44个精彩的物理趣题.docx
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44个精彩的物理趣题
这么好的日志只在小众范围内流传太可惜了,几天之后我决定把它贴过来变成日志,另外这里也有转载过。
44个精彩的物理趣题(转自MATRIX67)
这个Blog几乎一直在讲数学趣题,却很少提到物理趣题。
其实,我个人觉得,物理也是相当好玩的(我是化学不好才选的文科)。
隐约记得初中搞物理竞赛时,曾见过大量让人大呼过瘾的好题。
前几天看到了一个绝好的网站,里面有相当多的物理题目,让我激动了好一阵子。
我搜集整理了里面的一些好题,加上了我自己的一些补充,在这里和大家分享。
不过,由于我的物理实在不怎么样,如果出现什么错误,请大家及时纠正。
那个网站上的“官方解答”并不见得靠谱,也不知是因为我没有悟到,还是因为它真的不靠谱。
不管怎样,我给出的基本上还是它的官方答案。
其实,阅读过程中你会发现,答案是次要的,真正有趣的其实是问题本身。
几乎从没写过物理题目的Blog,想要用一篇文章总结物理趣题,因此毫无疑问——这是一篇非常,非常,非常长的文章。
建议大家用自己喜欢的方式做个书签,一天看一点。
如果觉得还不过瘾,推荐订阅物理大牛EagleFantasy的Blog。
另外,此日志一出,想必又会收到无数邮件,询问我作图用的什么工具的。
在此就先回答了——请见FAQ。
开始吧。
有一块V字形木板,两侧与地面的夹角都是θ。
一根密度均匀的绳子放在木板上,绳子与木板之间的摩擦系数为1。
整个系统左右对称。
没挨着木板的那段绳子所占的比例最大是多少?
此时θ是多少度?
用一些非常初等的方法可以得到,答案是(√2-1)2≈0.172,此时θ=22.5°。
具体解答可以见http:
//star.tau.ac.il/QUIZ/05/sol_rope.pdf。
一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体物块,斜靠在一个墙角。
由于墙壁和地面都是完全光滑的,因此物块将会开始下滑。
什么时候,物块会脱离墙壁?
为了解决这个问题,首先需要把物块和地面的夹角记作θ,物块下滑过程中的各种物理量都可以用θ来表示。
然后,解决这个问题的关键就在于,当物块脱离墙壁时,物块向右的加速度就消失了,这个临界点就由等量关系dvx/dθ=0给出。
不过,由此产生的方程非常复杂,我们只能用数值的方式去解它。
有一个半圆柱体横放在水平桌面上,截面的半径为R。
我们在半圆柱体上放一块木板,试图让它在半圆上保持平衡。
假如这块木板非常薄,那么这块木板很容易放稳,即使有些小动静,木板也会自动恢复平衡。
但考虑另外一个极端,假如这是一块非常厚非常厚的木板(甚至是大楼一般的形状),它显然不能稳放在这个半圆上。
那么,这中间一定会有一个临界点。
这个临界点在哪里?
换句话说,这个半圆上最多能放稳一块多厚的木板?
把半圆的半径记作R,把木板的厚度记作t。
如果把木板平放在半圆上,其重心的高度就是R+t/2。
假如这块木板倾斜了一个微小的角度θ,那么图中M'T的长度等于弧MT的长度,即2πR·(θ/2π)=R·θ。
此时,木板的重心G'的高度变为了(t/2)cosθ+(R·θ)sinθ+R·cosθ。
为了让木板保持平衡,不会自动往下滑,我们需要让新的重心高度大于原来的重心高度,即(t/2)cosθ+(R·θ)sinθ+R·cosθ>R+t/2。
解出不等式,再令θ→0,即可得到t<2R。
也就是说,一旦木板的厚度超过半圆的直径,木板就无法放稳了。
假如你面向东边,站在冰面上,鞋底与冰面完全没有摩擦。
你能否做出一系列动作,使得自己最后能面向西边站立?
可以。
只需要重复“伸臂-挥臂-屈臂”的动作,你的身体便会向反方向转动一点。
期待实验党。
用过多年的插座(尤其是插过大功率电器的插座),右边的孔(火线)往往会有过热的迹象。
如果是劣质插座,加上经常插拔插头的话,右边的孔甚至会有烧黑了的痕迹。
明明是通过相同大小的电流,为什么右边的孔会被烧得更厉害呢?
目前,这个问题没有一个所谓的标准答案。
当然,这个现象本身是否存在也是存疑的。
大家不妨来说说自己家里插座的情况。
呼拉圈是怎么转起来的?
