北师大版必修二第一章《立体几何初步》word学案.docx
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北师大版必修二第一章《立体几何初步》word学案
第一章：
立体几何
§1.简单的几何体
1.1简单的螺旋体
一、课前自学
[学习目标]
1.了解螺旋体的概念；
2.理解几何体轴截面的的概念，并解决一些简单的问题。
[预习指导]
1、螺旋体
（1）一条绕着它所在的平面内的一条定直线旋转形成的曲面叫做旋转面；的旋转面围成的几何体叫做旋转体。
（平面曲线、封闭）
（2）特殊的旋转体:
圆柱、圆锥、圆台、球。
2、球
（1）以半圆的所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫做球面。
所围成的几何体叫做球体，简称球。
半圆的叫做球心，连接球心与球面上任意一点的线段叫做半径，连接球面上两点并且过的线段叫做球的。
（直径、球面、圆心、球心、直径）
（2）表示：
球心为O时记为球O。
3、圆柱、圆锥、圆台
（1）概念：
分别以矩形的、直角三角形的一条、直角梯形垂直于底边的
所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。
圆台也可以看作是用于圆锥的平面截这个圆锥而得到的，垂直于
的边旋转而成的圆面叫做它们的底面；旋转轴的边旋转而成的曲面叫做它们的侧面，无论转到什么位置这条边都叫做侧面的（一边、直角边、腰、底面、旋转轴、不垂直于母线）
（2）表示：
圆柱OO’，圆锥SO，圆台OO’（如上图）
二、课堂练习
[精讲点拨]
1、如何理解简单旋转体的有关概念？
（1）对于定义应该注意以下几点：
1旋转轴是一条直线；②旋转面是曲面；③旋转体为实体。
（2）几种简单旋转体的比较：
名称
定义
相关概念
轴
图形表示
球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球。
球心：
半圆的圆心。
球的半径：
连接球心和球面上任意一点的线段。
球的直径：
连接球面上两点并且过球心的线段。
O’
球
轴
圆柱
以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
高：
在旋转轴上这条边的长度；
底面：
垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面；
侧面：
不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面；
母线：
不垂直于旋转轴的边，无论转到什么位置都叫做侧面的母线。
O’
底面
侧面
母线
底面
O
圆柱
圆锥
以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
轴
侧面
母线
底面
O
圆锥
轴
圆台
以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台。
O’
底面
侧面
母线
底面
O
圆台
想一想：
以上旋转体还可以由怎样的平面图形旋转而成？
提示：
球，圆柱、圆锥、圆台还可以分别由圆，矩形、等腰三角形、等腰梯形绕其对称轴旋转半周而成。
[例题解析]
例1、直角梯形绕与底边不垂直的腰旋转所得到的旋转体是（）
A、圆台B、圆锥C、圆柱D、以上都不是
[点拨]
C
根据经验有以下结论：
①垂直于旋转轴且与旋转轴有交点的线段旋转所得的图形是圆面；②垂直于旋转轴但与旋转轴没有交点的线段旋转所得到的图形是圆环面；③不垂直于旋转轴且与旋转轴有交点的线段旋转所得到的图形是圆锥侧面；④不垂直于旋转轴且与旋转轴没有交点的线段旋转所得到的图形是圆台侧面；⑤与旋转轴平行的线段旋转所形成的图形是圆柱侧面。
[解析]
D解析：
如图所示，直角梯形ABCD绕与底边不垂直的
D
B
腰CD旋转所得的几何体。
很明显，该旋转体既不是圆
柱，也不是圆台，也不是球，上部是一个圆锥，下部是
一个圆台挖去了一个圆锥。
A
例2、如图，下列几何体是台体的是（）
D’
A’
C’
C’’
B’
B’’
A’
D
C
A
C
B
A
B
①②③④
A、①②B、①③C、④D、①④
[思路点拨]
由题目可获取以下主要信息：
（1）①中各侧面棱延长后不能交于同一点；
（2）②
2中截面不平行于底面；（3）④中截面平行于底面，侧棱延长线交于一点。
[解析]
选C∵①中各侧面棱延长线不相交同一点，不符合台体的定义和特征，∴①不正确。
∵②③中的截面不平行于底面，不符合台体的定义和特征，∴②③不正确。
∵④中截面平行于底面，且侧棱延长线交于一点，符合台体的定义和特征。
∴④正确。
例3、如图，请描述
（1）、
（2）中L围绕∫旋转一周形成的空间几何体。
∫
∫
L
L
[点拨]
①旋转轴固定；
②旋转图形L形状和位置已知；
③空间想象。
[解析]
（1）由同底的两个圆锥相扣而组成的几何体。
（2）圆环，形如呼拉圈。
