华东师大版九年级数学下26章二次函数知识点总结及经典例题.docx

1、华东师大版九年级数学下26章二次函数知识点总结及经典例题二次函数知识点总结一、二次函数概念:1二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c（ a, b , c是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0，而b，c可以为零二次函数的定义域是全体实数-22. 二次函数y ax bx c的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量 x的二次式，x的最高次数是2.a ,b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： y ax2的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对

2、称轴性质a 0向上0, 0y轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值0 .a 0向下0, 0y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大； x 0时，y有最大值0 .22. y ax c的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值c .a 0向下0, cy轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大； x 0时，y有最大值c .23. y a x h的性质:左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a

3、 0向上h, 0X=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值0 .a 0向下h, 0X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值0 24. y ax h k的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值k a 0向下h, kX=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值k 三、二次函数图象的平移1. 2y a x h k，确定其顶点坐标 h, k ；平移步骤：将抛物

4、线解析式转化成顶点式y=ax2A y=ax2+k向右(h0)【或左(*0)平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)【或向下(k0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h0)平移|k|个单位 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到 h，k处，具体平移方法如下:2. 平移规律在原有函数的基础上概括成八个字“左加右减,h值正右移，负左移; 上加下减” k值正上移，负下移”七、二次函数解析式的表示方法21. 一般式：y ax bx c （ a , b, c 为常数，a 0）；2顶点式：y a（x h）2 k （ a , h , k 为常数，a 0）;3. 两根式（交点式）：y a（x xi）

5、（x血）（a 0, x , X2是抛物线与x轴两交点的横坐标） 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示. 二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a当a 0时，抛物线开口向上，当a 0时，抛物线开口向下，九、二次函数与一元二次方程:1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 二次方程ax bx c 0是二次函数y x轴的交点个数：兀图象与2 axx轴交点情况）： bx c当函数值y 0时的特殊情况.2b 4ac 0时，图象与

6、x轴交于两点AXi , 0 , B x2 , 0 (XiX2），其中的Xi , X2是一元二次方2 axbx0的两根.120时,0时, 当a 当ax轴只有一个交点;x轴没有交点.图象与图象与0时，图象落在x轴的上方，无论0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有 x为任何实数，都有2. 抛物线y ax bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为 (0 , c)；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数y x2 4x 7的顶点坐标是()A.(2, 11) B. (- 2, 7) C. (2, 11) D. (2, - 3)2. 把抛物线y 2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是( )2

7、2 2 2A. y 2(x 1) B. y 2(x 1) C. y 2x 1 D. y 2x 12 k3. 函数y kx k和y (k 0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的 ()x4.已知二次函数y ax2bxc(a 0)的图象如图所示当x 1和x 3时，函数值相等；4a b 0当y确的个数是()A.1个B.2个 C. 35.已知二次函数ax2 bx c(a由图象可知关于兀二次方程axA. 1 .6.已知二次函数A.第一象限C.第三象限7.方程2x x2A.0个8.已知抛物线过点,则下列结论：a,b同号；2时,x的值只能取0.其中正个个D. 4B.-2.3 C.-0.3 D.-3.32ax

8、bx c的图象如图所示，则点 (ac,bc)在(B.第二象限D.第四象限-的正根的个数为( )xB.1C.2A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A.y2x2 x 2B.y2x2 x 2C.yx2 x 2 或 y2 小x x 2D.y2 2x x 2 或 y x x 2二、填空题9二次函数y x2 bx 3的对称轴是x 2，则b 。10. 已知抛物线y=-2 (x+3) 25，如果y随x的增大而减小，那么 x的取值范围是 .11. 一个函数具有下列性质：图象过点(一 1, 2),当x v 0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解

9、析式是 (只写一个即可)。12抛物线y 2(x 2)2 6的顶点为C,已知直线y kx 3过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三 角形面积为 。2 213. 二次函数y 2x 4x 1的图象是由y 2x bx c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，贝y b= ,c= 。_14. 如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是 L n取3.14). -*三、解答题:515. 已知二次函数图象的对称轴是 x 3 0,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0, ).2(1) 第15题图求这个二次函数的解析式；当x为何值时，这

10、个函数的函数值为 0?(3)当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值 y随x的增大而增大？1 216. 某种爆竹点燃后，其上升高度 h (米)和时间t (秒)符合关系式h v0t gt2 ( 0t 2),其中重力2加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以 v0=20米/秒的初速度上升，一(1) 这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地 15米？(2) 在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由y x 3与坐标轴的两个交C,抛物线顶点为D.APC : S acD 5 : 4 的点 P17.如图，抛物线 y x2 bx c经过直线 点A B,此抛物线与x轴

11、的另一个交点为(1 )求此抛物线的解析式；(2 )点P为抛物线上的一个动点，求使 S的坐标。18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料 (这里的代销是指厂家先免费提供货源， 待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时，月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润，准备 采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：当每吨售价每下降 10元时，月销售量就会增加 7. 5吨.综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100元.设每吨材料售价为 x (元)，该经销店的月利润为y (元).-(1) 当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2) 求出y与x的函数

12、关系式(不要求写出 x的取值范围)；(3) 该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4 )小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大. ”你认为对吗？请说明理由.二次函数应用题训练1、心理学家发现，学生对概念的接受能力 y与提出概念所用的时间 x (分)之间满足函数关系：y = -0.1x2+2.6x + 43 (0 w x w 30).x在什么范围内时，学生的接受能力逐步减弱?(1 )当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当(2 )第10分钟时，学生的接受能力是多少?(3) 第几分钟时，学生的接受能力最强?2、如图，已知 ABC是一等腰三角形铁板余料 ,其中AB=AC=20cm

