?
x≥b同大取大?
bx≥?
x≤a?
?
大大、小小?
b≥x?
?
无解找不到函数自变量的取值范围10.
表达式
取值范围
a＝y分式型（）x
0即：
分母不为0，x≠
）根式型（y＝x
0被开方数大于或等于0，即：
x≥
分式＋根式型a＝）（yx
分母被开方数大于或等于同时满足两个条件：
①0；②不为0；即：
x>0
11.一次函数的图象性质
图象性质
>0k
k<0
正比例函数y＝kx0）≠（k
一次函数＋＝ykxb0）≠k（
>0b
<0b
>0b
<0b
图象经过一、二、三象限
图象经过一、三、四象限
图象经过一、二、四象限
图象经过二、三、四象限
性质
xy随的增大而增大
y随x的增大而减小
12.反比例函数的图象性质及k的几何意义
反比
例函
数的图象性质
表达式
k＝y）（k≠0，k为常数x
k
k>0
k<0
图象
所在象限
第一、三象限）、（xy同号
第二、四象限异号、（xy）
增减性
，在每一象限内
在每一象限内，
y随x的增大而减小
y随x的增大
而增大
k的
几何意义
|k|＝SAOP△2
|＝|kSOAPB矩形
k|△APP＝2|S1关于原点的为P（P1对称点）
二次函数的图象与性质13.
关系式
＋一般式y＝axbx＋c2≠a0）（
顶点式y＝a（x－h）＋k2（a≠0）
图象形状
抛物线
开口方向
<0当a>0a时，开口向上；当，时开口向下
顶点坐标
2b4ac－b－）（，a2a4
（h，k）
对称轴
bx＝－2a
hx＝
图象
>0a
a<0
增
减性
a>0
b或x<－对称轴左侧，即a2x增大而减小；hx<，y随b或>－对称轴右侧，即xa2x增大而增大x>h，y随值，y（当x的值越靠近对称轴）越小
a<0
b或－对称轴左侧，即x－a2增大而减小x>h，y随x值（当x的值越靠近对称轴，y）越大
最大值或最小值
>0a
b＝－当x时，a22bac－4＝y最小值a4
当x＝h时，y＝k最小值
a<0
b，时＝－x当a2．
当x＝h时，yk＝最大值
2bac－4＝y最大值4a
14.二次函数图象的平移规律
移动方向
平移前的解析式
平移后的解析式
规律
向左平移m个单位
＋－h）k＝ya（x2
m）＋k＋y＝a（x－h2
左加
向右平移m个单位
－y＝a（xh）＋k2
kma（x－h－）＋＝y2
右减
向上平移m个单位
＋－＝ya（xh）k2
kh）＋＋may＝（x－2
上加
m向下平移个单位
＋）－＝ya（xhk2
m－xy＝a（－h）＋k2
下减
15.待定系数法确定函数解析式的几种情况
情况
设二次函数解析式
已知顶点
y＝a（x－h）＋k2
已知三个点的坐标
y＝ax＋bx＋c2
轴的两个交点已知与x或一个交点和对称轴
xa＝（x－x）－）（xy21
三角形全等的证明思路16.
三角形全等的证明思路
SAS找夹角→?
?
?
HL找直角→已知两边
?
?
SSS→找另一边．
边为角的对边→找任一角→AAS?
?
SAS找角的另一边→已知一边?
?
?
?
ASA→找边的另一角和一角→边为角的一边?
?
?
?
AAS→找边的对角
?
ASA找夹边→?
已知两角?
AAS找任一已知角的对边→?
?
17.判定三角形相似的思路及几种基本图形
判定三角形相似的思路
用平行线的性质，找等角有平行截线——
?
①找另一对等角?
有一对等角，2种思路?
②找该角的两边对应成比例?
?
?
找夹角相等①?
?
②找第三边也对应成比例种思路有两边对应成比例，3
?
?
③找有一对直角
?
①找一对锐角相等?
直角三角形，2种思路?
②找任意两组对应边对应成比例?
?
?
找顶角相等①?
?
②找一对底角相等种思路，等腰三角形3
?
?
③找底和腰对应成比例
几种基本图形
特殊角三角函数值记忆法18.