[方法总结]多以运动的思想想象空间几何体，有利于培养空间想象能力。
一、[课堂检测]
1、一条直线绕着一条直线（两条直线不重合）旋转一周，所得几何图形可以称为（）
A、旋转体B、圆柱C、圆锥D、旋转面
2、以下几何体中符合球的结构特征的是（）
A、足球B、篮球C、乒乓球D、铅球
3、下列说法不正确的是（）
A、圆柱的侧面展开图是一个矩形。
B、圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形。
C、直角三角形绕他的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆椎。
D、圆台平行于底面的截面是圆面。
4、圆台的轴截面为梯形。
5、下列命题中，正确的个数是（）
（1）、球的直径是球面上任意两点间的连线段；
（2）、用一个平面截一个球，得到一个圆；
（3）、不过圆的截面截得的圆叫做小圆；
（4）、用一个平面截一个球面，得到一个圆。
6、如图所示的几何体有个面，面面相交成条线。
答案：
1、D2、D（解析：
A、B、C符合球面的定义）3、C4、等腰5、26、3，2
二、课后强化
∫
1、矩形ABCD（不是正方形）绕其一边所在的直线旋转得圆柱，则得不同形状的圆柱的个数为……………………………………………………………………………………（）
B
A.1B.2C.3D.4
2、如图一条线段绕着与它相交（不垂直）的直线旋转
A
一周，所得几何图形是………………………………（）
A、旋转体B、两个圆锥侧面C、圆柱D、圆面
3、下列旋转体仅有一个底面的是………………………………………………………（）
A、圆台B、圆锥C、圆柱D、球
4、下列几何体是圆柱的是…………………………………………………………………（）
A、B、C、D、
5等腰三角形ABC绕底边上的中线AD旋转所得到的几何体是………………………（）
A、圆台B、圆锥C、圆柱D、球
6、下列说法中正确的是……………………………………………………………………（）
A、圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的
B、圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的
C、圆柱不是旋转体
D、圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的底面与截面之间的部分
7、有下列说法：
①、连接以圆心和球心的线段垂直于小圆；
②、球的直径是球面上任意两点间的连线段；
③、用一个平面去截一个圆锥，得到的是一个圆；
④、不过球心的截面截得的圆叫做小圆。
则正确说法的序号是。
8、边长为4的等边三角形ABC绕∠BAC的平分线旋转所得到圆锥的高h=
底面半径r=。
9、一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4
cm2和25
cm2。
求：
（1）圆台的高；
（2）截得此圆台的圆锥的母线长。
答案：
1、B2、B3、B4、B5、B6、D7、①④8、
，2
9分析：
过圆台的轴作截面，通过解截面等腰梯形来解决。
解：
（1）如图，过圆台的轴作截面为等腰梯形ABCD，由
S’
已知可得上底半径O1A=12㎝，下底面半径OB=5㎝，且
腰长AB=12㎝，
∴AM=
（㎝），即圆台的高为
㎝。
（2）
B
设截得此圆台的圆锥的母线长为l,则由△SAO1∽△SBO,
（3）可得
=
，∴l=20㎝，即截得此圆台的圆锥的母线为20cm。
[学习反思]
§1.简单的几何体
1.2简单的多面体
一、课前学习
[学习目标]
1、了解和认识多面体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征，加深对几种几何体的概念及性质的理解。
2、掌握棱锥、棱台中平行于底面的截面的性质。
3、了解棱柱、棱锥、棱台的分类。
[预习指导]
1.简单多面体的定义
把若干个围成的几何体叫做多面体，其中、、是简单多面体。
2.棱柱
（1）定义
两个面，其中各面都是，并且相邻两个四边形的公共边都，这些围成的几何体叫做棱柱。
（2）相关概念
底面
侧面
侧棱
底面
顶点
两个的面叫作棱柱的底面，叫做棱柱的侧面，棱柱的侧面是，两个面的叫做棱柱的棱，其中两个的公共边叫作棱柱的侧棱，底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
（3）图示
（4）特殊棱柱
直棱柱：
侧棱底面的棱柱。
正棱柱:
底面是的直棱柱。
（5）分类
棱柱
（底面为三角形）
（底面为四角形）
（底面为五角形）
……
（底面为n角形）
3．棱锥与棱台
名称
棱锥
正棱锥
棱台
正棱台
图形
结构特征
有一个面是，其余各面是的三角形的多面体
底面是，且各侧面
的棱锥
用一个棱锥底面的平面去截棱锥底面与截面之间的部分
由截得的棱台
侧面的形状
三角形
全等的等腰三角形
梯形
答案：
1.平面多边形、棱柱、棱锥、棱台
2.
