图形专业题材相似与几何图形及其圆的综合应用学案.docx
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图形专业题材相似与几何图形及其圆的综合应用学案
相似的综合应用
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
通用
课时时长（分钟）
60
知识点
相似三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的应用；相似三角形的综合；
学习目标
掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．掌握两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．掌握相似三角形与其它图形的综合问题；
学习重点
利用图形的相似解决一些综合问题．
学习难点
利用图形的相似解决一些综合问题．
学习过程
一、复习预习
本章知识网络图
二、知识讲解
考点1相似三角形的判定方法
（1）定义法：
三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
（2）平行法：
平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
（3）判定定理1：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：
两角对应相等，两三角形相似．
（4）判定定理2：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
（5）判定定理3：
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：
三边对应成比例，两三角形相似．
考点2常见的相似模型
1.如图：
称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）
2.如图：
其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）
3.如图：
称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）
4.如图：
∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
5.一线三角模型
考点3常用方法归纳
（1）总体思路:
“等积”变“比例”，“比例”找“相似”
（2）找相似：
通过“横找”“竖看”寻找三角形
（3）找中间比：
若没有三角形（即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上），则需要进行“转移”（或“替换”），常用的“替换”方法有这样的三种：
等线段代换、等比代换、等积代换.
即：
找相似找不到，找中间比。
方法：
将等式左右两边的比表示出来。
①
②
③
（4）添加辅助线：
若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线（通常是添加平行线）构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.
注：
添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。
（5）比例问题：
常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。
（6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。
三、例题精析
考点一相似三角形与简单几何图形结合问题
例1、如图是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．
（1）证明：
△ABE≌△CBD；
（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；
（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；
（4）求线段BD的长．
【规范解答】：
（1）证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°． （1分）
∵四边形ACDE是等腰梯形，∠EAC=60°，
∴AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=120°=∠BCA+∠ACD，
即∠BAE=∠BCD．（2分）
在△ABE和△BCD中，AB=BC，∠BAE=∠BCD，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD．（3分）
（2）存在．答案不唯一．如△ABN∽△CDN．
证明：
∵∠BAN=60°=∠DCN，∠ANB=∠DNC，
∴△ANB∽△CND．（5分）
其相似比为：
=
=2；（6分）
（3）由
（2）得
=
=2，
∴CN=
AN=
AC，（8分）
同理AM=
AC，
∴AM=MN=NC．（9分）
（4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，
∵∠BCD=120°，
∴∠DCF=60°．（1O分）
在Rt△CDF中，∴∠CDF=30°，
∴CF=
CD=
，
∴DF=
=
=
； （11分）
在Rt△BDF中，∵BF=BC+CF=2+
=
，DF=
，
∴BD=
=
=
．（12分）
【分析】：
（1）由△ABC是等边三角形，得AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°，由四边形ACDE是等腰梯形，得AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，利用“SAS”判定△ABE≌△CBD；
（2）存在．可利用AB∥CD或AE∥BC得出相似三角形；
（3）由
（2）的结论得
=
=2，即CN=
AC，同理，得AM=
AC，可证AM=MN=NC；
（4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，在Rt△CDF中，由∠CDF=30°，CD=AE=1，可求CF，DF，在Rt△BDF中，由勾股定理求BD．
例2、已知：
如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。
（1）求证：
四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？
若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.
【规范解答】：
（1）证明：
由题意可知OA=OC，EF⊥AO，
∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；
（2）∵四边形AECF是菱形，∴AF=AE=10cm，设AB=a，BF=b，∵△ABF的面积为24cm2，
∴a2+b2=100，ab=48，∴（a+b）2=196，∴a+b=14或a+b=﹣14（不合题意，舍去），
∴△ABF的周长为14+10=24cm；
（3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点；
证明：
∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，∴
=
，∴AE2=AO•AP，
∵四边形AECF是菱形，∴AO=
AC，∴AE2=
AC•AP，∴2AE2=AC•AP．
【分析】：
（1）通过证明△AOE≌△COF，可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明；
（2）由勾股定理得AB2+FB2=100，△ABF的面积为24cm2可得，AB×BF=48；变换成完全平方式，即可解答；（3）过点E作AD的垂线，交AC于点P，通过证明△AOE∽△AEP，即可证明；
考点二相似三角形与圆有关的综合问题
例3、已知：
如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．
（1）求证：
∠PCA=∠PBC；
（2）利用
（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．
【规范解答】：
（1）证明：
连结OC，OA，
∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，
∵PC是⊙O的切线，C为切点，
∴PC⊥OC，
∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，
在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，
∵∠AOC=2∠PBC，
∴2∠ACO+2∠PBC=180°，
∴∠ACO+∠PBC=90°，
∵∠PCA+∠ACO=90°，
∴∠PCA=∠PBC；
（2）
解：
∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，
∴△PAC∽△PCB，
∴
=
，
∴PC2=PA•PB，
∵PA=3，PB=5，
∴PC=
=
．
【分析】：
（1）连结OC，OA，先根据等腰三角形的性质得出∠ACO=∠CAO，再由PC是⊙O的切线，C为切点得出∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中根据三角形内角和定理可知∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，由圆周角定理可知∠AOC=2∠PBC，故可得出∠ACO+∠PBC=90°，再根据∠PCA+∠ACO=90°即可得出结论；
（2）先根据相似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
例4、如图所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．
（1）求证
（2）计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围．
【规范解答】:
证明：
（1）∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，∴
.
解：
（2）∵AE＝8，OC＝12，
∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．
又∵
，
∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．
连接OB，在△OBC中，OB＝
AE＝4，OC=12，
∴8＜BC＜16．
【分析】:
利用△CDE∽△CAB，可证明
．
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