341圆周角定理及其推论1.docx

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341圆周角定理及其推论1

4　圆周角和圆心角的关系

第1课时　圆周角定理及其推论1

关键问答

①圆周角和圆心角的顶点位置有何区别？

同一段弧所对n加油的圆心角和圆周角又有什么关系？

②一条弧所对的圆周角有多少个n加油？

这些圆周角的大小有怎样的关系？

1．①如图3－4n加油－1，A，B，C是⊙O上的三点，且∠ABC＝70°，则∠AOC的度数是（　　）n加油

图3－4－1

A．35°B．140°C．70°Dn加油．70°或140°

2．②如图3－4－2，点A，B，C，Dn加油都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD与下列哪个角相等（　　）

图n加油3－4－2

A．∠ACDB．∠ADBC．∠AEDn加油D．∠ACB

3．2019·哈尔滨如图3－4－3，⊙O中，弦An加油B，CD相交于点P，∠A＝42°，∠APD＝7n加油7°，则∠B的度数是（　　）

图3－4－3

A．43°B．35°C．n加油34°D．44°

命题点1　利用圆周角定理进行n加油计算或证明　[热度：

96%]

4.③如图n加油3－4－4，在⊙O中，O为圆心，点A，B，n加油C在圆上，若OA＝AB，则∠ACB的度数为（　　）

n加油图3－4－4

A．15°B．30°n加油C．45°D．60°

方法点拨

③解决圆中与圆周角有关的问题，常n加油找出同弧所对的圆心角，通过圆心角和圆周角的关系找n加油到解题的途径．

5．④如图3－4－5，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，n加油且点C不与点A，B重合，则∠ACB的度数为（　　）

图3－4－5

A．50n加油°B．80°或50°C．130°D．50°n加油或130°

易错警示

④点C的位置固定吗？

有几种不同n加油的情况？

6．2019·菏泽如图3－4－6n加油，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度n加油数是（　　）

图3－4－6

A．64°Bn加油．58°C．32°D．26°

7.如图3－4n加油－7，⊙O的半径为6，点A，B，C在⊙O上n加油，且∠ACB＝45°，则弦AB的长是__n加油______．

图3－4－7

命题点2　利用圆周角定理的推论1进行n加油计算或证明　[热度：

96%]

8．2019·北京如图3－n加油4－8，点A，B，C，D在⊙O上，

n加油＝

，∠CAD＝30°，∠An加油CD＝50°，则∠ADB＝________．

n加油　图3－4－8

9.⑤已知：

如图3－4－9，CA＝Cn加油B＝CD，过A，C，D三点的⊙O交AB于点F.

图3－4－9

求证：

n加油CF平分∠BCD.

解题突破

⑤连接AD，你能得到哪些角相等？

n加油

10.⑥如图3－4－10所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，n加油垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．

图3－4－10

（1）若∠AOD＝n加油52°，求∠DEB的度数；

（2）若OC＝3，OA＝5，n加油求tan∠AEB的值．

方法点拨

⑥

（1）已知圆心角，要求圆n加油周角，首先要联想到圆周角定理．

（2）∠AEBn加油所在的三角形不是直角三角形，那么是否可以将它转化n加油到一个直角三角形中呢？

11.⑦如图3－4－11①n加油，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠ABC＝∠C，点D在弧BC上运动，过点D作n加油DE∥BC交直线AB于点E，连接BD.

（1）求证n加油：

∠ADB＝∠E；

（2）求证：

AD2＝AC·AE；n加油

（3）当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE？

请你利用图②进行探索和证n加油明．

图3－4－11

方法点拨

⑦在解决圆的有关问题时，常常利用圆n加油周角的基本性质进行两种转化：

一是利用同弧或等弧n加油所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化；二是将n加油圆周角相等的问题，根据“同圆或等圆中相等的圆周n加油角所对的弧相等”，转化为弦相等或线段相等的问题.

12．如图3－4－1n加油2，点A，B，C在⊙O上，AC＝BC，D为n加油⊙O中

上n加油一点，延长DA至点E，使CE＝CD，连接BDn加油.