人应该做一个什么样的运动?
呼拉圈的转动频率是由什么决定的?
和人的体形、运动速度、运动方式有关系吗?
是否存在一个最优的频率?
⋯⋯
我有几件事情死活搞不明白,吹泡泡是怎么吹出来的,小舌颤音是怎么发出来的,骑车不动把手是怎么实现拐弯的⋯⋯当然,还有呼拉圈是怎么转起来的。
和呼拉圈有关的问题似乎永远也列举不完。
如果你真的把它当成一回事仔细分析,你会发现这不是一般的困难。
2004年,BiologicalCybernetics上发表了一篇长达15页的论文,论文题目是CoordinationModesintheMulti-SegmentalDynamicsofHula-Hooping。
这篇论文终于不负众望,成功地摘得了诺贝尔奖——当然,是搞笑版的。
投一枚硬币,如果是正面,我就去打球,如果是反面,我就去打游戏,如果立起来,我就去学习。
不知道大家第一次看到这个笑话时,有没有想过,如果一枚硬币真的有1/3的概率正面朝上,有1/3的概率反面朝上,有1/3的概率立起来,那么这个硬币的半径与厚度满足什么样的关系?
这枚硬币必须满足,把它立起来后,即使倾斜30度仍然不倒。
这样,硬币直立的“势力范围”才会达到120度。
因此,硬币的直径应该是厚度的√3倍。
考虑某颗星球,它由某种密度均匀的物质组成,其质量为M,体积为V。
如果这颗星球是一个球体,那么它的半径R=((3V)/(4π))1/3,星球表面上的重力加速度则为g=GM/R2=GM((4π)/(3V))2/3,其中G是万有引力常数。
考虑这颗星球所有可能的形状,怎样的形状才会让星球表面的某一点重力加速度达到最大?
最大值是多少?
下图就是让表面某处的重力加速度达到最大的星球形状。
这个图形是一个稍微有些变形的球体,整个图形是一个以z方向为轴的旋转体,顶端的m点即是重力加速度最大的点,它的重力加速度为g=(4/5)(15/4)1/3π2/3M/V2/3,只比球形星体的重力加速度大2.6%。
这是又一个经典的例子——圆形似乎并不是那么完美。
这个问题的解法非常漂亮。
首先,假设我们想要让星体表面上的某个点m的重力加速度最大,并且所受重力方向在z轴上,那么这个星体必然是沿z轴方向对称的。
否则,取出不对称的一层,把多的部分填进少的部分让它变成一个完全对称的圆盘,这将会让m点在竖直方向上的受力变大。
不断这样做直到这个图形沿z轴完全对称,显然就得到了一个更优的形状。
接下来的步骤就真的神了。
现在,在星体上取一个非常细的圆环,假设它的质量是dM。
那么,这个圆环所贡献的重力加速度大小就是G·dM·cosθ/r2。
如果把这个圆环从星体中挖掉,放到其它的位置上,那么新的圆环将会有新的r值和θ值。
当整个形状达到最优时,这个形状将位于“极值点”的位置,也就是说它的“微分”为0,任何微小的变动都不会改变m的加速度。
这就意味着,cosθ/r2是一个常数。
这个条件就确定出整个星体的形状。
Fermat光程最短原理指出,光从A点到B点,总是沿着最快的路径传播。
这一神奇的定律一下子就把直线传播定律、反射定律、折射定律统一在了一起。
不过,后来我们知道了,更一般的描述应该是,光总是沿着光程处于驻点的路径传播。
为什么会加上这一条?
有没有光程极大的例子呢?
这里有一个例子。
考虑椭圆内的两个焦点A、B,和椭圆上的一点M。
显然,不管M取在哪儿,AM+BM都是相同的。
现在,在椭圆内部画一条曲线,这条曲线与椭圆相切于M点。
然后,擦掉原来的椭圆,把这条曲线视作镜面。
显然,AMB仍然是一条反射光线,但从其它地方反射,光程都会小于AMB。
AMB是一个光程极大的路径。
物理量的单位总是由基本单位(质量、长度、时间等)的幂相乘得来的。
比如,能量的单位就是1J=kg·m2·s-2。
为什么没有什么物理量,它是由基本单位通过更复杂的形式导出的?
比如说,为何没有什么物理量,它的单位是sin(kg)·log(m)?
这是一个非常有趣,无疑也是非常深刻的问题。
它让我们开始认真思考一个看上去很不像问题的问题:
什么是物理量?
什么是物理单位?
