初中数学数学建模的教学研究与案例评析作业.docx

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初中数学数学建模的教学研究与案例评析作业

（初中数学“数学建模”的教学研究与案例评析）作业

中学数学建模及其活动设计

随着“数学应用意识”教育的不断深入,近几年来开始开展的“中学生数学建模”活动也日益得到广泛的注重,它作为“数学应用意识”教育的突破口和出发点,促进数学素质教育的发展,已是历史的必然。

一、数学模型、数学模型法与数学建模

1.数学模型

数学模型有广义和狭义两方面的理解。

广义地理解,一切数学概念、数学理论（公式、定理、法则等）、数学事实（各种方程、函数式等）,都可以称之为数学模型。

狭义地理解,只有反映特定现实原型的数学关系结构才称为数学模型。

应用数学中的数学模型都是指狭义理解的数学模型。

作为实际问题的数学模型,还必须具有抽象性、准确性、演绎性、预测力等特性。

数学模型按其所描述的不同的自然现象和过程,大致有以下四种:

（1）确定性数学模型。

它描述自然界中最普遍、最常见的必然现象,这类现象或事物的产生和变化服从确定的因果关系,其表现形式可以是各种各样的方程、关系式、逻辑关系式、网络图等。

使用的工具是经典数学的方法。

（2）随机性数学模型。

它描述自然界中大量存在的自然现象,这类现象对于某一特定事件来说,它的变化发展结果有许多可能性,但对大量这类事件或同一事件多次重复出现的总体来说,这种变化是有规律的。

使用的工具是概率论与数理统计。

（3）变突性数学模型。

它描述自然界中不连续的突变现象。

使用的工具是变突理论。

（4）模糊性数学模型。

它描述一类内涵和外延都没有明确边界的模糊事物或现象。

所用的工具是模糊数学。

当然,由于现实世界关系的复杂性和多样性,有些数学模型也可能是兼有几类特性的混合型数学模型。

数学模型具有以下性质:

（1）能通过数学模型对所研究的问题进行理论分析,逻辑推导并能得出明确的解。

（2）数学模型的解能回到具体研究中解决实际问题,能为人们提供更多的信息,推出未知的事实,作出预言。

（3）数学模型作为科学抽象的结果,应在不同程度上,抓住支配现象的最基本的东西,能使人们对原系统的认识更加容易,能起到化繁为简、化难为易的作用。

2.数学模型法

数学模型法是将所考察的实际问题化为数学问题,构造出相应的数学模型,通过对数学模型研究结果的解释,使实际问题得以解决的一种数学方法,运用数学解决实际问题是通过数学模型这个桥梁来实现的。

运用数学模型法解决实际问题的大致步骤是:

（1）分析实际问题,忽略某些次要因素,作必要的简化和近似,构成现实模型;

（2）将所得的现实模型用数学语言进行描述,抽象成一个数学问题,建立数学模型;

（3）运用和研究数学理论,对所得的数学模型求解;

（4）将所得的数学解答返回到实际问题进行解释、检验与评价,形成对实际问题的判断或预见。

3.数学建模

数学建模是建立数学模型的过程的缩略表示,是运用数学模型法的重要环节,是对研究对象进行科学的分析、简化、抽象的过程。

数学建模的主要过程可用如下框图来说明:

数学建模就是循环执行不断修正、发展的过程。

值得注意的是:

初步的数学模型建立以后,要根据精确性和简单性统一原则,选用最简单、最容易得到结果而又最能反映对象特征的模型。

如果模型不能得出确定的结果,有时需要补充一些实际条件,例如建立的数学模型是一个微分方程,往往需要考虑问题的初始条件与边界条件;如果模型太复杂,参数太多,无法确定结果或所得的模型难以求解,就要设法简化这个模型;如果模型的求解结果与实际测得的数据或常识的预测差距过大,就要设法修改参数或重新考虑被忽略的某些因素,经过反复修改,使建立的数学模型能比较准确地（在允许的误差范围内）反映实际情况。

数学建模与数学模型法是两个不同的概念,前者侧重于一种活动、一个过程,后者侧重于一种数学方法。

二、世界各国开展数学建模活动具体做法

早在70年代,西方不少发达国家的一些有识之士已经开始研究在中学开展数学建模活动的可能性,各种案例相继出现。

进入80年代,数学建模已成为国际数学教育改革的主旋律,世界各国的课程标准也都要求在各年级水平或多或少地含有数学建模内容,具体做法主要有以下几种:

（1）两分法。

数学课程方案由两部分构成,前一部分主要处理纯数学内容;后一部分处理的与前一部分纯数学内容相关的应用和数学建模,它有时是现成模型结果的应用,有时是整个建模过程。

着做法可表示为:

纯数学内容的学习→数学应用和建模。

（2）多分法。

整个教学由很多小单元组成,每个单元的做法类似于“两分法”。

（3）混合法。

在这种做法里,新的数学概念和理论的形成与数学建模活动被设计在一起互相作用。

这种做法可表示为:

问题情景的呈现→数学内容的学习→问题情景的解决→新的问题情景的呈现→……。

（4）深程内并入法。

在这种做法里,一个问题首先被呈现,随后与这问题有关的数学内容被探索和发展,直至问题被解决。

（5）深程间并入法。

由于所呈现的问题未必都能单独用数学知识来解决,可能需用其他科知识,即“跨学科设计教学法”。

三、中学数学建模的活动设计

1.中学数学建模的活动设计目标

①树立面向新世纪数学观（数学是工具、技术、文化）。

体现数学的应用价值,培养数学的应用意识。

②增强数学学习的兴趣,学会团结合作,提高分析和解决实际问题的能力。

③知道数学知识的发生过程,培养数学创造能力。

2.中学数学建模的活动设计原则

数学建模的活动设计应反映数学教育发展、改革的方向,具体说来它更应强调以下原则:

（1）着重发展学生的数学能力,特别是数学应用的能力,这不仅包括计算、推理、空间想象,还应包括辨明关系、形式转化、驾驭计算工具、查阅文献、能进行口头和书面的分析和交流。

（2）强调计算工具（计算器、计算机）使用,这不仅指在计算过程中使用计算工具,而且还指在猜想、争辩、探索、发现、模拟、证明、作图、检验中使用计算工具。

（3）更强调学生积极主动地参与,把教学过程更自觉地变成学生活动的过程。

教师不应只是“讲演者”、“总是正确的指导者”,而应不时扮演下列角色:

模特――他不仅演示正确的开始,也表现失误的开端和“拨乱反正”的思维技能;参谋――提一些求解的建议,提供可参考的信息但并不代替学生做出决断;询问者――故作不知,问原因、找漏洞,督促学生弄清楚、说明白,完成进度;仲裁者和鉴赏者――评判学生工作及成果的价值、意义优劣,鼓励学生有创造性的想法和做法。

3.中学数学建模活动设计要求

在设计数学建模活动时,应该注意以下几点:

（1）数学建模对教师、学生都有一个逐步的学习和适应的过程,在设计数学建模活动时,特别应考虑学生实际能力和水平,起始点要低,要给学生留有充分思考的余地,形式应有利于更多的学生能参与。

比如在低年级的数学教学中,教师可以在讲解知识的同时有意识地介绍知识的应用背景,在应用的重点环节有比较多的训练,如实际语言和代数语言（用字母表示某种量,用代数式表示某些条件和结果）、列方程和列不等式解应用题等,逐步扩展到让学生用已有的数学知识解释一些实际结果,描述一些实际现象,模仿地解决一些比较确定的应用问题,到独立地解决教师提供的数学应用问题和建模问题,最后发展成能独立地发现、提出一些实际问题,并能用数学建模的方法解决（或部分解决）这些问题。

（2）注意结合正常教学的教材内容

数学建模应与现行数学教材有机结合,把建模和数学课内知识的学习更好地结合起来,要以建模的视角来对待和处理教学内容,而不要形成两套系统,教师应特别注意把握数学建模与学生现实所学数学知识的“切入点”,引导学生在学中用,在用中学。

（3）注意数学建模的“活动性”

数学建模的目的并不是仅仅为了给学生扩充大量的数学课外知识。

也不是仅仅为了解决一些具体问题,而是要培养学生的应用意识、数学能力和数学素质。

因此,不应该把数学建模活动变成老师讲题,学生模仿练习的套路,而应该重过程、重参与,更多地表现活动的特性。

4.中学数学建模的活动设计形式

（1）利用数学建模课程

数学建模课程是教师指导学生进行数学建模的主要形式。

利用好数学建模课程能加深学生对数学建模的理解,充分战士数学建模的活动特点,更能进行数学建模理论的系统训练,建立一个数学建模的完整体系,提高学生的数学建模能力。

（2）利用中学生数学知识应用竞赛

中学生数学应用知识竞赛,是一种不影响中学生正常教学秩序的具有相当规模的教学改革试验,是一项科技活动,学生喜欢挑战。

利用好中学生数学知识应用竞赛,可以开发、培养、发展学生的想象力、联想力和创造力,从而提高他们的数学建模能力。

（3）利用课堂教学

利用课堂教学,在部分环节上“切入”建模的内容,把一些较小的数学建模的问题。

通过把问题解决的过程分解后,放到课堂教学的局部环节上去做。

比如在新知识的引入、复习课时,可以用一点时间穿插介绍一个数学建模的问题,学生通过讨论仅仅完成“问题数学化”的过程（不如建立起响应的方程或不等式）,而把求解过程放到课堂外完成。