（1）求证：

AE＝BD；

（2）若AC⊥BCn加油，求证：

AD＋BD＝

CD.n加油

图3－4－12

命题点3　圆周角在实际中的应用　[热度：

70%]

13.⑧如n加油图3－4－13所示，在小岛周围的

内有暗礁，在A，B两点各建一座航n加油标灯塔，且∠APB＝θ，

上任一点P都是有触礁危险的临n加油界点，∠APB就是“危险角”．船要在两航n加油标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？

为什么？

图3－4－13

方法点拨

⑧n加油三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；一条弧所对的角的n加油顶点在圆外的角都小于顶点在圆上的角，一条弧所n加油对的角的顶点在圆内的角都大于顶点在圆上的角.

14.⑨已知：

如图3－4－14，⊙n加油O1和⊙O2相交于A，B两点，动点P在⊙O2上，且在⊙O1外，直线PA，PB分n加油别交⊙O1于点C，D，⊙O1的弦CD的长是否随点P的运n加油动而发生变化？

如果发生变化，请你确定弦CD最长和最短时点P的位置；如果不n加油发生变化，请你给出证明．

图3－4－14

解题突破

⑨在同一n加油个圆中，判断弦的长有无变化可以判断弦所对的圆n加油心角或圆周角有无变化，只要弦所对的圆心角或圆周角不变，那么弦的长也n加油不变.

详解详析

1．B

2．A　[解析]∠ABD与∠ACD对着同一条n加油弧，根据“同弧所对的圆周角相等”可知∠ABD＝∠ACD.

3．B

4．n加油B　[解析]∵OA＝AB，OA＝OB，∴△An加油OB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝30°.故选B.

5．Dn加油　[解析]利用同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半，求得圆周角的度数即n加油可，注意点C可能在优弧上也可能在劣弧上，分两种情况讨论．

当点C在优弧上时n加油，∠AC′B＝

∠AOB＝

×1n加油00°＝50°；

当点C在劣弧上时，∠ACn加油B＝

（360°－∠AOB）＝

×（360°－100°）＝130°.

故选D.

6．D　[解析]n加油如图，由OC⊥AB，得

＝

，∠OEB＝n加油90°，

∴∠2＝∠3.

∵∠2＝2∠1＝2n加油×32°＝64°，

∴∠3＝64°.

在Rtn加油△OBE中，∠OEB＝90°，

∴∠B＝90°－∠n加油3＝90°－64°＝26°.故选D.

7．6n加油

　[解析]连接OA，OB，∠AOB＝2∠n加油ACB＝2×45°＝90°，则AB＝

＝

＝6

.

8n加油．70°　[解析]∵

＝

，∠CAD＝30°，

∴n加油∠CAD＝∠CAB＝30°，∠DBC＝∠DAC＝30°.

∵∠n加油ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，

∴∠ADB＝∠ACB＝1n加油80°－∠CAB－∠ABC＝180°－30°－50°－30°＝70°.n加油

9．证明：

连接AD.

∵CA＝CD，

∴∠D＝∠CAD.

∵∠D＝∠CFA，

n加油∴∠CAD＝∠CFA.

∵∠CFA＝∠B＋∠FCB，

∴∠Cn加油AF＋∠FAD＝∠B＋∠FCB.

∵CAn加油＝CB，∴∠CAF＝∠B，

∴∠FAD＝∠FCB.

又∵∠n加油FAD＝∠FCD，∴∠FCB＝∠FCD，

即Cn加油F平分∠BCD.

10．解：

（1）∵OD⊥AB，∴

＝

，

∴∠DEB＝∠AED＝

∠AOD＝

×52°＝26°.

（2）∵OC＝3n加油，OA＝5，∴AC＝4.

∵

＝

，∴∠AEB＝∠AOCn加油，

∴tan∠AEB＝tan∠AOC＝

＝

.

11．解：

（1n加油）证明：

∵DE∥BC，

要练说，得练听。

听是说的前提，听得准确，才有条n加油件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。

我在教学n加油中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视n加油教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，n加油抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。

当我n加油发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别n加油人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。

平时我还通n加油过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听n加油边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子n加油辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上n加油句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快n加油，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基n加油础。

∴∠ABC＝∠E.

∵∠ADB，∠C都是

所对的圆周角，

∴∠ADB＝∠C.