图表记忆法
（1）．
角度三角函数
30°
45°
60°
αsin
12
22
32
αcos
32
22
12
αtan
33
1
3
图形记忆法
（2）
②所示如图①、图
13；sin60°＝cos30°＝；°＝sin30°＝cos6022
32°＝°＝1；tan60；tan30°＝；tan45°＝cos45°＝sin45323
（3）规律记忆法
分子依次为245°30°、、60°角的正弦值的分母都是，、角的余弦值是、、；、、12330°45°60°60°、45°30°角的正弦值
19.解直角三角形实际应用的常考类型及解题方法
常
考
类
型
1.仰角、
俯角
在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角
2.坡度
（坡比）、
坡角
坡面的铅直高度h和
表示；坡面与水平i用字母，）坡比（的比叫做坡度l水平宽度．
hα＝＝tan线的夹角α叫做坡角；il
3.方向角
一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角
（一般指锐角）通常表达成北（南）偏东（西）多少度，如图，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向
20.平行四边形的性质与判定
平行四边形
性质
两组对边分别平行：
AB∥CD，AD∥BC
BCAD＝AB＝CD，两组对边分别相等：
，DAB＝∠BCD两组对角分别相等：
∠ADC∠ABC＝∠
BO，DO＝AO对角线互相平分：
＝CO
＝底×高面积：
S
判定
有两组对边分别平行的四边形是平行四边形：
AB∥CD?
?
?
四边形ABCD是平行四边形AD∥BC?
有两组对边分别相等的四边形是平行四边形：
?
CD＝AB?
?
?
四边形ABCD是平行四边形AD＝BC?
?
有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：
CD∥AB?
?
是平行四边形四边形ABCD?
CDAB＝?
两组对角分别相等的四边形是平行四边形：
?
DCB∠∠DAB＝?
?
是ABCD?
四边形ABC＝∠ADC∠?
?
平行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形：
?
CO＝AO?
?
是平行四边形ABCD?
DO＝BO?
?
四边形
21.矩形的性质与判定
矩形
性质
四个角都是直角：
∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°
对角线相等：
AC＝BD
）a（，b为长、宽baS面积：
＝×
判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形：
?
ABCD平行四边形?
?
?
四边形ABCD90°ABC＝∠?
?
是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形：
?
ABCD平行四边形?
?
ABCD四边形?
BDAC＝?
?
是矩形
有三个角都是直角的四边形是矩形：
?
四边形ABCD?
?
是矩形?
四边形ABCD90°BCD＝∠∠DAB＝∠ABC＝?
?
22.菱形的性质与判定
菱形
（m，n分别为对角
线长）
性质
四边都相等：
AB＝BC＝CD＝AD
对角线互相垂直平分：
AC⊥BD，AC平分BD
∠ADC∠ABC与平分∠DAB与∠BCD，BD平分对角线平分一组对角：
AC
1＝S面积：
为对角线长）mm·n（，n2
判定
有一组邻边相等的平行四边形是菱形：
?
ABCD平行四边形?
?
?
四边形ABCD是菱形BCAB＝?
?
对角线垂直的平行四边形是菱形：
?
ABCD平行四边形?
?
?
四边形ABCD是菱形BD⊥AC?
?
四条边都相等的四边形是菱形：
AB＝BC＝CD＝AD?
四边形ABCD是菱形
23.正方形的性质与判定
正方形
性质
四边都相等：
AB＝BC＝CD＝AD
＝90°CDA∠＝∠DAB四个角都是直角：
∠ABC＝∠BCD＝
AC，＝BDAC对角线互相垂直平分且相等：
⊥BD，AC平分BD
ABC∠与∠ADC，DAB对角线平分一组对角：
AC平分∠与∠BCDBD平分
a＝面积：
S2（）a为边长
判定
有一个角是90°的菱形是正方形：
?
ABCD菱形?
?
?
四边形ABCD是正方形∠ABC＝90°?
?
有一组邻边相等的矩形是正方形：
?
ABCD矩形?
?
?
四边形ABCD是正方形AB＝BC?
?
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形：
平行四边形ABCD?
?
?
BC＝AB是正方形?
四边形ABCD?
?
90°ABC＝∠
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形：
四边形ABCD?
?
BD⊥AC?
是正方形四边形ABCD?
BD平分AC?
?
BD＝AC
24.圆的基本性质
圆周角定理及其推论
定理．
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半：
1∠A＝∠D＝∠BOC2
推论
同弧或等弧所对的圆周角相等．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径：
∠ACB＝90°?
AB是⊙O的直径
垂径定理
及其推论
定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧：
CE＝DE?
?
?
是直径AB︵︵?
?
BD＝?
BC?
，AB⊥CDE于?
?
?
?
︵︵AD＝AC
推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧：
AB⊥CD?
?
︵︵是直径AB?
?
BD＝BC，?
?
CE＝DE?
?
?
︵︵AD＝AC
应用
半径、弦心距、弦的一半构成直角三角形，满足勾股定理：
OC＝OE＋CE222，常在圆中求线段应用
25.正多边形与圆的关系
360°?
（n＝α中心角1.
n?
为正多边形的边数）圆内接正多边?
