华东师大版九年级数学下26章二次函数知识点总结及经典例题.docx
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华东师大版九年级数学下26章二次函数知识点总结及经典例题
二次函数知识点总结
一、二次函数概念:
1二次函数的概念：
一般地，形如yax2bxc（a,b,c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。
里需要强调：
和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零•二次函数的定义域是全体实
数•--
2
2.二次函数yaxbxc的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.
⑵a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式：
yax2的性质:
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
0,0
y轴
x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0.
a0
向下
0,0
y轴
x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0.
2
2.yaxc的性质:
上加下减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
0,c
y轴
x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c.
a0
向下
0,c
y轴
x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c.
2
3.yaxh的性质:
左加右减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
h,0
X=h
xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0.
a0
向下
h,0
X=h
xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0•
2
4.yaxhk的性质:
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
h,k
X=h
xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k•
a0
向下
h,k
X=h
xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k•
三、二次函数图象的平移
1.
2
yaxhk，确定其顶点坐标h,k；
平移步骤：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式
y=ax2
Ay=ax2+k
向右（h>0）【或左（*0）]
平移|k|个单位
向右（h>0）【或左（h<0）]
平移|k|个单位
向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位
向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k个单位
向上（k>0）【或下（k<0）]平移|k个单位
y=a（xh）2
y=a（xh）2+k
向右（h>0）【或左（h<0）]
平移|k|个单位
⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下:
2.平移规律
在原有函数的基础上
概括成八个字“左加右减,
h值正右移，负左移;上加下减”•
k值正上移，负下移”
七、二次函数解析式的表示方法
2
1.一般式：
yaxbxc（a,b,c为常数，a0）；
2•顶点式：
ya（xh）2k（a,h,k为常数，a0）;
3.两根式（交点式）：
ya（xxi）（x血）（a0,x,X2是抛物线与x轴两交点的横坐标）注意：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的
这三种形式可以互化.
二次函数的图象与各项系数之间的关系
二次项系数a
当a0时，抛物线开口向上，
当a0时，抛物线开口向下，
九、二次函数与一元二次方程:
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与二次方程axbxc0是二次函数yx轴的交点个数：
兀
图象与
2ax
x轴交点情况）：
bxc当函数值
y0时的特殊情况.
2
b4ac0时，图象与x轴交于两点A
Xi,0,Bx2,0（Xi
X2），其中的Xi,X2是一元二次方
2ax
bx
0的两根..
1'
2'
0时,
0时,当a当a
x轴只有一个交点;
x轴没有交点.
图象与
图象与
0时，图象落在x轴的上方，无论
0时，图象落在x轴的下方，无论
x为任何实数，都有x为任何实数，都有
2.抛物线yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0,c）；
二次函数对应练习试题
一、选择题
1.二次函数yx24x7的顶点坐标是（）
A.（2,—11）B.（-2,7）C.（2,11）D.（2,-3）
2.把抛物线y2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）
2222
A.y2（x1）B.y2（x1）C.y2x1D.y2x1
2k
3.函数ykxk和y（k0）在同一直角坐标系中图象可能是图中的（）
x
4.已知二次函数yax2
bx
c（a0）的图象如图所示
当x1和x3时，函数值相等；③4ab0④当y
确的个数是（）
A.1个
B.2
个C.3
5.已知二次函数
ax2bxc（a
由图象可知关于
兀二次方程
ax
A.—1.
6.已知二次函数
A.第一象限
C.第三象限
7.方程2xx2
A.0个
8.已知抛物线过点
则下列结论：
①a,b同号；②
2时,x的值只能取0.其中正
个
个
D.4
B.-2.3C.-0.3D.-3.3
2
axbxc的图象如图所示，则点（ac,bc）在（
B.第二象限
D.第四象限
-的正根的个数为（）
x
B.1
C.2
A（2,0）,B（-1,0）,
与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A.
y
2
x2x2
B.
y
2
x2x2
C.
y
x2x2或y
2小
xx2
D.
y
22
xx2或yxx2
二、填空题
9•二次函数yx2bx3的对称轴是x2，则b。
10.已知抛物线y=-2（x+3）2^5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是.
11.一个函数具有下列性质：
①图象过点（一1,2）,②当xv0时，函数值y随自变量x的增大而增大；
满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可）。
—
12•抛物线y2（x2）26的顶点为C,已知直线ykx3过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。
22
13.二次函数y2x4x1的图象是由y2xbxc的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位
得到的，贝yb=,c=。
_
14.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方,
桥的高度是Ln取3.14）.-*
三、解答题:
5
15.已知二次函数图象的对称轴是x30,图象经过（1,-6）,且与y轴的交点为（0,）.
2
（1）
第15题图
求这个二次函数的解析式；
⑵当x为何值时，这个函数的函数值为0?
（3）当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值y随x的增大而增大？
12
16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式hv0t—gt2（02
加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升，一
（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？
（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由
yx3与坐标轴的两个交
C,抛物线顶点为D.
APC:
SacD5:
4的点P
17.如图，抛物线yx2bxc经过直线点AB,此抛物线与x轴的另一个交点为
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S
的坐标。
18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结
算，未售出的由厂家负责处理）.当每吨售价为260元时，月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：
当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综
合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x（元），该经
销店的月利润为y（元）.--
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：
“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？
请说明理由.
二次函数应用题训练
1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分）之间满足函数关系：
y=-0.1x2
+2.6x+43（0wxw30）.
x在什么范围内时，学生的接受能力逐步减弱?
（1）当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？
当
（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少?
（3）第几分钟时，学生的接受能力最强?
