立体几何大题训练及答案.docx

1、立体几何大题训练及答案1、如图，正方形 ABCD所在平面与平面四边形 ABEF所在平面互相垂直， ABE是等腰直角三角形， AB=AE=2,FA =FE,. AEF =45分E(1)线段CD的中点为P ,线段AE的中点为M，求证：PM Zz平面BCE ；(2)求直线CF与平面BCE所成角的正切值D解：（1）取 AB 的中点为 N ,连 MN, P N 则 MN/EB,PNBC P.面 PMN/面 EBC,. PM / 平面 BCE先证出FE _面EBC， Z FCE为直线CF与平面BCE所成角，tan . FCEFE _ 662、己知多面体 ABCDE 中，DE _ 平面 ACD , AB/D

2、E , AC=AD=CD=DE=2 , AB =1 , O 为CD的中点.求证：AO-平面CDE ;(2)求直线BD与平面CBE所成角的正弦值解：(I)证明；THC =才D, O为QD的中点I AO丄CD. 又 DE 丄平面 ACD. AdACDt AOLDE, :、AO丄平面CDE 一 (in E 点F,连接 A尸、DFt山已知可得，ABHDE且用月=丄DE,2在 CDE 中.OF /DE 且OF=ZD2四边形ABFO是平行四边形. BF f/ AO f 宙(I)知.BF 丄平面 CDE. TCD = DE,二 DF 丄 CE. :、DF 丄平面 CBE . ：.ZrDBF就是直线BD与平面

3、CBE所成角 在BDF 中.DF = 2 J5D = 5即口线BD与平面CBE所咸角的正弦值为零.*(此题证ZQBF为所求角，方法较多，酌情给分)3、如图，在厶 ABC 中，.C =90 , AC=BC=3a ,点 P 在 AB 上，PE/BC 交 AC 于E , PF / AC交BC于F 沿PE将厶APE翻折成 A PE ,使平面 A PE _平面ABC ；沿PF将厶BPF翻折成 BPF ,使平面BPF _平面ABC (1)求证：BC/平面 APE ;(2)若AP =2PB ,求二面角 A-PC -E的平面角的正切值.解：（1）因为FC / PE , FC二平面 A PE ,所以FC /平面

4、 A PE 因为平面 APE _平面PEC ,且AE _ PE ,所以AE _平面 ABC . 同理，BF 平面ABC ,所以BF /AE ,从而BF /平面A PE . 所以平面 BCF /平面 APE ,从而BC/平面APE .（2）因为 AC=BC= 3a , AP=2BP ,所以 CE =a , EA =2a , PE =2a , PC= 5a .由(1)知A E _平面ABC ,可得A E _ PC , 所以PC _面AEM ,所以 AM _ PC .所以.AME即为所求二面角 A-PC - E的平面角，可记为 二.12分ACEB- P（第 20 题）过E作EM _ PC ,垂足为M

5、 ,连结A M .在 Rt PCE 中，求得 EM =-5aSi n EMD(2) AB=AC ,BC _ DA ,=匹_EM 3a2M为BC中点，.BC _ AM .又.BC _ 平面 DAM .DA _ 平面 ABC , 9分又 AP 平面 DAM , BC _ AP ,又 AP _ DM , AP _ 平面 BCD .又 ED _ 平面 BCD , AP/DE .5、如图，已知ABCD是边长为1的正方形，AF丄平面ABCD(1)证明：BD丄EF;(2)D11分13分14分,CE / AF , C AFC 1).若AF = 1,且直线BE与平面ACE所成角的正弦值为302 ,求的值解：(1

6、)连结BD、AC,交点为O. ABCD是正方形 BD丄AC 2分 AF丄平面 ABCD AF丄BD 4分 BD丄平面 ACEF 6分 BD丄EF 7分(2)连结OE,由(1)知，BD丄平面ACEF ,所以 BEO即为直线BE与平面ACE所成的角. 10分 AF 丄平面 ABCD , CE / AF , CE 丄平面 ABCD , CE BC, BC =1 , AF = 1,贝U CE = . , BE =、1 2 , BO = -2 ,2 Rt BEO 中，Sin. BEO=BO -2一 二32 , 13 分BE 2胡丘 104因为 1 ,解得，. 15分36、如图，在几何体中,AA1 _ 平

7、面 ABC , AB _ BC,CC1 / AA1, AB = BC = AA1 = 2,CC1 =1,D,E分别是AB, AA1的中点.(1)求证：BC1 / 平面 CDE ;(2)求二面角E -DC-A的平面角的正切值解：(1)连接ACR 1R交EC于点F ,由题意知四边形 ACCRIRE是矩形，则F是ACR 1R 的中点，连接DF , D是AB的中点， DF是厶ABCRIR的中位线， BCRIRzzDF , 4 分 BCR 1R 二平面 EDC , DF 平面 EDC , BCRIRZZ平面 CDE.作AH丄直线CD ,垂足为H ,连接HE , AAR R平面 ABC , AARiR 丄

8、 DC, CD丄平面AHE ,ZAHE是二面角 E -CD -A的平面角. 11分D是AB的中点，AH等于点B到CD的距离， CD 丄 EH ,在厶BCD中，求得:AH = 25AE J5 在厶 AEH 中，tan EAHE =AH 27、如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt ABC所在平面，且PA=AB = AC ,(1)求证：PA /平面QBC ;即所求二面角的正切值为A又. PA丄平面ABC QD / PA, 2 分又 QD 平面QBC PA /平面 QBC 6 分(2) PQ _ 平面 QBC PQB =PQC =90 ,又. PB= PC) PQ= PQ PQB = PQC B

