如图6所示,设船头v船与河岸成θ角。
合速度v与河岸成α角。
可以看出:
α角越大,船漂下的距离x越短,那么,在什么条件下α角最大呢?
以v水的矢尖为圆心,v船为半径画圆,当v与圆相切时,α角最大,根据
图6
船头与河岸的夹角应为
,船沿河漂下的最短距离为:
此时渡河的最短位移:
误区:
不分条件,认为船位移最小一定是垂直到达对岸;将渡河时间最短与渡河位移最小对应。
例5.一艘小船在静水中的速度为4m/s,渡过一条宽200m,水流速度为5m/s的河流,则该小船
A.能到达正对岸
B.以最短位移渡河时,位移大小为200m
C.渡河的时间可能少于50s
D.以最短时间渡河时,沿水流方向的位移大小为250m
例6.一只小船以恒定的速度渡河,船头始终垂直河岸航行,当小船行到河中央时,水流速度突然变大,那么小船过河的时间将()
A.变大B..变小C.不变D.都有可能
针对训练
1.一小船在静水中的速度为5m/s,它在一条河宽为200m,水流速度为3m/s的河流中过河,则()
A.小船不可能垂直河岸抵达正对岸
B.小船过河的时间不可能少于50s
C.小船以最短航程过河时,过河的时间为40s
D.小船以最短时间过河时,它沿水流方向的位移大小为120m
2.如图所示,小船过河时,船头偏向上游与水流方向成α角,船相对于静水的速度为v,其航线恰好垂直于河岸.现水流速度稍有减小,为保持航线不变,且准时到达对岸,下列措施中可行的是()
A.减小α角,减小船速vB.增大α角,增大船速v
C.减小α角,保持船速v不变D.增大α角,保持船速v不变
3.一艘船以相对于静水恒定的速率渡河,水流速度也恒定(且小于船速),若河的宽度一定,要使船到达对岸航程最短,则( )
A.船头指向应垂直河岸航行 B.船头指向应偏向下游一侧
C.船头指向应偏向上游一侧 D.船不可能沿直线到达对岸
4.一只船在200m宽的河中横渡,水流速度是2m/s,船在静水中的航速是4m/s,欲使小船以最短时间渡过河去,则应使船头方向_________河岸(填“垂直”或“不垂直”)行驶,最短的时间是_________s.
5.河宽d=60m,水流速度v1=6m/s,小船在静水中的速度v2=3m/s,问:
(1)要使它渡河的时间最短,则小船应如何渡河?
最短时间是多少?
(2)要使它渡河的航程最短,则小船应如何渡河?
最短的航程是多少?
③绳端问题
绳子末端运动速度的分解,按运动的实际效果进行可以方便我们的研究。
例如在右图中,用绳子通过定滑轮拉物体船,当以速度v匀速拉绳子时,求船的速度。
船的运动(即绳的末端的运动)可看作两个分运动的合成:
a)沿绳的方向被牵引,绳长缩短,绳长缩短的速度等于左端绳子伸长的速度。
即为v;
b)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动,它不改变绳长。
这样就可以求得船的速度为
当船向左移动,α将逐渐变大,船速逐渐变大。
虽然匀速拉绳子,但物体A却在做变速运动。
例7 如图1所示,人用绳子通过定滑轮以不变的速度
拉水平面上的物体A,当绳与水平方向成θ角时,求物体A的速度。
针对训练 如图4所示,汽车甲以速度v1拉汽车乙前进,乙的速度为v2,甲、乙都在水平面上运动,则v1∶v2=__________。
二、竖直方向上的抛体运动
竖直下抛运动
1.定义:
将物体以一定的初速度v0沿着竖直方向向下抛出,仅在重力作用下物体所做的运动叫竖直下抛运动。
2.条件:
(1)初速度竖直向下;
(2)只受重力作用。
3.运动性质:
初速度为v0、加速度为g的匀加速直线运动。
4.运动规律:
vt=v0+gt
vt2-v02=2gs
5.用运动的合成与分解的思想看竖直下抛运动:
竖直下抛运动可看成竖直向下初速度为v0的匀速直线运动和自由落体运动的合成。
竖直上抛运动
1.定义:
