立体几何大题训练及答案.docx
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立体几何大题训练及答案
1、如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰
直角三角形，AB=AE=2,FA=FE,.AEF=45
分
E
（1）线段CD的中点为P,线段AE的中点为M，
求证：
PMZz平面BCE；
（2）求直线CF与平面BCE所成角的正切值•
D
解：
（1）取AB的中点为N,连MN,PN则MN/∕EB,PN∕∕BCP
.面PMN//面EBC,.PM//平面BCE
⑵先证出FE_面EBC，
■ZFCE为直线CF与平面BCE所成角，
tan.FCE
FE_6^
~6~
2、己知多面体ABCDE中，DE_平面ACD,AB//DE,AC=AD=CD=DE=2,AB=1,O为CD的中点.
⑴求证：
AO-平面CDE;
（2）求直线BD与平面CBE所成角的正弦值
解：
（I）证明；THC=才D,O为QD的中点I^AO丄CD.又DE丄平面ACD.Ad^ACDtAOLDE,:
、AO丄平面CDE・一
（inEΦ点F,连接A尸、DFt
山已知可得，ABHDE且用月=丄DE,
2
在∖CDE中.OF//DE且OF=ZD£』
2
Λ四边形ABFO是平行四边形.
.∖BFf/AOf宙（I）知.BF丄平面CDE.TCD=DE,二DF丄CE.:
、DF丄平面CBE.：
.ZrDBF就是直线BD与平面CBE所成角•…・
在ΛBDF中.DF=√2J
5D=√5
即口线BD与平面CBE所咸角的正弦值为零.
*<
（此题证ZQBF为所求角，方法较多，酌情给分）
3、如图，在厶ABC中，.C=90,AC=BC=3a,点P在AB上，PE//BC交AC于
E,PF//AC交BC于F•沿PE将厶APE翻折成△A'PE,使平面A'PE_平面
ABC；沿PF将厶BPF翻折成△B'PF,使平面B'PF_平面ABC•
（1）求证：
B'C//平面A'PE;
（2）若AP=2PB,求二面角A'-PC-E的平面角的正切值.
解：
（1）因为FC//PE,FC二平面A'PE,所以FC//平面APE•
因为平面A'PE_平面PEC,且A'E_PE,所以A'E_平面ABC.同理，B'F—平面ABC,所以B'F//A'E,从而B'F//平面A'PE.所以平面B'CF//平面A'PE,从而B'C//平面A'PE.
（2）因为AC=BC=3a,AP=2BP,
所以CE=a,EA=2a,PE=2a,PC=5a.
由
（1）知A'E_平面ABC,可得AE_PC,所以PC_面AEM,所以AM_PC.
所以.A'ME即为所求二面角A'-PC-E的平面角，可记为二.
…12分
A
C
E
B-P
（第20题）
过E作EM_PC,垂足为M,连结AM.
在Rt△PCE中，求得EM=^-5a
SinEMD
（2）AB=AC,
BC_DA,
=匹_
EM3
a
2
M为BC中点，.BC_AM.又
.BC_平面DAM.
DA_平面ABC,
9分
又AP平面DAM,BC_AP,
又AP_DM,AP_平面BCD.
又ED_平面BCD,AP//DE.
5、如图，已知ABCD是边长为1的正方形，AF丄平面ABCD
（1）证明：
BD丄EF;
（2）
D
11分
13分
14分
CE//AF,C^AFC1）.
若AF=1,且直线BE与平面ACE所成角的正弦值
为302,求•的值∙
解：
（1）连结BD、AC,交点为O.∙∙∙ABCD是正方形∕∙BD丄AC……2分
∙∙∙AF丄平面ABCD∙∙∙AF丄BD……4分
∙∙∙BD丄平面ACEF……6分
∙BD丄EF……7分
（2）连结OE,由
（1）知，BD丄平面ACEF,
所以∠BEO即为直线BE与平面ACE所成的角.……10分
∙∙∙AF丄平面ABCD,CE//AF,∙CE丄平面ABCD,CE⊥BC,
∙∙∙BC=1,AF=1,贝UCE=.,BE=、1∙2,BO=-2,
2
∙Rt△BEO中，Sin.BEO=BO-—2一二3^2,…13分
BE2胡丘10
4
因为■∙1,解得，.……15分
3
6、如图，在几何体中,
AA1_平面ABC,AB_BC,CC1//AA1,AB=BC=AA1=2,
CC1=1,D,E分别是AB,AA1的中点.
