二次函数的最值和相关实际应用精讲全国真题doc.docx
《二次函数的最值和相关实际应用精讲全国真题doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数的最值和相关实际应用精讲全国真题doc.docx（35页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
二次函数的最值和相关实际应用精讲全国真题doc
学习必备欢迎下载
二次函数的最值及相关实际应用精讲（
2015
年真题）
例1（2015?
营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收
入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产
品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：
y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为元．
w
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？
最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克
28
元，该农户想要每天获得
150元的销售利润，
销售价应定为每千克多少元？
思路分析：
（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式；
（2）用配方法将
（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；
（3）把y=150代入
（2）的函数关系式中，解一元二次方程求
x，根据x的取值范围求
x的值．
解：
（1）由题意得出：
w=（x-20）?
y
=（x-20）（-2x+80）
=-2x2+120x-1600，
故w与x的函数关系式为：
2
w=-2x+120x-1600；
（2）w=-2x2+120x-1600=-2
（x-30）2+200，
∵-2＜0，
∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．
答：
该产品销售价定为每千克
30元时，每天销售利润最大，最大销售利润
200元．
（3）当w=150时，可得方程-2（x-30）2+200=150．
解得x^=25，x2=35．
∵35＞28，
∴x2=35不符合题意，应舍去．
答：
该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
点评：
本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题．
对应训练
3．（2015?
武汉）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：
科学家把一种珍奇的植物分别放在不
同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：
温度
x/℃
-4
-2
0
2
4
4.5
植物每天高度增长量
y/mm
4149
49412519.75
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数
和二次函数中的一种．
（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；
（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？
（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度
应该在哪个范围内选择？
请直接写出结果．
x
3．解：
（1）选择二次函数，设∵x=-2时，y=49，
y=ax2+bx+c（a≠0），
x=0时，y=49，
x=2时，y=41，
学习必备欢迎下载
4a
2b
c
49
a
1
∴c
49
，
解得
b
2，
4a
2b
c
41
c
49
所以，y关于x的函数关系式为
y=-x2-2x+49；
不选另外两个函数的理由：
∵点（0，49）不可能在反比例函数图象上，
∴y不是x的反比例函数，
∵点（-4，41）（-2，49）（2，41）不在同一直线上，
∴y不是x的一次函数；
（2）由
（1）得，y=-x2-2x+49=-（x+1）2+50，∵a=-1＜0，
∴当x=-1时，y有最大值为50，
即当温度为-1℃时，这种作物每天高度增长量最大；
（3）∵10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，
∴平均每天该植物高度增长量超过25mm，
当y=25时，-x2-2x+49=25，
2
整理得，x+2x-24=0，
解得x1=-6，x2=4，
∴在10天内要使该植物高度增长量的总和超过
250mm，实验室的温度应保持在
-6＜x＜4℃．
考点四：
二次函数综合性题目
例2（2015?
自贡）如图，已知抛物线
y=ax2+bx-2（a≠0）与
x轴交于
A、B两点，与
y轴交于
C点，直线
BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=1．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、
M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；
（3）在
（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平
行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径
且与直线AC相切的圆？
若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，
请说明理由．
思路分析：
（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，
然后用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后
利用二次函数的性质求出其最大值；
（3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解．如答图2
所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt
△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例
关系列出方程，求出点Q的坐标．
解：
（1）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=3，OE=2．
学习必备欢迎下载
∵tan∠DBA=DE=1，
BE2
∴BE=6，
∴OB=BE-OE=4，
∴B（-4，0）．
∵点B（-4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）上，
16a
4b
2
0
a
1
2，
∴
，
解得
4a
2b
2
3
b
3
2
∴抛物线的解析式为：
y=1x2+3x-2．
2
2
（2）抛物线的解析式为：
y=
1
x2+
3
x-2，
22
令x=0，得y=-2，∴C（0，-2），
令y=0，得x=-4或1，∴A（1，0）．
设点M坐标为（m，n）（m＜0，n＜0），
如答图1所示，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=-n，OF=-m，BF=4+m．
S四边形BMCA=S△BMF+S梯形MFOC+S△AOC
=1BF?