要注意的是:

“切入”的内容应该和教学内容、教材的要求相近,以便于学生的理解和对教材知识的掌握。

（4）利用课外的活动

课外的活动是进行数学建模活动的辅助形式,它不受时间（可以是课间休息、课外活动、周末、节日、寒暑假）、地点（可以在教室内、宿舍内、校外等各场合）、内容（可以是课本某一知识的应用,也可以是某一实际问题,如:

电梯问题、七桥问题、四色问题、体育彩票问题、打包问题等的限制。

课外活动的形式也多种多样,可以是师生一起研讨数学建模问题,其中包括一起观察实际现象,采纳实际数据,讨论求解方案,让学生宣讲求解的结果或小论文等等,也可以是一个学生或一组学生就实际问题进行数学建模活动,还可以收集有关数学建模方面的资料。

组织的方式也较为灵活,如采用数学建模讲座、数学建模欣赏、数学建模竞赛、数学建模阅读、数学建模小论文写作,办数学建模小报等,丰富学生数学建模活动。

5.中学数学建模的活动设计课题的选择

①研究、消化、改造传统的课题,给教学内容赋予生活、生产、科技实验的背景。

②从国内外相关教参和期刊中引进、消化、吸收。

③从大学数学建模“成品”中简化、移植。

④亲自到一线调查研究,结合教学实践改编、提炼和挖掘。

⑤发动学生找课题。

立足与中学数学建模,在选择充足的“好问题”、“好课题”时,还应充分考虑:

贴近中学学生的数学现实,适合学生的知识和能力水平,求解中并不需要补充大量的知识;有较明显的生产、生活或物理等学科的实际背景和应用价值;求解中能充分体现数学模型或数学建模的特点和过程。

并可以在不同水平上运用多种模型来分析和求解;有较强的挑战性、探索性与延展性,以及趣味性;最好还能充分发挥计算机在求解中的作用。

6.中学数学建模的活动设计内容

下面列出的结合高中数学教材的应用和建模的一部分参考素材:

代数:

①结合与映射:

计数问题、编码问题、体育比赛的场次设计。

②函数:

一次函数:

校车设站问题、线性拟合。

二次函数:

栓牛问题、磁带问题。

冥函数:

同种商品按包装大小的定价问题。

指、对函数:

存款、借贷问题、非线性拟合和预测。

单调性:

怎样存款获息多。

极值:

容器的设计。

③不等式:

解法:

简单线性规划问题。

证明和应用:

洗衣机的问题、打包问题、加工顺序问题、罐头问题。

④数列:

等差、等比数列:

人口的增长、资产的折旧。

递推关系:

生物种群的变化、铺转问题、雪花曲线。

求和:

存款、还贷、分期付款问题,堆垛问题。

⑤排列组合:

扑克牌中的问题、权力问题、电话号码问题。

⑥概率统计:

有奖促销、字典字词首字母的分布、水库的鱼量、自选市场问题、掷币问题、怎样估计自己的单词量、怎样评价考试成绩、歌手大奖赛的成绩处理――歌手及裁判的水平的评价、体育彩票、密码锁问题。

7.中学数学建模的活动设计评价

评价是对数学建模活动设计成功与否有一个较为客观、便于操作的标准,以促进数学建模活动的开展、目标的完成。

①科学性科学性是对一个数学建模的活动设计是否科学合理（设计是否符合初衷,能否解决实际问题,最佳方案的选择,设计的难度、复杂程度,设计方案种类的多少）的一个综合评价。

②实践性实践性是对一个数学建模的活动设计的实用性的综合评价,设计的实践性如何,关键在于模型的应用深度、范围,能否体现数学与实践的最本质的联系。

③价值性价值性是对一个数学建模活动设计创造多少价值（学术的、经济的、技术的、方法的、观念的等等）的综合评价。

④创造性创造性是对一个数学建模的活动设计是否具有创造性的综合评价,一个好的数学建模,其创造性是不言而喻的。

总之,在数学建模的活动设计中,教师应把学生当做活动的主题,不要只把问题解决的过程展示给学生看,活动的设计应有利于发挥学生的主动性、创造性、协作性精神,让学生能把学习知识、应用知识、探索发现、使用计算机工具的模型求解更好地结合起来。

使学生在建模的过程中学数学、用数学,得到“微科研”的体验,从而达到学好数学、提高素质、增长才干的目的,同时也要避免赶时髦,不顾学生水平,盲目搞数学建模。