2、如图，已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cn若在厶ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上，点DG分别在边ABAC上…
问矩形DEFG的最大面积是多少？
3、如图，△ABC中，/B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动；点Q
从点B开始，沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q同时出发，问经过几秒钟厶PBQ的面积最大？
最大面积是多少？
「
4、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时,
达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.---
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：
球出手时，他跳离地面的高
度是多少.
5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养
鸡场，设它的长度为xm.—
（1）要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m?
⑵如果中间有n（n是大于1的整数）道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m?
比较
（1）
（2）
的结果，你能得到什么结论?
6、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价
x（元）满足关系：
m=140-2x.…
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；
（2）
如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？
最大销售利润为多少？
2、已知二次函数
2ax
bxc的图象如图所示，则点
A•第一象限
B•第二象限
C•第三象限
D•第四象限
3、已知二次函数
则下列结论正确的是
y=a^+bx+c的图象如下,
（）
Aab<0
bc<0
Ca+b+c>0d
a-b+c<0
C
1、已知二次函数y
ax2bxc,如图所示，若a0,c0,那么它的图象大致是
①a>0;②c>0;?
③
4、二次函数y=ax2+bx+c（a^0）的图象如图所示，则下列结论:
b2-4ac>0,其中正确的个数是（）
A.0个B.1个C.2个D.3个
c
5、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1,则点M（b,a）在（）
A.第一象限
B.第二象限
2
ax+bx+c=0
&二次函数y
2ax
bxc的图象如图所示，贝U（
）
A、a0,b2
4ac
0
B、a0,
b2
4ac
0
C、a0,b2
4ac
0
D、a0,
b2
4ac
0
7、已知二次函数
2
y=ax
+bx+c
的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（
）
A、acv0
B、
a-b+c>0
C、
b=-4a
D、关于x的方程
的根是X1=-1,x2=5
2
8已知二次函数y=ax+bx+c（0）的图象如图所示，有下列结论:
1b-4ac>0；
2abc>0；
38a+c>0；
49a+3b+cv0
其中，正确结论的个数是（
A、1B、2
二次函数对应练习试题参考答案
，选择题、
1.A2.C
二、填空题、
三、解答题
卫3
2a
abc6
后1秒离地15米.
（2）由题意得,
5t220t=
5（t
2）220，可知顶点的横坐标t
2，又抛物线
爆竹在上升.
x1或-5⑵
开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内,
17.
（1）直线yx3与坐标轴的交点A（3,0）,B（0,—3）.则93c0解得b
c3c
所以此抛物线解析式为yx2
2x
3.
（2）抛物线的顶点D（1,—4）,与x轴的另一个交点C（—1,
22a
0）.设P（a,a22a3），则（*4
1
2a3）:
（?
44）5:
4.化简得a
22
a2a3>0时，a2a
5得a4,a2P（4,5）或P（—2,5）
当a2
2
2a3v0时，a
2a
2a2
0，此方程无解•综上所述，满足条件的点的
坐标为（
4,
5）或（一2,5）.
18.
（1）
452602407.5=60
10
（吨）
.
（2）y
（x
100）（45
260x7.5），化简得:
10
2
315x24000.（3）
3x2315x24000
4
32
4（x210）
9075.
红星经销店要获得最大月利润,
材料的售价应定为每吨
210元.
（4）我认为，小静说的不对.
理由：
方法一：
当月利润最大时,x为210元，而对于月销售额
x（4526^7.5）3（x
104
160）219200来说,
当x为160元时，月销售额
W最大.•••当x为210元时,
月销售额
W不是最大.•••小静说的不对.
17325元；而当x为200元时，月销售额
W不是最大.•••小静说的不对.
方法二：
当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为
为18000元.T17325V18000,•••当月利润最大时，月销售额
二次函数应用题训练参考答案
1、
（1）0（2）59;（3）13.
2、过A作AM丄BC于M,交DG于N,则AM=.202122=16cm.设DE=xcm,S矩形=ycm2,则由△ADGABC,
ANDG16xDG3
故，即，故DG=—（16-x）.
AMBC16242
333
•y=DG•DE=—（16-x）x=-—（x2-16x）=-—（x-8）2+96,
222
从而当x=8时,y有最大值96.即矩形DEFG的最大面积是96cm2.
3、设第t秒时,△PBQ的面积为ycm2.则；AP=tcm,•PB=（6-t）cm;
1122
又BQ=2t.•y=PB•BQ=?
（6-t）•2t=（6-t）t=-t2+6t=-（t-3）2+9,
当t=3时,y有最大值9.
故第3秒钟时△PBQ的面积最大，最大值是9cm2.
4、解：
（1）设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c.
由图知图象过以下点：
（0,3.5）,（1.5,3.05）.
A0
2a0,a0.2,
c3.5,得b0,
3.051.52a1.5bc,c3.5.
•抛物线的表达式为y=—0.衣+3.5.
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，贝仔求出手时，球的高度为
h+1.8+0.25=（h+2.05）m,
•h+2.05=—0.2X（—2.5）2+3.5,
•••h=0.2（m）.
5、解：
（1）依题意得
鸡场面积y=-
50
x.
3
•y=-1x2+50x=kx2-50x）
333
-l（x-25）2+竺
33
•••当x=25日寸,y最大=625,
3
即鸡场的长度为25m时，其面积最大为625m2.
3
50x
（2）如中间有几道隔墙，贝U隔墙长为m.
n
50x1o50
…y=•x=-x2+x
nnn
=-—（x—50x）=-（x-25）+,
nnn
当x=25日寸,y最大=625,
n
即鸡场的长度为25m时，鸡场面积为625m2
n
25m.
结论：
无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是
6、解：
（1）y=-2x2+180x-2800.
（2）y=-2x2+180x-2800
=-2（x2-90x）-2800
=-2（x-45）2+1250.
当x=45时，y最大=1250.
•每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.
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