（1）平行、平行四边形、平行
（2）平行、其余各面、平行四边形、公共边侧面
（4）垂直于、正多边形（5）三棱柱、四棱柱、五棱柱、n棱柱
3.多边形、有一个公共点、正多边形、全等、平行于、正棱锥、全等的等腰梯形
二、课堂学习
[精讲点拨]
1.如何理解棱柱、棱锥、棱台的概念？
定义中包含的要点
反例
棱柱
（1）有两个面（即底面）互相平行，其余各面都是四边形。
（2）每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱。
如图
棱锥
（1）有一个面（即底面）是多边形。
（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形。
有一个面试多边
形，其余各面都
是三角形的几何
体不一定是棱锥，
如图
棱台
（1）用平行于棱锥底面的平面解棱锥。
（2）底面与截面之间的几何体。
如图所示的几
何体，就不是
棱台（因为侧
棱延长线不交
于同一点）
2.理解之棱柱、郑棱柱、正棱台的概念
[例题解析]
例1：
判断下列语句是否正确。
（1）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥。
（2）有两个面平行，其余各面为梯形，则此几何体为棱台。
[思路点拨]
由题目可获取以下主要信息：
（1）一几何体有一个面是多边形，其余面都是三角形。
（2）一几何体有两个面平行，其余各面为梯形。
[解析]
（1）不正确，有一个面试多边形，其余各面必须是有一个公共点的三角形，否则此几何体不是棱锥，如图①。
（2）不正确，此语句不能反映出侧棱延长线交于一点，如图②，满足条件但不是棱台。
①
②
例2.小明设计了某个产品的包装盒，但是少设计了其中一部分
（如图所示），现欲把它补上，使其成为两边均有盖的正方体盒
子。
请你设计四种弥补的方法，并画出设计图。
[思路点拨]
根据正方体有六个面只需确定两个面的位置，可先确定一个面为“底面”，进行翻折确定其他面的位置。
设计图如下：
①②③④
例3．在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两所成的角都是30°，在一条棱上取A、B两点，OA=4cm,OB=3cm，以A、B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周，求此绳在A、B之间的最短绳长。
[点拨]解决空间几何体表面上两点的最短路程的问题，一般都是将空间几何体表面展开，将问题转换为平面能里昂点的线段长进行求解，这体现了数学中的转化思想。
[解析]如图①所示的三棱锥，作出它的侧面展开图，如图②，A，B两点之间的最短绳长就是AB长度，在△AOB中，∠AOB=3×30°=90°，OA=4cm,OB=3cm,所以AB=
=5（cm）。
即此绳在A，B之间的最短绳长为5cm。
O
B
A
B
A
O
①②
[变式]已知一正方体铁盒ABCD-A1B1C1D1，棱长为2，如图，O为B1C1CB的中心，一蚂蚁从A1出发，求到达O1的最短距离。
O
答案：
，解析：
将面A1ABB1与面B1BCC1展开成一个平面，再连接A1O，则A1O=
【课堂检测】
1.棱台不具有的性质是（）
A、两底面相似
B、侧面都是梯形
C、侧棱都平行
D、侧棱延长线后都交与一点
2.下列说法中正确的是（）
A、棱柱的底面一定是平行四边形
B、棱锥的底面一定是三角形
C、棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D、棱锥被平面分成的两部分可以是棱锥
3.用一个过正棱柱底面一边的平面去截正四棱柱，截面形状是（ ）
A、正方形B、矩形C、菱形D、不确定
４下列几何体中是棱柱的有 个。
①②③④⑤⑥⑦
５．有一枚正方体的骰子，每一个面上都有一个英文字母，如下图所示的是从３个不同角度看同一枚骰子的情况，则与Ｈ相对的字母是 。
S
O
E
①②③
答案：
１．Ｃ（棱台的侧棱所在直线交与一点，并不平行）
２．Ｄ（根据棱柱，棱锥的性质及截面性质判断可得，棱柱的底面可以是三角形，故Ａ错误。
棱锥的底面不一定是三角形，故Ｂ错误。
一个四棱锥沿顶点和底面对角顶点这三点确定的平面可以把四棱锥分成两个三棱锥，故Ｃ错误，同理，一个棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱，故Ｄ正确。
）
３．Ｂ
４．３
５．Ｏ 解析：
可以在长方体的橡皮六个面上分别标上这６个字母。
【课后强化】
１．下列说法正确的是 （）
A、有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B、有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台
