北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合测试题及答案.docx

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北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合测试题及答案

　第一章：

特殊的平行四边形单元测试卷

（典型题汇总）

一、选择题（本大题共6小题，共24分）

1．下列关于▱ABCD的叙述中，正确的是（　　）

A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形

B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形

C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形

D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形

2．如图1，在△ABC中，D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（　　）

A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形

B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形

C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形

D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形

图1

图2

3．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的度数为（　　）

A．75°B．65°C．55°D．50°

4．如图3，P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　）

A.125B.65C.245D．不确定

图3

图4

5．如图4，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）

A．2.5B.5C.322D．2

6．如图5，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B′处，则点B′的坐标为（　　）

图5

A．（2，23）B．（32，2－3）

C．（2，4－23）D．（32，4－23）

二、填空题（本大题共6小题，共30分）

7．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是________．

8．如图6所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B′重合，则AC＝________cm.

图6

图7

9．如图7所示，若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为________．

10．如图8，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是________．

图8

图9

11．如图9所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．

　图10

12．如图10，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为________．

三、解答题（共46分）

13．（10分）如图11，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.

（1）求证：

四边形BEDF是菱形；

（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝2，求菱形BEDF的面积．

　图11

14．（10分）如图12，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝20cm，BD＝12cm，两动点E，F同时以2cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．

（1）求证：

当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；

（2）当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？

图12

15．（12分）如图13，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，E，F分别是AB，AC的中点．

（1）求证：

四边形AEDF是菱形；

（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.

图13

16．（14分）如图14，四边形ABCD是正方形，E是直线CD上的点，将△ADE沿AE对折得到△AFE，直线EF交边BC于点G，连接AG.

（1）求证：

△ABG≌△AFG；

（2）当DE是线段CD的一半时，请你在备用图中利用尺规作图画出符合题意的图形（保留作图痕迹，不写作法）；

（3）在

（2）的条件下，求∠EAG的度数．

图14

1．C　2.D　3.B　4.A

5．B　．

6．C　

7．6　.

8．4　

9．（2＋2，2）　

10．45°　.

11．12　12.758

13．解：

（1）证明：

连接BD交AC于点O，

∵四边形ABCD为正方形，

∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC.

∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，

即OE＝OF，

∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，

∴四边形BEDF为菱形．

（2）∵正方形ABCD的边长为4，

∴BD＝AC＝42.

∵AE＝CF＝2，∴EF＝AC－22＝22，

∴S菱形BEDF＝12BD·EF＝12×42×22＝8.

14．解：

（1）证明：

连接DE，EB，BF，FD.

∵两动点E，F同时以2cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，

∴AE＝CF.

∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴OD＝OB，OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分），

∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，

∴四边形BEDF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），

即以点B，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形．

（2）当点E在OA上，点F在OC上，EF＝BD＝12cm时，四边形BEDF为矩形．

∵运动时间为t，

∴AE＝CF＝2t，

∴EF＝20－4t＝12，

∴t＝2；

当点E在OC上，点F在OA上时，

EF＝BD＝12cm，EF＝4t－20＝12，

∴t＝8.

因此，当点E，F的运动时间t为2s或8s时，四边形BEDF为矩形．

15．解：

（1）证明：

∵AD⊥BC，E，F分别是AB，AC的中点，

∴在Rt△ABD中，DE＝12AB＝AE，

在Rt△ACD中，DF＝12AC＝AF.

又∵AB＝AC，

∴AE＝AF＝DE＝DF，

∴四边形AEDF是菱形．

（2）如图，∵菱形AEDF的周长为12，

∴AE＝3.

设EF＝x，AD＝y，则x＋y＝7，

∴x2＋2xy＋y2＝49.①

由四边形AEDF是菱形得AD⊥EF，

∴在Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，

∴（12y）2＋（12x）2＝32，

即x2＋y2＝36.②

把②代入①，可得2xy＝13，

∴xy＝132，

∴菱形AEDF的面积S＝12xy＝134.

16．解：

（1）证明：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.

∵将△ADE沿AE对折得到△AFE，

∴AF＝AD＝AB，∠AFE＝∠D＝90°.

在Rt△ABG和Rt△AFG中，

AB＝AF，AG＝AG，）∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．

（2）如图所示：

（3）∵△AFE≌△ADE，△ABG≌△AFG，

∴∠EAF＝∠EAD，∠GAF＝∠GAB.

∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，

∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝12×90°＝45°.