我们需要去挖掘物理量和物理单位的最基本、最本质的性质。
网站上的标准答案是,只有这种形式的导出单位才能保证,在不同的单位制下,得到的导出单位是等价的。
具体地说,物理单位的作用就是用来描述,当各个基本单位的尺度变化以后,这个物理量会发生怎样的变化。
比如说,密度单位是质量除以长度的三次方,就表明如果质量扩大到原来的2倍(或者说单位量变成了原来的1/2),长度扩大到原来的4倍(或者说单位量变成了原来的1/4),那么这个物理量将会变成原来的2/43=1/32。
现在,假设某个物理量的单位是质量的正弦乘以长度的对数。
按照国际标准单位制,这个单位是sin(kg)·log(m)。
假如单位换成了sin(g)·log(cm),那么这个物理量将会变成原来的sin(1000)·log(100)≈3.80792。
再继续换算成sin(mg)·log(mm),物理量应该继续变成原来的sin(1000)·log(10)≈1.90396。
但是,如果从sin(kg)·log(m)直接变到sin(mg)·log(mm),物理量应该变成原来的sin(1000000)·log(1000)≈-2.41767,这就和前面的结果矛盾了。
利用一些微积分知识可以证明,如果一个合成物理单位不会出现这样的问题,它必然是基本单位的幂的乘积的形式。
不过,这个解释并不能让我十分满意。
大家怎么看呢?
有一个无穷大的正方形网格,每条小线段都是1Ω的电阻丝。
求相邻两点间的等效电阻阻值。
这个问题有一个很妙的解法。
假设一个大小为1A的电流从红点处流入,从各个无穷远处流出。
由对称性,有(1/4)A的电流将会流过红蓝两点之间的线段。
现在,再假设一个大小为1A的电流从各个无穷远处流入,从蓝色点流出。
由对称性,红蓝两点之间的线段仍然有(1/4)A的电流。
现在,把两种情况叠加在一起看,大小为1A的电流从红点进去从蓝点出来,那么,红蓝两点间的线段就有(1/2)A的电流。
因而,两点间的电压就是(1/2)A·1Ω=(1/2)V。
因而两点间的等效电阻就是(1/2)V/1A=(1/2)Ω。
说到无穷网格电阻的问题,我们有说不完的话题。
这个问题本身的扩展非常之多。
例如,我们可以把问题扩展到N维的情形:
N维无限电阻网格中,相邻两点的等效电阻是多少?
利用同样的方法可以得出,答案就是1/N。
回到二维情形,如果我们换一个扩展方向,改问对角两点间的电阻,上述分析方法就不行了。
而这个加强版问题的答案也更加玄妙:
两点间的阻值为(π/2)Ω。
大家可以在网上很多地方查到这个加强版问题的解法。
xkcd有一个经典漫画,形象地描绘出nerd们被数理趣题折磨的感受。
当然,这幅画本身也折磨了不少人,网上涌现出大量对这个问题的讨论。
还有一种经典的无穷电阻问题:
一个向右无穷延伸的梯子形网格,每条线段都是1Ω的电阻,求两点间的等效电阻。
问题的解法非常漂亮。
假设我们要求的答案是R,则R可以看作是三个1Ω的电阻串联,然后把一个阻值为R的电阻(也就是它本身)与中间那个1Ω电阻并联所得。
于是得到等量关系R=1+1/(1+1/R)+1,解得R=1+√3。
还有一些经典的求电阻问题。
其中一个问题是,一个正方体的12条棱上各有一个1Ω的电阻,求距离最远的两个顶点之间的等效电阻。
2007年10月份IBMPonderThis的题目则是,分别考虑五种正多面体,如果每条棱上各有一个1Ω的电阻,则相邻两顶点的等效电阻是多少?
巧妙地利用对称性,这几个问题都可以迅速被秒杀。
假设有一个圆锥形的冰山,冰山表面绝对光滑。
你打算把一个绳圈套在山尖上,然后沿着绳索爬上去。
考虑两个极端情况:
如果冰山特别尖,顶角特别小,这个计划自然不成问题;但若冰山特别“肥”,顶角特别大,向下拉绳子后,绳圈将会滑出山尖。
这中间一定有一个临界点,也就是绳圈掉不出来的最大顶角。
这个顶角是多大?
