⑤若m1≪m2，则v1′＝－v1，v2′＝0
★要点一基本概念的理解
【典型例题】
【例1】关于物体的动量，下列说法中正确的是（ ）A
A．运动物体在任一时刻的动量方向，一定是该时刻的速度方向
B．物体的加速度不变，其动量一定不变
C．动量越大的物体，其速度一定越大
D．物体的动量越大，其惯性也越大
【例2】下列论述中错误的是（ ）B
A．相互作用的物体，如果所受合外力为零，则它们的总动量保持不变
B．动量守恒是指相互作用的各个物体在相互作用前后的动量不变
C．动量守恒是相互作用的各个物体组成的系统在相互作用前的动量之和与相互作用之后的动量之和是一样的
D．动量守恒是相互作用的物体系在相互作用过程中的任何时刻动量之和都是一样的
★要点二动量守恒的判断
【典型例题】
【例1】木块a和b用一根轻弹簧连接起来，放在光滑水平面上，a紧靠在墙壁上．在b上施加向左的水平力F使弹簧压缩，如图所示．当撤去外力F后，下列说法中正确的是（ ）
A．a尚未离开墙壁前，a和b组成的系统动量守恒B．a尚未离开墙壁前，a和b组成的系统动量不守恒
C．a离开墙壁后，a、b组成的系统动量守恒D．a离开墙壁后，a、b组成的系统动量不守恒
BC [在a离开墙壁前、弹簧伸长的过程中，对a和b构成的系统，由于受到墙给a的弹力作用，所以a、b构成的系统动量不守恒，因此B选项正确，A选项错误；a离开墙壁后，a、b构成的系统所受合外力为零，因此动量守恒，故C选项正确，D选项错误．]
【例2】如图，A、B两物体的中间用一段细绳相连并有一压缩的弹簧，放在平板小车C上后，A、B、C均处于静止状态．若地面光滑，则在细绳被剪断后，A、B从C上未滑离之前，A、B在C上向相反方向滑动的过程中（ ）
A．若A、B与C之间的摩擦力大小相同，则A、B及弹簧组成的系统动量守恒，A、B、C及弹簧组成的系统动量守恒
B．若A、B与C之间的摩擦力大小相同，则A、B及弹簧组成的系统动量不守恒，A、B、C及弹簧组成的系统动量守恒
C．若A、B与C之间的摩擦力大小不相同，则A、B及弹簧组成的系统动量不守恒，A、B、C及弹簧组成的系统动量不守恒
D．若A、B与C之间的摩擦力大小不相同，则A、B及弹簧组成的系统动量不守恒，A、B、C及弹簧组成的系统动量守恒
解析 当A、B两物体及弹簧组成一个系统时，弹簧的弹力为内力，而A、B与C之间的摩擦力为外力．当A、B与C之间的摩擦力大小不相等时，A、B及弹簧组成的系统所受合外力不为零，动量不守恒；当A、B与C之间的摩擦力大小相等时，A、B及弹簧组成的系统所受合外力为零，动量守恒．对A、B、C及弹簧组成的系统，弹簧的弹力及A、B与C之间的摩擦力均属于内力，无论A、B与C之间的摩擦力大小是否相等，系统所受的合外力均为零，系统的动量守恒．故选项A、D正确．
【对应练习】
1.如图1所示，光滑水平面上两小车中间夹一压缩了的轻弹簧，两手分别按住小车，使它们静止，对两车及弹簧组成的系统，下列说法中正确的是（ ）ACD
A．两手同时放开后，系统总动量始终为零B．先放开左手，后放开右手，动量不守恒
C．先放开左手，后放开右手，总动量向左
D．无论何时放手，只要两手放开后在弹簧恢复原长的过程中，系统总动量都保持不变，但系统的总动量不一定为零
图1
2.质量为M和m0的滑块用轻弹簧连接，以恒定的速度v沿光滑水平面运动，与位于正对面的质量为m的静止滑块发生碰撞，如图4所示，碰撞时间极短，在此过程中，下列哪个或哪些说法是可能发生的？
（ ）
A．M、m0、m速度均发生变化，分别为v1、v2、v3，而且满足（M＋m0）v＝Mv1＋m0v2＋mv3
