先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所得的商只有公约数1为止,然后把所有的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公约数。
3、求几个数的最小公倍数的方法是:
先用这几个数(或其中的部分数)的公约数去除,一直除到互质(或两两互质)为止,然后把所有的除数和商连乘求积,这个积就是这几个数的最小公倍数。
4、成为互质关系的两个数:
1和任何自然数互质;相邻的两个自然数互质; 当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质;两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质。
(五)、约分和通分
约分的方法:
用分子和分母的公约数(1除外)去除分子、分母;通常要除到得出最简分数为止。
通分的方法:
先求出原来的几个分数分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
三 、性质和规律
(一)、商不变的规律( 除法的性质)
商不变的规律:
在除法里,被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍,商不变。
(二)、小数的性质
小数的性质:
在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
(三)、小数点位置的移动引起小数大小的变化
1、小数点向右移动一位,原来的数就扩大10倍;小数点向右移动两位,原来的数就扩大100倍;小数点向右移动三位,原来的数就扩大1000倍……
2、小数点向左移动一位,原来的数就缩小10倍;小数点向左移动两位,原来的数就缩小100倍;小数点向左移动三位,原来的数就缩小1000倍……
3、小数点向左移或者向右移位数不够时,要用“0"补足位。
(四)、分数的基本性质
分数的基本性质:
分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(零除外),分数的大小不变。
不管是分数的基本性质,比的基本性质,还是比例的基本性质都统一强调0除外,考的题型主要是填空题和判断题,比如在性质中忽略了0除外,或者2:
3=():
6=十二分之几。
(五)、分数与除法的关系
1、被除数÷除数= 被除数/除数
2、因为零不能作除数,所以分数的分母不能为零。
3、被除数相当于分子,除数相当于分母。
容易出现的题目:
1÷8=8/()=10:
()=(填小数)
二、数的运算
(一)、整数四则运算
1、整数加法:
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做和。
加数是部分数,和是总数。
加数+加数=和 一个加数=和-另一个加数
2、整数减法:
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。
在减法里,已知的和叫做被减数,已知的加数叫做减数,未知的加数叫做差。
被减数是总数,减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算。
3、整数乘法:
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。
相同加数的和叫做积。
在乘法里,0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都得任何数。
一个因数×一个因数=积 一个因数=积÷另一个因数
4 、整数除法:
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫做除数,所求的因数叫做商。
乘法和除法互为逆运算。
在除法里,0不能做除数。
因为0和任何数相乘都得0,所以任何一个数除以0,均得不到一个确定的商。
被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数
(二)、小数四则运算
1、小数加法:
小数加法的意义与整数加法的意义相同。
是把两个数合并成一个数的运算。
2、小数减法:
小数减法的意义与整数减法的意义相同。
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算.
3、小数乘法:
小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算;一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。
4、小数除法:
小数除法的意义与整数除法的意义相同,就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
5、乘方:
求几个相同因数的积的运算叫做乘方。
例如3×3=9
(三)、分数四则运算
1、分数加法:
分数加法的意义与整数加法的意义相同。
是把两个数合并成一个数的运算。
2、分数减法:
分数减法的意义与整数减法的意义相同。
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。
3、分数乘法:
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算。
4、乘积是1的两个数叫做互为倒数。
5、分数除法:
分数除法的意义与整数除法的意义相同。
就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
(四)、运算定律
1、加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b=b+a。
2、加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加它们的和不变,即(a+b)+c=a+(b+c)。
3、乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即a×b=b×a。
4、乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数;或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变,即(a×b)×c=a×(b×c)。
5、乘法分配律:
两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加,即(a+b)×c=a×c+b×c。
6、减法的性质:
从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去所有减数的和,差不变,即a-b-c=a-(b+c)
简便算法中容易出现的题目是
(1)、298+199;
(2)、286-198;(3)、14.5+21+5.5;(4)、75+99+1;(5)、2.5×99×4;(6)、13.5×2.5×4;(7);13.5×7+6.5×7;(8)、19.5+(28-9.5);(9)、279-(85-79);(10)、13.5×7+1.35×0.7;(11)、9999×5+3333×85;(12)、99×98+99;
choose选择chosechosen
(五)运算法则
1、整数加法计算法则:
相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数相加满十,就向前一位进一。
2、整数减法计算法则:
相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数不够减,就从它的前一位退一作十,和本位上的数合并在一起,再减。
3、整数乘法计算法则:
先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数,用因数哪一位上的数去乘,乘得的数的末尾就对齐哪一位,然后把各次乘得的数加起来。
4、整数除法计算法则:
先从被除数的高位除起,除数是几位数,就看被除数的前几位;如果不够除,就多看一位,除到被除数的哪一位,商就写在哪一位的上面。
如果哪一位上不够商1,要补“0”占位。
每次除得的余数要小于除数。
5、小数乘法法则:
先按照整数乘法的计算法则算出积,再看因数中共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点;如果位数不够,就用“0”补足。
6、除数是整数的小数除法计算法则:
先按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添“0”,再继续除。
7、除数是小数的除法计算法则:
先移动除数的小数点,使它变成整数,除数的小数点也向右移动几位(位数不够的补“0”),然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
8、同分母分数加减法计算方法:
同分母分数相加减,只把分子相加减,分母不变。
9、异分母分数加减法计算方法:
先通分,然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
10、带分数加减法的计算方法:
整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的数合并起来。
11、分数乘法的计算法则:
分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变;分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
12、分数除法的计算法则:
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
(六)运算顺序
1、小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
2、分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
3、没有括号的混合运算:
同级运算从左往右依次运算;两级运算先算乘、除法,后算加减法。
4、有括号的混合运算:
先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
5、第一级运算:
加法和减法叫做第一级运算。
减法是加法的逆运算。
6、第二级运算:
乘法和除法叫做第二级运算。
除法是乘法的逆运算。
be(am/is/are)是was/werebeen
hurt受伤hurthurt三、常见的量
broadcast播放broadcastbroadcast
(一)、长度单位换算1千米=1000米1米=10分米=100厘米=1000毫米1分米=10厘米=100毫米1厘米=10毫米
(二)、面积单位换算1平方千米=100公顷1公顷=10000平