9、Q =CQ 8 分点D是BC的中点，连结AD ,则AD BC AD 平面 QBC PQ / AD , AD _ QD四边形PADQ是矩形 10分设 PA = AB = AC= 2a得：PQ=AD = .2a, PD= 6a又 BC PAl BC PQ , BC 平面 PADQ ,12从而 平面PBC _平面PADQ ,过Q作QH _ PD于点H ,则：QH _平面PBC . QCH是CQ与平面PBC所成角=.6a2、2a 2 3 QH a , CQ= BQ胚 3QH 2.3 1 2sinQCHCQ 3 /6 3&如图，在直三棱柱 ABC-ABiG中，UBC是等腰直角三角形， ACB = 90

10、,侧棱 AA =2，D，E分别为CCi与AlB的中点，点E在平面ABD上的射影是 ABD的重心.2分求证：DE/平面ACB ；(2)求AiB与平面ABD所成角的正弦值.【)取中点d普EF、FU、曲已知可得 EF 汙 2DC/AiAr 所以购边形DEFC为平打凹边形 则EDHCF冈为EDU平面虫BC. FC T：面ABC,CCI丄平面di?LABCL VnSABC卜n CG丄ABClD 过E作H丄QF于连结HR.AC = BC F n AB 丄 CFtAF CFCD = C,CCD 平DEFC所AB 丄平面DEFC EH U 平DEFC所以丄EHt义 EH 丄 DF,DFn Ali = FM/D

11、F U T 所 E/7 1 平iiABDt为州B与平面EQ所成角的平面角， Ii分H为Zvlj8D的巫心,在EDEF EF2 = FH FDJFDj所以ro = 3,r -= 2FB = 2t2? = 铤血ZEBH二醫=冬 所ft J1/?与ipUiMBD所成饬的iE弦值为辱 诂分9、如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC AiBiCi中，底面 ABC为等腰直角三角形, B=90 ,D为棱BBi的中点。(1)求证：面DAiC丄面AA CiC；Z X卄AAi 厂(2) 右 i = 、2 ,求二面角 AAiD C的大小。hC的屮辄E氐tJC,n, R貧、；3 J Fmf H IraAB fl r

12、1 / TlaJSf T R F尿 f 1 f IE JtS ft4r.槪丙的呻. A, j1x; E. ufEffAii 且ME- AB. XCD HC D丄 Ali.,.M?HCDEAyjiFifV3, CW. CAfci 価昭仏 ERC:面內D - ft4D II 丄一(HilEi-J ,-rl D. 丄占匸 Xj4C2+BCTHtTI刚=d*書心C丄平面ic平曲户就*：取M申点M則-5C.从iftiMV丄平而丹U 馬 3 心为环 际号平面用常 昭丄H=雯丄阳至* 徐2 2 2 2H.-平茴C,所!的余弦慎为M孑严11、如图在梯形ABCD中，ABllDC , E、 F是线段AB上的两点，

13、且DE _ AB , CF AB , CF = 3, EF = FB = 2 ,G 为 FB 的中点，设 AE =t ,现将(1)求证:PD ll 平面 EGC ;当EG _面PFC时,求DG与平面PED所成角的正切值(2)AADEjBCF分别沿DE,CF折起，使A、B两点重合于点P ,得到多面体PEFCD .(1)证明：连接DF交EC于点M ,连接MGM ,G 为中点.PD/MG 又 PD 二面EGCMG 面 EGC PD/ 平面 EGC 5 分(2)当EG _面PFC时，EG _ PF又；G为FB的中点,.EF=EP=2 , t =2 7分过点G在平面PEF中作EP的垂线，垂足为 N ,连

14、接DN .DE _ 面 PEF 面 PED _ 面 PEF GN _ 面 PEDZGDN即为DG与平面PED所成角. 11分：3 -21 ： 7易求得GN盲，DN二,所以DG与平面PED所成角的正切值为下一14分12、如图，在四边形 ABCD中，AB=AD= 4，BC=CD = . 7 ,点E为线段AD上的 一点现将 DCE沿线段EC翻折到PAC ,使得平面PAC _平面ABCE，连接PA , PB.(1)证明：BD _ 平面 PAC ；DBA若.BAD =60，且点E为线段AD的中点，求直线PE与平面ABCE所成角的正弦值解：连接AC，BD交于点O ,在四边形 ABCD中, AB=AD= 4

15、 , BC=CD 7 ABC 三 ADC , DAC= BAC,AC _ BD又平面PAC _平面ABCE ,且平面PAC 平面ABCE=AC BD _平面PAC 6分如图，过点P作AC的垂线，垂足为H ,连接EH , EC并取AO中点F ,连接EF ,平面 PAC _ 平面 ABCE ,且平面 PAC 平面 ABCE=AC , PH _ AC PH _平面ABCE, . PEH即为直线PE与平面ABCE的所成角，由(I)可知，AC _ BD ,且 AO = 2.3 , CO = 3 ,又 PE =2 , PC = 7 ,设 CH =X ,则有PH= 7 - x2 , EH=JPE2 _ PH

16、2 = . 2 _3又 F 为 AO 的中点，在 RtEFH 中，FH =2.3-x , EF =1由勾股定理得，(2.3 - X)2 1 = 2 -3,解得 X = 4,3 EH =3 , PH =533 3EH 3 直线PE与平面ABCE的所成角的正弦值即Sin. PEH .PE 313、在三棱柱 ABC AiBiCi 中，AB=AC=AA =2 ,平面 ABC 平面 AA QiC , AA1C1 = BAC i=60 设ACi与AC相交于点0,如图.(1)求证：BO丄平面 AAiCiC;(2)求二面角 Bi AC iAi的大小。14 衡以ZEOFH兰，PPjl -ACAi-Pi在宜角仙E = IC4 4 EF气BO書答案：（3）、13