C、有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D、棱台各侧棱的延长线交于一点
２．下列说法中正确的是 （）
A、所有的棱柱都有一个底面
B、棱柱的顶点至少有６个
C、棱柱的侧棱至少有４条
D、棱柱的棱至少有４条
３．下列几何体的侧棱一定相等的是 （）
A、棱锥
B、棱柱
C、棱台
D、圆柱
４．一个棱柱有１０个顶点，所有的侧棱长和为６０ＣＭ，则每条侧棱长为 ＣＭ
５．在我们学过的常见几何体中，如果用一个平面去截几何体，所得截面是三角形，那么这个几何体可能是 。
６．说出四棱台有多少个顶点？
多少条棱？
多少个面？
四棱锥呢？
７．一个正四面体各边边长为２，则该四面体的高为 。
８．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面半径的比是１:
４，截去的圆锥的母线长为３ＣＭ，求圆台的母线长。
９．已知四棱锥Ｖ-ＡＢＣＤ，底面是面积为１６的正方形ＡＢＣＤ,侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为
，计算它的高和侧面三角形底边上的高。
答案：
１．Ｄ ２．Ｂ ３．Ｂ ４．１２ ５．棱锥、棱柱、棱台、圆锥
6．8个顶点、12条棱、6个面；5个顶点、8条棱、5个面7．
X
8．解析:
设圆台的母线长为X,
如右图所示,根据相似三角形性质
得
解得X=9CM
即圆台的母线长为9CM
①②
9．解析：
如右图，设ＶＯ为四棱锥Ｖ-ＡＢＣＤ的高，
作ＯＭ┻ＢＣ于Ｍ，则Ｍ为ＢＣ中点，连接ＶＭ,ＯＢ,
则ＶＯ┻ＯＭ，ＶＯ┻ＯＢ，
V
∵ＳＡＢＣＤ=１６，∴ＢＣ=４，ＢＭ=ＣＭ=２，
ＯＢ=
又∵ＶＢ=
∴在Ｒt△ＶＯＢ中，
.
在Ｒt△ＶＯＭ中，ＶＭ=
即四棱锥的高为６，侧面三角形底边上的高为２
。
【学习反思】
§２．直观图
一．课前自学
【学习目标】
1．了解空间图形的不同表现形式，直观地了解空间图形在平面上的表示方法；
2．掌握斜二测画法的作图规则，会用斜二测画法画出简单几何体的直观图。
【预习指导】
1．斜二测画法的规则
（１）在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x’轴和y’轴，两轴交于O’，使∠x’O’y’=,它们确定的平面表示。
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于和
的线段。
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持；平行于y轴的线段，
长度为。
2．立体图形的直观图的画法
立体图形与平面相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z’轴，平面x’O’y’表示
，平面y’O’z’和x’O’z’表示，平行于z轴的线段，在直观图中和都不变。
3．平面的表示方法
一般地，用 表示空间一个水平平面的直观图，并用希腊字母α，β，γ等表示平面。
答案１．（１）４５°，水平面 （２）x’轴，y’轴（3）不变，原来的一半
2．水平平面，直立平面，平行性，长度 ３．平行四边形
二．课堂学习
【精讲点拨】
1．用斜二测画法画直观图过程中要注意哪些问题？
（1）严格按步骤画图。
（2）利用与坐标轴平行的线段定点。
画与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决。
即过与坐标轴不平行的线段的端点作与坐标轴（一般为x轴或z轴）平行的线段，然后在直观图中画出此线段，确定端点位置。
2．直观图于原图形有什么关系？
原图形
直观图
（１） 斜二测画法
（２）在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是。
（３）在原图形中互相平行的直线在直观图中平行（或重合）。
在直观图中互相平行的直线在原图形中一定平行。
（４）原图形中在同一条直线上的点，在直观图中也在同一条直线上（或重合）。
【例题解析】
类型一水平放置的平面图形的直观图
【例1】用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图。
解法一：
﹝1﹞如图﹝1﹞所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系。
（1）
（2）
（2）画对应的X/轴、Y/轴，使∠X/O/Y/=450
在X/轴上截取O/B/=O/C/=2cm，在Y/轴上截取O/A/=
OA,连接A/B/，A/C/，则三角形A/B/C/即为正三角形ABC的直观图，如图
（2）所示。
解法二：
﹝1﹞如图﹝3﹞所示，以BC边所在的直线为y轴,以BC边上的高AO所在的直线为x轴建立平面直角坐标系。
x
（4）
﹝2﹞画对应的X/轴、Y/轴，使∠X/O/Y/=450.