B．m0的速度不变，M和m的速度变为v1和v2，而且满足Mv＝Mv1＋mv2
C．m0的速度不变，M、m的速度都变为v′，且满足Mv＝（M＋m）v′
D．M、m0、m速度均发生变化，M和m0速度都变为v，m速度变为v2，而且满足（M＋m）v0＝（M＋m0）v1＋mv2
图4
解：
碰撞的瞬间M和m组成的系统动量守恒，m0的速度在瞬间不变，以M的初速度方向为正方向，若碰后M和m的速度变v1和v2，由动量守恒定律得：
Mv=Mv1+mv2
若碰后M和m速度相同，由动量守恒定律得：
Mv=（M+m）v′．故BC正确，AD错误．故选：
BC．
★要点三动量守恒的应用
【典型例题】
【例1】一质量为2m的物体P静止于光滑水平地面上，其截面如图所示．图中ab为粗糙的水平面，长度为L；bc为一光滑斜面，斜面和水平面通过与ab与bc均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接．现有一质量为m的木块以大小为v0的水平初速度从a点向左运动，在斜面上上升的最大高度为h，返回后在到达a点前与物体P相对静止．重力加速度为g.求：
（1）木块在ab段受到的摩擦力f；
（2）木块最后距a点的距离s.
解析 木块m和物体P组成的系统在相互作用过程中遵守动量守恒、能量守恒．
（1）以木块开始运动至在斜面上上升到最大高度为研究过程，当木块上升到最高点时两者具有相同的速度，根据动量守恒，有mv0＝（2m＋m）v①
根据能量守恒，有
mv
＝
（2m＋m）v2＋fL＋mgh②联立①②得f＝
－
＝
③
（2）以木块开始运动至最后与物体P在水平面ab上相对静止为研究过程，木块与物体P相对静止，两者具有相同的速度，根据动量守恒，有mv0＝（2m＋m）v④
根据能量守恒，有
mv
＝
（2m＋m）v2＋f（L＋L－s）⑤联立③④⑤得s＝
【例2】如图，A、B、C三个木块的质量均为m，置于光滑的水平桌面上，B、C之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触而不固连．将弹簧压紧到不能再压缩时用细线（细线未画出）把B和C紧连，使弹簧不能伸展，以至于B、C可视为一个整体．现A以初速度v0沿B、C的连线方向朝B运动，与B相碰并粘合在一起．以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C与A、B分离．已知C离开弹簧后的速度恰为v0.求弹簧释放的势能．
解析 设碰后A、B和C的共同速度的大小为v，由动量守恒定律得3mv＝mv0①
设C离开弹簧时，A、B的速度大小为v1，由动量守恒定律得3mv＝2mv1＋mv0②
设弹簧的弹性势能为Ep，从细线断开到C与弹簧分开的过程中机械能守恒，有
（3m）v2＋Ep＝
（2m）v
＋
mv
③
由①②③式得弹簧所释放的势能为Ep＝
mv
④
【针对练习】
1.质量为M、内壁间距为L的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为m的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ.初始时小物块停在箱子正中间．如图所示．现给小物块一水平向右的初速度v，小物块与箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中间，并与箱子保持相对静止．设碰撞都是弹性的，则整个过程中，系统损失的动能为（ ）
图1
图2
A.
mv2B.
v2C.