（1）求证：
BC1//平面CDE;
（2）求二面角E-DC-A的平面角的正切值
解：
（1）连接ACR1R交EC于点F,由题意知四边形ACCRIRE是矩形，则F是ACR1R的中点，
连接DF,∙∙∙D是AB的中点，∙DF是厶ABCRIR的中位线，
∙BCRIRzzDF,4分
∙∙∙BCR1R二平面EDC,DF平面EDC,∙BCRIRZZ平面CDE.
⑵作AH丄直线CD,垂足为H,连接HE,
∙∙∙AARιR⊥平面ABC,∙'∙AARiR丄DC,∙∙∙CD丄平面AHE,
ZAHE是二面角E-CD-A的平面角.11分
D是AB的中点，
AH等于点B到CD的距离，
∙CD丄EH,
在厶BCD中，求得:
AH=2^
5
AEJ5在厶AEH中，tanEAHE=
AH2
7、如图，已知平面
QBC与直线PA均垂直于RtABC所在平面，且
PA=AB=AC,
（1）求证：
PA//平面QBC;
即所求二面角的正切值为
A
又∙.∙PA丄平面ABC
∙QD//PA,2分
又∙∙∙QD平面QBC
∙PA//平面QBC6分
（2）∙∙∙PQ_平面QBC
∙PQB=∕PQC=90,又∙.∙PB=PC）PQ=PQ
∙PQB=PQC∙BQ=CQ8分
∙点D是BC的中点，连结AD,则AD—BC
∙AD—平面QBC∙PQ//AD,AD_QD
∙四边形PADQ是矩形10分
设PA=AB=AC=2a
得：
PQ=AD=.2a,PD=6a
又∙∙∙BC—PAlBC—PQ,∙BC—平面PADQ,
12
从而平面PBC_平面PADQ,过Q作QH_PD于点H,则：
QH_平面PBC∙.QCH是CQ与平面PBC所成角
=.6a
2、2a2"3
•∙QHa,CQ=BQ
胚3
QH2.312
sinQCH
CQ3^/63
&如图，在直三棱柱ABC-ABiG中，UBC是等腰直角三角形，∙ACB=90°,侧棱AAι=2，D，E分别为CCi与AlB的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心.
2分
⑴求证：
DE//平面ACB；
（2）求AiB与平面ABD所成角的正弦值.
＜【）取中点d普EF、FU、
曲已知可得EF汙2^DC//AiAr所以购边形DEFC为平打凹边形则EDHCF冈为EDU平面虫BC.FC⊂T：
面ABC,
CCI丄平面di?
L
ABCLVnSABC
卜nCG丄AB^
ClD过E作£H丄QF于∕Λ连结HR.
AC=BC…—FnAB丄CFt
AF—
κCF∩CD=C,CΛCD⊂平^DEFC∖
所^AB丄平面DEFC∖EHU平^DEFC
所以丄EHt
义EH丄DF,DFnAli=FM/DFUT所⅛E/71平［ii∖ABDt
为州B与平面』EQ所成角的平面角，Ii分
H为Zvlj8D的巫心,在E∆DEFΨEF2=FHFDJFDj
所以^ro=√3,∕∕r-=√2ψFB=√2t£2?
=Λ
铤血ZEBH二醫=冬所ftJ1/?
与ipUiMBD所成饬的iE弦值为辱
诂分
9、如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC—AiBiCi中，底面△ABC为等腰直角三角形,
∠B=90°,
D为棱BBi的中点。
（1）求证：
面DAiC丄面AAιCiC；
ZX卄AAi厂
（2）右i=•、2,求二面角A—AiD—C的大小。
hC的屮辄E氐⅞tJC,n
'∙,R貧、
；3JFmf⅛HIra
AB
⅛fl"r1/TlaJSfTRF
尿f1}∖ΛfIEJtSft⅛4'r..槪丙的呻.⅛A,j1⅛λxλ;"E.^ufEffAii且ME--AB.XCD^HCD丄Ali
.,.M⅛?