MF+1（MF+OC）?
OF+1OA?
OC
222
=1（4+m）×（-n）+1（-n+2）×（-m）+1×1×2
222
=-2n-m+1
∵点M（m，n）在抛物线y=1x2+3x-2上，
22
∴n=1m2+3m-2，代入上式得：
22
S四边形BMCA=-m2-4m+5=-（m+2）2+9，
∴当m=-2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9．
（3）假设存在这样的⊙Q．
如答图2所示，设直线x=-2与x轴交于点G，与直线AC交于点F．
设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（1，0）、C（0，-2）代入得：
kb0
，
b2
解得：
k=2，b=-2，
∴直线AC解析式为：
y=2x-2，
令x=-2，得y=-6，∴F（-2，-6），GF=6．
在Rt△AGF中，由勾股定理得：
AF=AG2GF2=326235．
学习必备欢迎下载
设Q（-2，n），则在Rt△AGF中，由勾股定理得：
OQ=OG2
QF2
=n2
4．
设⊙Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=n2
4．
在Rt△AGF与Rt△QEF中，
∵∠AGF=∠QEF=90°，∠AFG=∠QFE，
∴Rt△AGF∽Rt△QEF，
∴AF
AG，即
3
5=
3
，
QF
QE
6
n
n2
4
化简得：
n2-3n-4=0，解得n=4或n=-1．
∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线
AC相切的圆，点Q的坐标为（-2，4）或（-2，-1）．
点评：
本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相
似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一
定的难度．第
（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（
3）问为存在型问题，首先假设
存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点
Q坐标．
对应训练
4．（2015?
张家界）如图，抛物线
2
y=ax+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在
x轴正半轴上，且
OD=OC．
（1）求直线CD的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：
△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：
在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？
若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
4．解：
（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，
0）．
设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），
b1
将C（0，1），D（1，0）代入得：
，
kb0
解得：
b=1，k=-1，
∴直线CD的解析式为：
y=-x+1．
（2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3，
将C（0，1）代入得：
1=a×（-2）2+3，解得a=-1．
2
学习必备欢迎下载
∴y=-1（x-2）2+3=-1x2+2x+1．
2
2
（3）证明：
由题意可知，∠ECD=45°，
∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，
∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，
∴点E的坐标为（4，1）．
如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，则F（2，1），
∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．
又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，
∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，
∴△CEQ∽△CDO．
（4）存在．
如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周
长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．
（证明如下：
不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于
点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．
由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，
由两点之间线段最短可知：
F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）
如答图③所示，连接C′E，
∵C，C′关于直线
QE对称，△QCE为等腰直角三角形，
∴△QC′E为等腰直角三角形，
∴△CEC′为等腰直角三角形，
∴点C′的坐标为（4，5）；
∵C，C″关于x轴对称，∴点
C″的坐标为（-1，0）．
过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，
在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：
C′C″=NC2
NC2
42
62
213．
综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为
213．
【聚焦中考】
1．（2015年中考真题）如图，
Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2
上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转
90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交
于点P，则点P的坐标为（
）
A．（2，2）
B．（2，2）
C．（2，2）
D．（2，2）
2．（2015年中考真题）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部
分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？
最大为多少？