这是一个非常有趣的问题。
问题的本质就是,绳圈在怎样的圆锥面上才存在“被拉紧”的稳定状态。
容易想到,绳子被拉紧,意味着绳圈从A点出发,将沿最短路径绕过山尖一周,再回到A点。
如果把圆锥的侧面展开成扇形,绳圈其实就像下面这样(图中的A点和A'点在圆锥上是同一个点)。
显然,当这个扇形的顶角小于180度时,这样的绳圈才可能存在;而当这个扇形的顶角大于180度时,拉紧的绳圈就会滑到山尖外面去。
据此不难推出,所求的临界情况就是,圆锥的高与母线的夹角为30度。
n块相同的木板重叠,最多能够伸出桌面多远?
这是一个非常经典的问题。
传统的答案是,把第一块木板的重心放在第二块木板的右边缘,把这两块木板的重心放在第三块木板的右边缘,把这三块木板的重心放在第四块木板的右边缘⋯⋯利用杠杆原理可以推出,如果每块木板都是单位长,那么n块木板可以伸出桌面(1+1/2+1/3+…+1/n)/2个单位的长度。
由调和级数的性质,我们立即可以得知,只要木板数量足够多,木块伸出桌面的长度是没有上界的,想伸出去多长就能伸出去多长。
但同时,这个增长速度也非常缓慢⋯⋯20块木板只能伸出大约1.79887个单位的长度,1000块木板也只能伸出大约4.8938个单位的长度。
不过,采用一些其它的方案(比如拿几块木板在后方作为“配重”),我们可以让木板伸出的长度更远。
下面是一篇非常经典的论文,总结了目前对这个问题的研究结果:
http:
//arxiv.org/abs/0707.0093。
上楼时,人克服重力做功,需要耗费很多能量。
但是,在平地上行走时,人并没有做功。
那么,为什么我们走路时还要耗费能量呢?
1999年3月的ScientificAmerican上说到,其实在步行时,我们也是要克服重力做功的。
这是因为,在步行的过程中,人的重心会一上一下地摆动。
当两腿一前一后着地时,人的重心偏低;而单腿着地迈步时,人的重心会升高大约3cm。
我们走路的能量主要就消耗在了这里。
当然,事实上,即使人不走路,光是原地站着,也是要耗费能量的(大约为80W)。
假设人的步行速度是v,那么步行所用的能量可以用公式P=80W+K·v大致算出,其中K·v就是步行过程中耗费的能量,系数K大约为160N。
教中学物理最怕聪明孩子,一些古怪的问题常常会让老师也支支吾吾答不上来。
初中物理中,有几个最不好给学生解释的事情。
走路不做功,为什么还要耗费能量?
电流从电厂来又回到电厂去,为什么我们还要支付电费?
把装满水的水杯不盖纸片直接倒过来,为什么大气压没有把水支撑起来?
拳头打在墙上后将会受到墙给拳头的反作用力,但若拳头挥空了,这个力的反作用力是什么?
你都打算怎么解释?
橄榄油的沸点是300℃,锡的熔点是231.9℃。
为什么我们能在锡锅里炸东西?
答案:
橄榄油并没有沸腾,沸腾的其实是食物里的水。
而且,正是食物里的水才让橄榄油和锡锅都保持在100℃。
如果食物里的水被烧干了,食物就会被烧焦,锡锅当然也会被烧毁。
在晃动的火车车厢上,把一瓶水放在小桌子上。
如果想让这瓶水放得更稳,有一个极其简单的方法。
这个方法是什么?
答案:
喝掉一部分水,让整瓶水的重心下降。
注意,这里又有一个有趣的极值问题。
如果瓶子里装满水,整个系统的重心显然要比只装有一部分水时更高;但若把水全部喝掉,只剩一个空瓶子,整个系统的重心仍然会比有一部分水时高。
建立模型,求出使得整个系统重心最低的水位高度,是一个绝佳的物理课题。
有一个蛮有意思的结论:
当整个系统的重心达到最低时,水位一定和此时整个系统的重心高度相同。
其实这个很好理解:
当水位没有达到整个系统的重心高度时,每加一点水,都相当于在重心下方填充质量,让重心下降;但水位高度超过了整个系统的重心,则每加一点水,都相当于在重心上方新添质量,重心便会开始上升了。
12节1V的电池首尾相接,然后将一块电压表如图连接。
电压表的示数是多少?
有时候,方言的力量真是强大。
看到这个题目后,我脑子里闪过的第一个形容词就是重庆话“想得出来”,但始终没找到合适的普通话替代词。
总之,这题可以说是非常具有想象力了。
答案是0V。
假设每个电池的内电阻是R,这个回路的电流就等于12V除以12R,即(1V)/R。
于是,每个电池的内电压就是R·(1V)/R=1V,而这恰好是这个电池的电动势。
因此,每个电池的外电压都为0。
对于一组连续的电池来说,这个推理同样成立。
为什么跳蚤、蚱蜢、人和狮子,尺寸差异那么大,但能跳起的最高高度都是1米左右(最多相差一个不超过2的系数)?