把物体以一定的初速度v0沿着竖直方向向上抛出,仅在重力作用下物体所做的运动叫做竖直上抛运动。
2.条件:
(1)初速度竖直向上;
(2)只受重力作用。
3.运动性质:
初速度为v0、加速度为g的匀减速直线运动。
4.运动过程:
竖直上抛物体在上升到最高点过程中,速度方向向上,加速度方向竖直向下,物体做匀减速度直线运动;到最高点时速度为零,加速度方向竖直向下;再从最高点下落过程中物体做自由落体运动。
5.分解:
竖直向上的匀速直线运动和自由落体运动
6.竖直上抛运动的规律:
(规定初速度v0的方向为正方向)
vt=v0-gt
vt2-v02=-2gs
7.处理竖直上抛运动问题的两种思路和方法
(1)分步处理:
上升过程是初速度为v0,加速度为a=-g,末速度vt=0的匀减速度直线运动;下降过程是自由落体运动。
(不考虑空气阻力)
(2)整体处理:
将全过程看作是初速度为v0、加速度为a=-g的匀变速直线运动,上述三个基本规律直接用于全过程。
但必须注意方程的矢量性,习惯上取v0的方向为正方向,则vt>0时正在上升,vt<0时正在下降,s为正时物体在抛出点的上方,s为负时物体在抛出点的下方。
8.竖直上抛运动规律性结论:
(1)物体上升到最大高度与从最大高度落回原处所用的时间相等;
(2)物体落回原地的速度与抛出时的速度大小相等,方向相反;
(3)上升阶段中从任一点上升到最大高度所用的时间,跟物体落回到这一点所用的时间相等;
(4)物体上升时通过任一点的速度跟下落时通过这一点的速度大小相等,方向相反
例8.以初速度V0竖直上抛一个小球,不计空气阻力,重力加速度为g,则下列说法错误的是()
A.小球到达最高点所用的时间为B.小球上升的最大高度为
C.小球回到抛出点时的速度大小为V0D.小球回到出发点所用的时间为
例9将一小球从距地面30m高处以5m/s的初速度竖直下抛,取g=10m/s2,求:
(取g=10m/s2)
(1)小球到达地面时的速度;
(2)小球下落所用的时间。
针对训练
1.一个竖直下落的小球经过高为2.25m的窗子历时0.3s,求:
小球到达窗子上边沿时的速度。
(忽略空气阻力,取g=10m/s2)
2.(11分)如图所示,将一个小球水平抛出,抛出点距水平地面的高度h=1.8m,小球抛出的初速度为。
不计空气阻力。
取g=。
求:
(1)小球从抛出到落地经历的时间t;
(2)小球落地点与抛出点的水平距离S;
(3)小球落地时的速度大小V。
巩固提高
练习题
1.如图所示的质点运动轨迹中,可能的是()
2.关于曲线运动,以下说法正确的是()
A、曲线运动的速度一定是变化的B、曲线运动的加速度一定是变化的
C、曲线运动有可能是匀速运动D、曲线运动不可能是匀变速运动
3.下列说法正确的是()
A.做曲线运动的物体的速度方向不是物体的运动方向
B.做曲线运动的物体在某点的速度方向即为该点轨迹的切线方向
C.做曲线运动的物体速度大小可以不变,但速度方向一定改变
D.速度大小不变的曲线运动是匀速运动
5.关于运动的合成与分解,下列说法正确的是( ).
A.合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和
B.物体的两个分运动若是直线运动,则它的合运动一定是直线运动
C.两个分运动是直线运动,合运动可能是直线运动,也可能是曲线运动
D.若合运动是曲线运动,则其分运动至少有一个是曲线运动
6.一个物体在光滑水平面上以初速度v0做曲线运动,已知在此过程中只受一个恒力F作用,运动轨迹如图所示.则由M到N的过程中,速度大小的将( ).
A.逐渐增大B.逐渐减小
C.先增大后减小D.先减小后增大
7.如图所示,一条小船位于200m宽的河中央A点处,从这里向下游100√3m处有一危险的急流区,当时水流速度为4m/s,为使小船避开危险区沿直线到达对岸,小船在静水中的速度至少为( ).