HCDEAyj⅛iFifV3⅛¾,
ΛCW∕ΛΛ.CAfci価昭仏ERC:
面內D
■-ft4DII丄一…
（H}ilEi⅛-J,-rΛlΛ^^D.Λ⅛丄占匸Xj4C2+BC⅛⅛Λ⅛λ
THtTI刚=d*書心C丄平面
^⅛ψ⅛i∕⅛cι平曲户就*：
取M申点M則ΛΛ-∕∕5C'.从iftiMV丄平而丹U馬3心为环际号平面用「常昭丄H=雯…丄阳至*徐
2222
⅛H⅛.¼Γ-⅛平茴√⅛C,所!
⅛⅛⅛的余弦慎为M孑严
11、如图在梯形ABCD中，ABllDC,E、F是线段AB上的两点，且
DE_AB,CF—AB,CF=•3,EF=FB=2,G为FB的中点，设AE=t,现将
（1）求证:
PDll平面EGC;
当EG_面PFC时,求DG与平面
PED所成角的正切值
（2）
AADEjBCF分别沿DE,CF折起，使A、B两点重合于点P,得到多面体PEFCD.
（1）
证明：
连接DF交EC于点M,连接MG
M,G为中点.PD//MG又PD二面EGC
MG面EGCPD//平面EGC5分
（2）当EG_面PFC时，EG_PF又；G为FB的中点,
.EF=EP=2,t=27分
过点G在平面PEF中作EP的垂线，垂足为N,连接DN.
DE_面PEF面PED_面PEFGN_面PED
ZGDN即为DG与平面PED所成角.11分
：
3-'21：
7
易求得GN盲，DN二〒,所以DG与平面PED所成角的正切值为下一14分
12、如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=CD=•.7,点E为线段AD上的一点•现将DCE沿线段EC翻折到PAC,使得平面PAC_平面ABCE，连接PA,PB.
（1）证明：
BD_平面PAC；
D
B
A
⑵若.BAD=60，且点E为线段AD的中点，求直线PE与平面ABCE所成角的正弦值
解：
⑴连接AC，BD交于点O,在四边形ABCD中,
∙∙∙AB=AD=4,BC=CD»7∙∙∙ABC三ADC,∙∙∙DAC=BAC,AC_BD
又•••平面PAC_平面ABCE,且平面PAC平面ABCE=AC
∙BD_平面PAC6分
⑵如图，过点P作AC的垂线，垂足为H,连接EH,EC
并取AO中点F,连接EF,
•••平面PAC_平面ABCE,且平面PAC平面ABCE=AC,PH_AC
∙PH_平面ABCE,∙.PEH即为直线PE与平面ABCE的所成角，
由（I）可知，AC_BD,且AO=2.3,CO=3,
又PE=2,PC=•7,设CH=X,则有
PH=7-x2,EH=JPE2_PH2=..χ2_3
又∙∙∙F为AO的中点，在RtEFH中，FH=2.3-x,EF=1
由勾股定理得，（2∙..3-X）2∙1=χ2-3,解得X=4,
3
∙∙∙EH=^√3,PH=5√3
33
EH■'3∙直线PE与平面ABCE的所成角的正弦值即Sin.PEH.
PE3
13、在三棱柱ABC—AiBiCi中，AB=AC=AAι=2,平面ABCι⊥平面AAQiC,∠AA1C1=∠BACi=60°设ACi与AC相交于点0,如图.
（1）求证：
BO丄平面AAiCiC;
（2）求二面角Bi—ACi—Ai的大小。
14⅛
衡以ZEOFH兰，PP~≡⅛jβl-AC^Ai^-
Pi
在宜角仙E^=IC44∙EF气BO書
答案：
（3）、1
3
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