∵∠ABC＝∠Cn加油，∴∠ADB＝∠E.

（2）证明：

∵∠ADB＝∠E，∠BAD＝n加油∠DAE，

∴△ADB∽△AED，

∴

＝

n加油，即AD2＝AB·AE.

∵∠ABC＝∠C，∴AB＝AC，n加油

∴AD2＝AC·AE.

（3）当点D运动到弧BC的中点时，△DBE∽△ADEn加油.证明：

∵DE∥BC，

∴∠EDB＝∠Dn加油BC.

∵

＝

，∴∠DBC＝∠EAD，

∴∠n加油EDB＝∠EAD.

又∵∠DEB＝∠AED，∴△DBE∽△ADE.n加油

12．[解析]

（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠Cn加油BA＝∠CDE，进而可得∠ACB＝∠ECD，可证n加油明△ACE≌△BCD，则AE＝BD；

（2）根据已知条件，得∠n加油CED＝∠CDE＝45°，则DE＝

CDn加油，从而证出结论．

证明：

（1）在△ABC中，∵AC＝BC，

n加油∴∠CAB＝∠CBA.

在△ECD中，∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE.

n加油∵∠CBA＝∠CDE（同弧所对的圆周角相等）n加油，

∴∠CAB＝∠E，∴∠ACB＝∠ECD，

∴∠ACB－n加油∠ACD＝∠ECD－∠ACD，

即∠BCD＝∠n加油ACE.

在△ACE和△BCD中，∵CE＝CD，∠ACE＝∠BCD，AC＝n加油BC，

∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD.

（2）∵AC⊥BC，∴∠ACB＝9n加油0°.

由

（1）知∠ACB＝∠ECD，∴∠En加油CD＝90°，

∴∠CED＝∠CDE＝45n加油°，

∴DE＝

CD.

又∵AD＋BD＝AD＋AEn加油＝DE，

∴AD＋BD＝

CD.

13．解：

船在航行的过程n加油中，始终保持对两灯塔A，B的视角小于θ，即可安全绕过暗礁区．

理由：

如图所示．n加油

（1）在

n加油外任取一点C，连接CA，CB.

设CA交

于点F，连接FB.

n加油∵∠AFB＝θ，∠AFB＞∠C，∴∠C＜θ.n加油

（2）在

内任取一点D，n加油连接AD并延长交

于点E，连接Dn加油B，EB.

∵∠E＝θ，∠ADB＞∠E，∴∠ADB＞n加油θ.

由

（1）

（2）知，在航标灯A，B所在直线的北侧，n加油在

外任一点对n加油A，B的视角都小于θ，在

上任一点对A，B的视角都n加油等于θ，在

内n加油任一点对A，B的视角都大于θ，因此，只有对两灯塔的视角小于θ的点才n加油是安全点．

14．[解析]连接AD，AB，∠ADn加油P在⊙O1中所对的弦为AB，所以∠ADPn加油为定值，∠P在⊙O2中所对的弦为AB，所以∠P为定值．再利用n加油三角形内角与外角的关系求出∠CAD为定值，则弦CD为定值n加油，与点P的位置无关．

解：

当点P运动时，弦CD的长保持不变．

证n加油明：

如图，连接AD，AB，点A，B是⊙O1与⊙O2的交点n加油，弦AB的长与点P的位置无关．

∵∠ADP在⊙O1中所对的弦为AB，

∴∠ADP为定值．

∵∠P在⊙O2中所对的弦为AB，

∴∠P为定值．

要练说，得练看。

看与说是统一的，看不准就难以说得好。

练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。

在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。

∵∠CAD＝∠ADP＋∠P，

“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。

《说文解字》中有注曰：

“师教人以道者之称也”。

“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。

“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。

“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。

“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。

慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。

只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。

今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。

∴∠CAD为定值．

∵在⊙O1中，∠CAD所对的弦为CD，

∴CD的长与点P的位置无关．

[关键问答]

①圆周角的顶点在圆上，圆心角的顶点在圆心上；同一段弧所对的圆周角的度数是它所对圆心角度数的一半．

②一条弧所对的圆周角有无数个；同一条弧所对的圆周角都相等．