NμmgLD．NμmgL
解析小物块与箱子作用过程中满足动量守恒，小物块最后恰好又回到箱子正中间．
二者相对静止，即为共速，设速度为
v1，mv＝（m＋M）v1，系统损失动能ΔEk＝
mv2－
（M＋m）v
＝
，A错误、B正确；由于碰撞为弹性碰撞，故碰撞时不损失能量，系统损失的动能等于系统产生的热量，
即ΔEk＝Q＝NμmgL，C错误，D正确．
2.如图2所示，三辆完全相同的平板小车a、b、c成一直线排列，静止在光滑水平面上．c车上有一小
孩跳到b车上，接着又立即从b车跳到a车上．小孩跳离c车和b车时对地水平速度相同．他跳到a车上相对a车保持静止．此后（ ）
A．a、b两车运动速率相等B．a、c两车运动速率相等
C．三辆车的速率关系vc＞va＞vbD．a、c两车运动方向相同
3.如图所示，小球A系在细线的一端，线的另一端固定在O点，O点到水平面的距离为h.物块B质量是小球的5倍，至于粗糙的水平面上且位于O点正下方，物块与水平面间的动摩擦因数为μ.现拉动小球使线水平伸直，小球由静止开始释放，运动到最低点时与物块发生正碰（碰撞时间极短），反弹后上升至最高点时到水平面的距离为
.小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，求物块在水平面上滑行的时间t.
★要点五动量和能量观点的综合应用
【例1】如图所示，在光滑水平面上有一辆质量M＝8kg的平板小车，车上有一个质量m＝1.9kg的木块，木块距小车左端6m（木块可视为质点），车与木块一起以v＝1m/s的速度水平向右匀速行驶．一颗质量m0＝0.1kg的子弹以v0＝179m/s的速度水平向左飞来，瞬间击中木块并留在其中．如果木块刚好不从车上掉下来，求木块与平板小车之间的动摩擦因数μ.（g＝10m/s2）
解析 以子弹和木块组成的系统为研究对象，设子弹射入木块后两者的共同速度为v1，以水平向左为正方向，则由动量守恒有：
m0v0－mv＝（m＋m0）v1①解得v1＝8m/s
它们恰好不从小车上掉下来，则它们相对平板小车滑行距离x＝6m时它们跟小车具有共同速度v2，则由动量守恒定律有（m＋m0）v1－Mv＝（m＋m0＋M）v2②解得v2＝0.8m/s
由能量守恒定律有μ（m0＋m）gx＝
（m＋m0）v
＋
Mv2－
（m0＋m＋M）v
③由①②③，解得μ＝0.54
【例2】如图所示，AOB是光滑水平轨道，BC是半径为R的光滑的1/4固定圆弧轨道，两轨道恰好相切．质量为M的小木块静止在O点，一个质量为m的子弹以某一初速度水平向右射入小木块内，并留在其中和小木块一起运动，且恰能到达圆弧轨道的最高点C（木块和子弹均可以看成质点）．求：
（1）子弹射入木块前的速度；
（2）若每当小木块返回到O点或停止在O点时，立即有相同的子弹射入小木块，并留在其中，则当第9颗子弹射入小木块后，小木块沿圆弧轨道能上升的最大高度为多少？
【针对练习】
1.如图14所示，光滑的水平地面上有一木板，其左端放有一重物，右方有一竖直的墙．重物质量为木板质量的2倍，重物与木板间的动摩擦因数为μ.使木板与重物以共同的速度v0向右运动，某时刻木板与墙发生弹性碰撞，碰撞时间极短．求木板从第一次与墙碰撞到再次碰撞所经历的时间．设木板足够长，重物始终在木板上．重力加速度为g.
解析 第一次与墙碰撞后，木板的速度反向，大小不变，此后木板向左做匀减速运动，速度减到0后向右做加速运动，重物向右做匀减速运动，最后木板和重物达到一共同的速度v，设木板的质量为m，重物的质量为2m，取向右为正方向，由动量守恒定律得2mv0－mv0＝3mv①
设木板从第一次与墙碰撞到和重物具有共同速度v所用的时间为t1，对木板应用动量定理得，
2μmgt1＝mv－m（－v0）②由牛顿第二定律得2μmg＝ma③式中a为木板的加速度
在达到共同速度v时，木板离墙的距离l为l＝v0t1－
at
④
从开始向右做匀速运动到第二次与墙碰撞的时间为t2＝
⑤
所以，木板从第一次与墙碰撞到再次碰撞所经过的时间为t＝t1＋t2⑥由以上各式得t＝
.