A.1m/sB.3m/sC.2m/sD.4m/s
8.船在静水中速度为水流速度为,<。
河宽为d。
,当船头垂直向对岸航行时,则:
()
A.实际航程最短
B.当船速不变,水流速度增大时过河时间不变
C.过河时间最短
D.当船速不变,水流速度增大时,过河时间变长
9、从地面竖直向上抛出一个物体A,同时在离地面某一高度有另一个物体B开始自由落下,两物体在空中同时到达同一高度时速率都为v,不计空气阻力。
下列说法正确的是:
()
A.物体A上抛的初速度和物体B落地时的速度大小相等,都是2v
B.物体A和B在空中运动的时间相等
C.物体A上升的最大高度和物体B开始下落的高度相等
D.两物体在空中同时到达同一个高度处一定是物体B开始下落时的高度的一半
10、关于竖直上抛运动的上升过程和下落过程(起点和终点相同),下列说法正确的是:
()
A.物体上升过程所需的时间与下降过程所需的时间相同
B.物体上升的初速度与下降回到出发点的末速度相同
C.两次经过空中同一点的速度大小相等方向相反
D.上升过程与下降过程中位移大小相等、方向相反
11.一小船渡河,河宽d=180m,水流速度v1=2.5m/s。
(1)若船在静水中的速度为v2=5m/s,求:
①欲使船在最短的时间内渡河,船头应朝什么方向?
用多长时间?
位移是多少?
②欲使船渡河的航程最短,船头应朝什么方向?
用多长时间?
位移是多少?
(2)若船在静水中的速度v2=1.5m/s,要使船渡河的航程最短,船头应朝什么方向?
位移是多少?
12.如图3所示,汽车甲以速度v1拉汽车乙前进,乙的速度为v2,甲、乙都在水平面上运动,求v1∶v2
甲
乙
v1
v2
图3
13.某人在离地面高H=15m的屋顶将手伸出屋檐,以10m/s初速度竖直向上抛出一小球,不考虑空气阻力的影响,它抛出以后运动的过程中,求:
(1)小球抛出后离地面的最大高度是多少?
(2)小球经多长时间落到地下?
(3)小球落地的速度大小是多少?
(g=10m/s2)
课后作业
一、选择题
1.关于曲线运动下列说法中正确的是()
A.物体做曲线运动时,所受合外力的方向与加速度的方向不在同一直线上
B.平抛运动是一种匀变速曲线运动
C.物体做圆周运动时所受的合外力就是其向心力,方向一定指向圆心
D.物体做曲线运动时的加速度一定是变化的
2.一质点在某段时间内做曲线运动,则在这段时间内()
A.速度一定在不断改变,加速度也一定不断改变
B.速度可以不变,但加速度一定不断改变
C.质点不可能在做匀变速运动
D.质点在某点的速度方向一定是曲线上该点的切线方向
3.一河宽60m,船在静水中的速度为4m/s,水流速度为3m/s,则( ).
A.过河的最短时间为15s,此时的位移是75m
B.过河的最短时间为12s,此时的位移是60m
C.过河的最小位移是75m,所用时间是15s
D.过河的最小位移是60m,所用时间是12s
4、关于竖直上抛运动,下列说法中正确的是()
A.将物体以一定初速度竖直向上抛出,不计空气阻力,则物体运动为竖直上抛运动;
B.做竖直上抛运动的物体,其加速度与物体重力有关,重力越大的物体,加速度越小;
C.竖直上抛运动只包括上升阶段;
D.其速度和加速度的方向都可改变.
5.如图所示,有一条渡船正在渡河,河宽为300m,渡船在静水中的速度是v1=3m/s,水的流速是v2=1m/s,求下列条件渡船过河的时间.
(1)以最短的时间过河;
(2)以最短的位移过河.
6.将一小球从距地面30m高处以5m/s的初速度竖直下抛,取g=10m/s2,求:
(取g=10m/s2)
(1)小球到达地面时的速度;
(2)小球下落所用的时间