切线的性质与判定26.，（半径）r2.（边心距），R形的相关计算?
（正多边形边长）a?
aRr三者之间关系：
＋（＝）222
2
圆切线的性质与判定
性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径：
?
的切线⊙OPC是?
?
⊥OC?
PC的半径OOC是⊙?
?
判定定理
经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．?
的半径O⊙OC是?
?
?
PC是⊙O的切线OCPC⊥?
?
切线
判定方法
则这条直线是，1.若直线与圆只有一个交点圆的切线
再证连接圆心和直线与圆的交点得半径2.，，明它们垂直即“连半径证垂直”
首先过，当直线与圆的公共点没有确定时3.再证明这条垂线段的长，圆心作直线的垂线
等于半径，即“作垂直证相等”
27.圆的有关计算公式
图形
扇形求弧长
扇形求面积
公式
πrnl＝180
2rnπ1＝＝rl·S扇形2360
28.五种常见的尺规作图及拓展类型．1五种基本尺规作图
1.作一条线段等于已知线段
步骤：
1.作射线OP；2.在OP上截取OA＝a.OA即为所求线段
2.作一个角等于已知角
步骤：
1.在∠α上以O为圆心，以适当的长为半径作弧，交∠α的两边于点P、Q；
2.作射线O′A；
3.以O′为圆心，OP长为半；M于点A′O交，径作弧．
4.以点M为圆心、PQ长为半径作弧，交前弧于点N；
5.过点N作射线O′B，∠BO′A即为所求角
3.作线段的垂直平分线
步骤：
1.分别以点A、B为圆1心，大于AB长为半径，在2线段AB两侧分别画弧，交于两点；
2．连接两弧交点，并延长即为线段AB的垂直平分线
4.作角的平分线
步骤：
1.以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于点N、M；
2.分别以点M、N为圆心，1MN长为半径作弧，大于以2相交于点P；3.作射线OP，OP即为所求角平分线
5.过直线上一点作已知直线的垂线
步骤：
1.以点O为圆心，
任意长为半径向点O两侧作弧，交直线于A、B两点；
2.分别以点A、B为圆心，1以大于AB长为半径向直线2两侧作弧，交点分别为M、N；则直，N作直线3.过点M、即为所求垂线线MN
2.作圆的内接正方形及正六边形
作圆的内接正方形
的直O过圆心O作任意一条⊙1.；，记为AC径作法同AC的垂直平分线（2．作O分别交⊙基本尺规作图的3），；于点B、D则DABC、、CD、，AB．3连接即为所求作的正方四边形ABCD形
作圆的内接正六边形．
作法一：
1．过圆心O作任意一条⊙O的直径，记为AD；
2．分别以点A、D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点E；、C、、BF、DE、BC、CD3．连接AB、即，则六边形ABCDEFEF、FA为所求作的正六边形
作法二：
连接M，．1在⊙O上任取一点OM；以点，上任取一点再在⊙OA2．，长为半径画弧A为圆心，OM，以点，B为圆心交⊙O于点B于点长为半径画弧交⊙OOM、分别作出点DC，以此类推，E、F；、DE、连接．AB、BCCD、3即ABCDEF则六边形A、EFF，为所求作的正六边形
作法三：
1．过圆心O作任意一条⊙O的直径，记为AD；
2．分别作OA、OD的垂直平分线（作法同基本尺规作图的3），分E；F、C、⊙别交O于点B、、DE、CD、、3．连接ABBC即则六边形ABCDEF、EFFA，为所求作的正六边形
三视图的识别29.
常见几何体与组合体的三视图①几种常见几何体的三视图
几何体
主视图
左视图
俯视图
正方体
圆柱
圆锥
球体．
②几种常见组合体的三视图（注：
主视图与俯视图长相等，主视图与左视图高相等，俯视图与左视图宽相等）
组合体
主视图
左视图
俯视图
数据的代表与波动30.
概念
特性
算术平
均数
x对于n个数，1x，…，x，其平均n21＝数x＋x＋x＋…（21nx）n
加权平
均数
1…＋fx＝（xf＋x2211nx＋，其中ff），1kk分别表示，ff，…k2出现xx，x，…，k21f的次数，n＝f＋21f＋…＋k
大小
与每
个数
据有
关
中位数
x若，＜＜x＜…xn12当n中位，为偶数时数是处于中间两数的．
唯一
平均数；当n为奇数时，中位数是处于中间的数
众数
若ff，…，f分别k1,2表示x，x，…，xk12众数为出现的次数，中最大f…，ff，k1,2值的那个对应的x
不唯一
描述一组数据集中趋势
方差
1x＝（＋22－）－sx[（x21nx＋（…＋22－）x]x）n
描述一组数据的波动情况
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