2.如图7所示，小球a、b用等长细线悬挂于同一固定点O.让球a静止下垂，将球b向右拉起，使细线水平．从静止释放球b，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60°.忽略空气阻力，求：
（ⅰ）两球a、b的质量之比；（ⅱ）两球在碰撞过程中损失的机械能与球b在碰前的最大动能之比．
解析 （ⅰ）设球b的质量为m2，细线长为L，球b下落至最低点但未与球a相碰时的速率为v，由机械能守恒定律得m2gL＝
m2v2①
式中g是重力加速度的大小．设球a的质量为m1；在两球碰后的瞬间，两球共同速度为v′，以向左为正．由动量守恒定律得m2v＝（m1＋m2）v′②
设两球共同向左运动到最高处时，细线与竖直方向的夹角为θ，由机械能守恒定律得
（m1＋m2）v′2＝（m1＋m2）gL（1－cosθ）③联立①②③式得
＝
－1④
代入题给数据得
＝
－1⑤
（ⅱ）两球在碰撞过程中的机械能损失为Q＝m2gL－（m1＋m2）gL（1－cosθ）⑥
联立①⑥式，Q与碰前球b的最大动能Ek（Ek＝
m2v2）之比为
＝1－
（1－cosθ）⑦
联立⑤⑦式，并代入题给数据得
＝1－
1.如图所示，光滑水平面上小球A和B向同一方向运动，设向右为正方向，已知两小球的质量和运动速度分别为mA=3kg、mB=2kg和vA=4m/s、vB=2m/s．则两将发生碰撞，碰撞后两球的速度可能是（ ）AB
A．v′A=3m/s、v′B=3.5m/sB．v′A=3.2m/s、v′B=3.2m/s
C．v′A=-2m/s、v′B=11m/sD．v′A=5m/s、v′B=0.5m/s
2.静止在湖面上的船，有两个人分别向相反方向抛出质量为m的相同小球，甲向左抛，乙向右抛，甲先抛，乙后抛，抛出后两球相对于岸的速率相同，下列说法中，正确的是（）（设水的阻力不计）．D
A．两球抛出后，船往左以一定速度运动，抛乙球时，乙球受到的冲量大
B．两球抛出后，船往右以一定速度运动，抛甲球时，甲球受到的冲量大
C．两球抛出后，船的速度为零，抛甲球和抛乙球过程中受到的冲量大小相等
D．两球抛出后，船的速度为零，抛甲球时受到的冲量大
解：
设小船的质量为M，小球的质量为m，甲球抛出后，根据动量守恒定律有：
mv=（M+m）v′，v′的方向向右．乙球抛出后，规定向右为正方向，根据动量守恒定律有：
（M+m）v′=mv+Mv″，解得v″为负值，方向向左．根据动量定理得，所受合力的冲量等于动量的变化，对于甲球，动量的变化量为mv，对于乙球动量的变化量为mv-mv′，知甲的动量变化量大于乙球的动量变化量，所以抛出时，人给甲球的冲量比人给乙球的冲量大．故D正确．
3.两名质量相等的滑冰人甲和乙都静止在光滑的水平冰面上．现在，其中一人向另一个人抛出一个篮球，另一人接球后再抛回．如此反复进行几次后，甲和乙最后的速率关系是（）
A．若甲最先抛球，则一定是v甲＞v乙B．若乙最后接球，则一定是v甲＞v乙
C．只有甲先抛球，乙最后接球，才有v甲＞v乙D．无论怎样抛球和接球，都是v甲＞v乙
解析：
因系统动量守恒，故最终甲、乙动量大小必相等．谁最后接球谁的质量中包含了球的质量，即质量大，根据动量守恒：
m1v1=m2v2，因此最终谁接球谁的速度小．
4.如图所示，水平光滑轨道的宽度和弹簧自然长度均为d.m2的左边有一固定挡板，m1由图示位置静止释放．当m1与m2第一次相距最近时m1速度为v1，在以后的运动过程中（ ）BD
A．m1的最小速度是0B．m1的最小速度是
v1
C．m2的最大速度是v1D．m2的最大速度是
v1
5.如图2所示，甲、乙两船的总质量（包括船、人和货物）分别为10m、12m，两船沿同一直线、同一方向运动，速度分别为2v0、v0.为避免两船相撞，乙船上的人将一质量为m的货物沿水平方向抛向甲船，甲船上的人将货物接住，求抛出货物的最小速度．（不计水的阻力）
图2
解析：
设乙船上的人抛出货物的最小速度大小为vmin，抛出货物后船的速度为v1，甲船上的人接到货物后船的速度为v2，由动量守恒定律得12m×v0＝11m×v1－m×vmin①10m×2v0－m×vmin＝11m×v2②