在X/轴上截取O/A/=OA,在Y/轴上截取O/B/=O/C/=
OC=1cm,连接A/B/，A/C/，则三角形A/B/C/即为正三角形ABC的直观图，如图（4）所示。
方法总结：
此类问题的解题步骤是：
建系、定点、连线成图。
要注意选取恰当的坐标原点o，能使整个作图变得简便。
另外，从本题的两个解法可知，坐标系选取的不同，可得到不同的直观图。
【类型二】画水平放置的空间图形的直观图
【例题2】有一个正六棱锥，底面边长为2cm，高为4cm请画出它的直观图.
[思路点拨]：
首先画水平放置的底面的直观图，再确定棱锥的顶点即可。
[解析]画法：
如图所示。
（1）先画出边长为3cm的正六边形的水平放置的直观图；
（2）过六边形的中心o/建立z/轴，画出正六棱锥的顶点V/；
（3）连接V/A/，V/B/，V/C/，V/D/，V/E/，V/F/，擦去辅助线，遮掉部分用虚线；
（4）
y/
所得的六棱锥V/-A/B/C/D/E/F/即为所求
x/
y/
V/
【类型三】直观图的还原
【例题3】已知水平放置的直观图是一梯形，如图
（1）所示，∠D/A/B/=450，A/B/=2D/C/=2A/D/。
请画出它的原图。
（1）
[点拨]在直观图中建立坐标系x/o/y/,在将整个图形还原到平面直角坐标系下。
[解析]建立∠x/o/y/=450的坐标系，如图
（2）所示，然后按下面的步骤进行画图：
（1）在水平放置的直观图中延长D/A/，交x/轴于E/。
（2）如图（3）所示，画互相垂直的轴ox,oy，取OE=O/E/，过E作EF//y轴，在EF上截取AE=2A/D/，再过D作DC//x轴，过A作AB//x轴，并且截取DC=D/C/，AB=A/B/。
（3）连接BC，得直观图A/B/C/D/的还原图形，即直角梯形ABCD就是所求作的梯形A/B/C/D/的还原图形。
x/
（3）
方法总结：
此类题目的方法是找出图形中或作出图形中与x/轴、y/轴平行的直线或线段，且平行于x/轴的线段还原时长度不变，平行于y/轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可。
变式：
如图所示，用斜二测法画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是（）
1
1
答案：
A
[课堂检测]
1．下面说法正确的是（）
A．水平放置的正方形的直观图可能是梯形
B．两条相交直线的直观图可能是平行直线
C．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直
D．平行四边形的直观图仍是平行四边形.
2．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一条边的长度是4。
则此正方形的面积是（）
A16B64C16或64D不确定
3．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正三角形A1B1C1，则△ABC是（）
A．锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D任意三角形
4．水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A'C'=3，B’C’=2，则AB的实际长度为
x/
5．平面直角坐标系中的点M（4，4）在直观图中的对应点为M'，则M'到x’轴的距离为
6．画出图中所给水平放置的直观图的原形。
y/
答案：
1D2D3C4.5点拨：
由于在直观图中∠A/C/B/=450，则在原图形中∠ACB=900，AC=3，BC=5
D
5
6画
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