13、,BC=24cn若在厶ABC上截出一矩形零件 DEFG, 使EF在BC上，点D G分别在边 AB AC上问矩形DEFG的最大面积是多少？3、如图， ABC中，/ B=90 ,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动；点Q从点B开始，沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q同时出发，问经过几秒钟厶PBQ的面积最大？ 最大面积是多少？4、如图，一位运动员在距篮下 4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线， 当球运行的水平距离为 2.5米时,达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为 3.05米.-(1) 建立如图所示的直角坐标

14、系，求抛物线的表达式 ；(2) 该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为 x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少 m? 如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少 m?比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论?6、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量 m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140- 2x.(1) 写出商场卖这种商

15、品每天的销售利润 y与每件的销售价x间的函数关系式；(2) 如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？2、已知二次函数2 axbx c的图象如图所示，则点A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3、已知二次函数则下列结论正确的是y= a+ bx+ c的图象如下,( )A ab 0bc 0 da- b+ c0;c0; ?4、二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象如图所示，则下列结论:b2-4ac0,其中正确的个数是()A . 0个 B . 1个 C. 2个 D . 3个c5、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1,则点M (b, a )在()A

16、.第一象限B.第二象限2ax +bx+c=0&二次函数y2 axbx c的图象如图所示，贝U()A、a 0, b24ac0B、a 0 ,b24ac0C、a 0, b24ac0D、a 0 ,b24ac07、已知二次函数2y=ax+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是()A、 acv 0B、a-b+c 0C、b=-4aD、关于x的方程的根是 X1=-1 , x2=528已知二次函数 y=ax +bx+c (0)的图象如图所示， 有下列结论:1 b -4ac 0 ；2 abc 0；3 8a+c0；4 9a+3b+cv 0其中，正确结论的个数是(A、1 B、2二次函数对应练习试题参考答案，选

17、择题、1. A 2 . C二、填空题、三、解答题卫32aa b c 6后1秒离地15米.(2)由题意得,5t2 20t =5(t2)2 20，可知顶点的横坐标t2，又抛物线爆竹在上升.x 1或-5开口向下，所以在爆竹点燃后的 1.5秒至108秒这段时间内,17 . (1)直线y x 3与坐标轴的交点A (3, 0), B (0, 3).则9 3 c 0解得bc 3 c所以此抛物线解析式为 y x22x3 . (2)抛物线的顶点 D( 1, 4),与x轴的另一个交点 C( 1 ,2 2a0).设 P(a,a2 2a 3)，则(* 412a 3) :(? 4 4) 5:4.化简得 a2 2a 2a

18、 3 0 时，a 2a5 得 a 4, a 2 P (4, 5)或 P ( 2, 5)当a222a 3 v 0 时，a2a2a 20，此方程无解综上所述，满足条件的点的坐标为(4,5)或(一2, 5).18.(1)45 260 240 7.5=6010(吨).(2) y(x100)(45260 x 7.5)，化简得:102315x 24000 . (3)3x2 315x 2400043 24(x 210)9075 .红星经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨210 元.(4)我认为，小静说的不对.理由：方法一：当月利润最大时, x为210元，而对于月销售额x(45 26 7.5) 3(x

19、10 4160)2 19200来说,当x为160元时，月销售额W最大.当x为210元时,月销售额W不是最大.小静说的不对.17325元； 而当x为200元时，月销售额W不是最大.小静说的不对.方法二：当月利润最大时， x为210元，此时，月销售额为为18000元.T 17325V 18000, 当月利润最大时，月销售额二次函数应用题训练参考答案1、 (1) 0 x 13, 13vx 30; (2) 59; (3) 13.2、 过 A 作 AM 丄 BC 于 M,交 DG 于 N,则 AM= . 202 122 =16cm. 设 DE=xcm,S 矩形=ycm2,则由 ADG ABC,AN DG

20、 16 x DG 3故 ，即 ，故 DG=(16-x).AM BC 16 24 23 3 3 y=DG DE=(16-x)x=- (x2-16x)=-(x-8)2+96,2 2 2从而当x=8时,y有最大值96.即矩形DEFG的最大面积是96cm2.3、 设第 t 秒时, PBQ 的面积为 ycm2.则；AP=tcm, PB=(6-t)cm;11 2 2又 BQ=2t. y= PB BQ= ? (6-t) 2t=(6-t)t=-t2+6t=-(t-3)2+9,当t=3时,y有最大值9.故第3秒钟时 PBQ的面积最大，最大值是9cm2.4、 解：(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c.由图

21、知图象过以下点：(0, 3.5), (1.5, 3.05).A 02a 0, a 0.2,c 3.5, 得 b 0,3.05 1.52a 1.5b c, c 3.5.抛物线的表达式为y= 0.衣+3.5.(2)设球出手时，他跳离地面的高度为 h m，贝仔求出手时，球的高度为h+1.8+0.25=(h+2.05) m, h+2.05= 0.2X ( 2.5)2+3.5, h=0.2(m).5、解：(1)依题意得鸡场面积y=-50x.3y= - 1 x2+ 50 x= kx2- 50x)3 3 3-l(x- 25)2+竺3 3当x=25日寸,y最大=625 ,3即鸡场的长度为25 m时，其面积最大为625 m2.350 x(2)如中间有几道隔墙，贝U隔墙长为 m.n50 x 1 o 50y= x=- x2+ xn n n=-(x 50x) =- (x- 25) + ,n n n当x=25日寸,y最大=625 ,n即鸡场的长度为25 m时，鸡场面积为625 m2n25 m.结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是6、解：(1)y=- 2x2+180x- 2800.(2)y= - 2x2+180x- 2800=-2(x2- 90x)- 2800=-2(x-45)2+1250.当x=45时，y最大=1250.每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.