（材质及其厚度等暂忽略不计）．
学习必备欢迎下载
2．解：
已知抽屉底面宽为xcm，则底面长为180÷2-x=（90-x）cm．
由题意得：
y=x（90-x）×20
=-20（x2-90x）
=-20（x-45）2+40500
当x=45时，y有最大值，最大值为40500．
答：
当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3．
3．（2015年中考真题）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x
（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：
x3O00320035004000
y100969080
（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）
与每辆车的月租金x（元）之间的关系式．
（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）
的代数式填表：
租出的车辆数未租出的车辆数
租出每辆车的月收益所有未租出的车辆每月的维护费
（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？
请求出公司的最大月收益是多少元．
3．解：
（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，
设其解析式为y=kx+b．
3000k
b
100
k
1
50，
由题：
3200k
b
96
，解之得：
b
160
∴y与x间的函数关系是
y=-1x+160．
50
（2）如下表：
租出的车辆数
-
1x+160
未租出的车辆数
1x-60
50
50
租出的车每辆的月收益
x-150
所有未租出的车辆每月的维护费
x-3000
（3）设租赁公司获得的月收益为
W元，依题意可得：
1
x+160）（x-150
）-（x-3000）
W=（-
50
=（-1
x2+163x-24000）-（x-3000）
50
=-1x2+162x-21000
50
=-1（x-4050）2+30705
50
学习必备欢迎下载
当x=4050时，Wmax=307050，
即：
当
每辆车的月租金为
4050元时，公司获得最大月收益
307050元．
故答案
为：
-1x+160，1x-60．
50
50
4．（2015年中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）
点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱
形？
若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？
求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
9
3bc0
b
-2
4．解：
（1）将B、C两点的坐标代入得
-3
，解得：
；
c
c
-3
所以二次函数的表达式为：
y=x2-2x-3。
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；
2
如图，设P点坐标为（x，x-2x-3），PP′交CO于E
连接PP′，则PE⊥CO于E，
∴OE=EC=3，
∴y=-3
；
∴x2-2x-3=-3
2
2
2
2
10
2
10
解得x=
，x=
（不合题意，舍去）
1
2
2
2
∴P点的坐标为（
210，-3）。
22
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），易得，直线BC的解析式为y=x-3
则Q点的坐标为（x，x-3）；
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=1AB?
OC+1QP?
BF+1QP?
OF
2
2
2
=
1×4×3+
1（-x
2+3x）×3
2
2
=-3（x-3）2+75。
2
2
8
当x=
3时，四边形ABPC的面积最大
2
此时P点的坐标为（3，-
15），四边形ABPC的面积的最大值为
75．
2
4
8
学习必备欢迎下载
5．（2015年中考真题）为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空
地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使定点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边
BC，AC上；又分别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月
（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其
中AB=243米，∠BAC=60°，设EF=x米，DE=y米．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？
最大面积是多少？
（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的
1？
3
5．解：
（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=243米，∠BAC=60°，
∴AC=1AB=123米，BC=3AC=36米，∠ABC=30°，
2
∴AD=DG=3x，BE=EF=3x，
tan603tan30
∵AD+DE+BE=AB，
∴
3x+y+
3x=24
3，
3
∴y=243-
3
x-
3x=24
3-
4
3
x，
3
3
即y与x之间的函数解析式为
y=24
3-43x（0＜x＜18）；
3
（2）∵y=243-4
3x，∴矩形DEFG的面积=xy=x（24
3-43x）
3
3
=-4
3x2+24
3x=-
43（x-9）2+1083，
3
3
∴当x=9米时，矩形
DEFG的面积最大，最大面积是108
3平方米；
（3）记AC、BC、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，两弯新月面积为S，
1
2
1
2
1
2
则S=
，S=
πBC
，S=
πAB
，
1
πAC
2
8
3
8
8
222
∵AC+BC=AB，
∴S1+S2-S=S3-S△ABC，
学习必备欢迎下载
∴S=S△ABC，
∴两弯新月的面积S=1AC?
BC=1×12
3×36=2163（平方米）．
2
2
1，
如果矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的
3
那么-43（x-9）2+1083
=1×216
3
，
3
3
化简整理，得（x-9）2=27，
解得x=9±33，符合题意．
所以当x为（9±33）米时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的
1．
升级会员 