　第一章：

特殊的平行四边形单元测试卷

（典型题汇总）

　（100分钟，120分）

一、选择题

1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB∥CD，AD=BCB．∠A=∠C，∠B=∠DC．AB∥CD，AD∥BCD．AB=CD，AD=BC

2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：

DA=2：

3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（　　）

A．6cmB．9cmC．3cmD．12cm

3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（　　）

A．50°B．55°C．60°D．65°

4．给出以下三个命题：

①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；

③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍．其中真命题的是（　　）

A．③B．①②C．②③D．③④

5．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（　　）

A．3B．4C．5D．7

6．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（　　）

A．6cm和9cmB．5cm和10cmC．4cm和11cmD．7cm和8cm

7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是

（　　）

A．AB=CDB．AD=BCC．AB=BCD．AC=BD

8．如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？

（　　）

A．8B．9C．11D．12

9．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（　　）

A．2

B．3C．

D．1+

10．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）

A．2B．3C．

D．

二、填空题

11．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　矩形、正方形　．

12．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是　3　cm2．

【解答】解：

∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，

∴它的面积是：

×2×3=3（cm2）．

13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是　45°　．

【解答】解：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°．

∵等边三角形ADE，

∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．

∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，

AB=AE，

∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，

∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，

故答案为：

45°．

14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于　3.5　．

【解答】解：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，

∴∠AOD=90°，

∵AB+BC+CD+DA=28，

∴AD=7，

∵H为AD边中点，

∴OH=

AD=3.5；

15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为　5　．

【解答】解：

过E作EM⊥AB于M，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC=CD=AB，

∴EM=AD，BM=CE，

∵△ABE的面积为8，

∴

×AB×EM=8，

解得：

EM=4，

即AD=DC=BC=AB=4，

∵CE=3，

由勾股定理得：

BE=

=

=5，

三、解答题（15题12分，16题12分，17题16分）

16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，求△AEF的周长。

【解答】解：

在Rt△ABC中，AC=

=10cm，

∵点E、F分别是AO、AD的中点，

∴EF是△AOD的中位线，EF=

OD=

BD=

AC=

cm，AF=

AD=

BC=4cm，AE=

AO=

AC=

cm，

∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm．

17．（2015•聊城）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．

求证：

四边形BECD是矩形．

【解答】证明：

∵AB=BC，BD平分∠ABC，

∴BD⊥AC，AD=CD．

∵四边形ABED是平行四边形，

∴BE∥AD，BE=AD，

∴BE=CD，

∴四边形BECD是平行四边形．

∵BD⊥AC，

∴∠BDC=90°，

∴▱BECD是矩形．

18．（2016春•历下区期末）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．

（1）求证：

△BCE≌△DCF；

（2）求CF的长；

（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？

若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

【解答】

（1）证明：

如图1，

在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）证明：

如图1，

∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，

∴∠EBC=

∠DBC=22.5°，

由

（1）知△BCE≌△DCF，

∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；

∴∠BGD=90°（三角形内角和定理），

∴∠BGF=90°；

在△DBG和△FBG中，

，

∴△DBG≌△FBG（ASA），

∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），

∵BD=

=

，

∴BF=

，

∴CF=BF﹣BC=

﹣1；

（3）解：

如图2，∵CF=

﹣1，BH=CF

∴BH=

﹣1，

①当BH=BP时，则BP=

﹣1，

∵∠PBC=45°，

设P（x，x），

∴2x2=（

﹣1）2，

解得x=1﹣

或﹣1+

，

∴P（1﹣

，1﹣

）或（﹣1+

，﹣1+

）；

②当BH=HP时，则HP=PB=

﹣1，

∵∠ABD=45°，

∴△PBH是等腰直角三角形，

∴P（

﹣1，

﹣1）；

③当PH=PB时，∵∠ABD=45°，

∴△PBH是等腰直角三角形，

∴P（

，

），

19．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．

（1）证明：

PC=PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

【解答】

（1）证明：

在正方形ABCD中，AB=BC，

∠ABP=∠CBP=45°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，

∵PA=PE，

∴PC=PE；

（2）由

（1）知，△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP，

∴∠DAP=∠DCP，

∵PA=PE，

∴∠DAP=∠E，

∴∠DCP=∠E，

∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，

即∠CPF=∠EDF=90°；

（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，

∵PA=PE，

∴PC=PE，

∴∠DAP=∠DCP，

∵PA=PC，

∴∠DAP=∠AEP，

∴∠DCP=∠AEP

∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，

即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，

∴△EPC是等边三角形，

∴PC=CE，

∴AP=CE．