为避免两船相撞应满足v1＝v2③联立①②③式得vmin＝4v0.④
6.如图所示，质量m1=0.3kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L=1.5m，现有质量m2=0.2kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v0=2m/s从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止，物块与车面间的动摩擦因数μ=0.5，取g=10m/s2，求
（1）物块在车面上滑行的时间t；
（2）要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度v0'不超过多少。
解：
（1）设物块与小车共同速度为v，以水平向右为正方向，根据动量守恒定律有
m2v0=（m1+m2）v
设物块与车面间的滑动摩擦力为F，对物块应用动量定理有-Ft=m2v-m2v0又F=μm2g
解得
代入数据得t=0.24s
（2）要使物块恰好不从车面滑出，须使物块到车面最右端时与小车有共同的速度，设其为v'，
m2v0'=（m1+m2）v' 由功能关系有
代入数据解得v0'=5m/s
故要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度v0'不超过5m/s
7.如图所示，固定的光滑圆弧面与质量为6kg的小车C的上表面平滑相接，在圆弧面上有一个质量为2kg的滑块A，在小车C的左端有一个质量为2kg的滑块B，滑块A与B均可看做质点．现使滑块A从距小车的上表面高h＝1.25m处由静止下滑，与B碰撞后瞬间粘合在一起共同运动，最终没有从小车C上滑出．已知滑块A、B与小车C的动摩擦因数均为μ＝0.5，小车C与水平地面的摩擦忽略不计，取g＝10m/s2.求：
（1）滑块A与B碰撞后瞬间的共同速度的大小；
（2）小车C上表面的最短长度．
解析
（1）设滑块A滑到圆弧末端时的速度大小为v1，由机械能守恒定律有：
mAgh＝
mAv
，①代入数据解得v1＝
＝5m/s.②
设A、B碰后瞬间的共同速度为v2，滑块A与B碰撞瞬间与车C无关，滑块A与B组成的系统动量守恒，mAv1＝（mA＋mB）v2，③代入数据解得v2＝2.5m/s.④
（2）设小车C的最短长度为L，滑块A与B最终没有从小车C上滑出，三者最终速度相同设为v3，根据动量守恒定律有：
（mA＋mB）v2＝（mA＋mB＋mC）v3⑤
根据能量守恒定律有：
μ（mA＋mB）gL＝
（mA＋mB）v
－
（mA＋mB＋mC）v
⑥
联立⑤⑥式代入数据解得L＝0.375m．⑦
【高考题组】
1.（2013·山东理综·38
（2））如图所示，光滑水平轨道上放置长板A（上表面粗糙）和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为mA＝2kg、mB＝1kg、mC＝2kg.开始时C静止．A、B一起以v0＝5m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C发生碰撞．求A与C碰撞后瞬间A的速度大小．
解析 因碰撞时间极短，A与C碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间A的速度为vA，C的速度为vC，以向右为正方向，由动量守恒定律得mAv0＝mAvA＋mCvC①
A与B在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为vAB，由动量守恒定律得
mAvA＋mBv0＝（mA＋mB）vAB②
A与B达到共同速度后恰好不再与C碰撞，应满足
vAB＝vC③
联立①②③式，代入数据得
vA＝2m/s
2．（2013·全国新课标Ⅱ·35
（2））如图，光滑水平直轨
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