看到这个问题之后,我在Google里搜了一下,竟然真是这样。
猫猫狗狗老鼠老虎,可以跳起的高度都在1米这个尺度左右——猫猫和狗狗都能跳1米左右,老鼠能跳40厘米,老虎能跳2米。
你以为袋鼠牛B吗?
其实袋鼠也只能跳2到3米高。
注意,这里的跳起高度并不是指“手能摸到的高度”,而是生物让自己重心升高的高度。
有人可能想到了原因。
一个动物身体小,力量也小,但正因为它身体小,跳起1米也不需要太大的力。
反之,大型动物力量倒是大,不过要跳起来确实也需要很大的力。
这就让动物们能够跳起的高度变得平衡。
不过,为什么这两个因素能够平衡,而不是一个压过另一个呢?
假设生物的形体和密度都相近,我们就可以漂亮地证明这一点:
把一次跳跃中足部可以提供的能量记作E,生物自身的重量则记作W,那么生物跳起的高度应该正比于E/W。
如果再把生物的尺寸(一维上的长度,比如身长)记作L,那么W是与L3成正比的。
而E则等于肌肉提供的力乘以这个力能够牵引的肢体运动距离,其中前者与肌肉的横截面积成正比,也就与L2成正比,后者和足部长度成正比,也就是和L成正比。
因此,E和L3成正比。
于是,E/W与L无关!
小时候大家应该都听说过,跳蚤巨牛无比,能跳起1米多高,是自身高度的100多倍。
原来,不管什么都能跳起1米多高,这个倍数关系这么惊人,只是因为跳蚤自己太矮罢了。
一个空心正方体的内部有六面墙。
能否让一个小球在每一面墙上都各反弹一次,最后又回到出发点(假设没有重力)?
可以。
这是由HugoSteinhaus首先发现的。
注意,每反弹一次,只会让速度中的其中一个分量变为相反数,因此六次反弹后,速度向量会和出发时相同。
为了让六次反弹后还能回到出发点,我们只需要再让各段路程的长度都相同就行了。
上图中的方案里,每段路程都是一个小立方体的对角线,因而最后就正好能回到原点。
一个物块从高度为h的光滑斜面顶端开始下滑,下滑到底端后沿光滑水平面以速度v匀速直线运动下去。
初始时,物块的重力势能为mgh;到了斜面底部后,重力势能为0,完全转化为了动能(1/2)mv2。
由此我们可以解出,v=√2gh。
现在,假设你坐在一个以v的速度向右做匀速直线运动的车里。
如果以你为参照物,你将会看到,斜面顶端的物块初始时机械能为mgh+(1/2)mv2,而到了斜面底端后,机械能突然变成0了!
这该怎么解释呢?
这是一个非常漂亮的问题,大家不妨多想一想。
简单地说,就是在新的参照系下,物体并不是沿着直线下滑,斜面也对物体做功了。
不过,这只能解释一部分“消失”的机械能。
具体答案在http:
//star.tau.ac.il/QUIZ/99/A07.99.html。
有网友来信说,从根本原因上看,只要把斜面本身也算进系统里,考察斜面的能量,就不会产生不守恒的问题了。
有一段横截面是等边三角形的木头,密度为0.5g/cm3。
它在水中漂浮时,哪头会朝上?
答案:
如图所示,漂浮时,它的其中一条中线一定和水面重合。
这是因为,通过计算可知,此时整个物体的重心G1和浸入水中的部分的重心G2(也就是浮力的作用点)正好在同一竖直线上,并且高度差达到最小值。
20世纪初,一本名为Power的杂志上曾经登载了这样一个永动机模型。
如图,把光滑绳圈套在滑轮上,绳圈右侧浸在水中。
于是,绳圈右侧将持续受到一个竖直向上的浮力,绳子便逆时针转动了起来。
这个永动机模型可行吗?
如果不可行,问题出在哪儿?
答案:
废话,当然不可行。
可是,这个模型错在哪儿呢?
注意,浮力其实是物体上下表面的液体压强差产生的。
因此,浮力只会出现在完全浸入液体,或者漂浮在液体表面的物体上。
在这个例子中,绳子并不会受到浮力。
如果你把绳子想像成是一片片圆盘拼成的,每个圆盘都只受到侧面来的液体压强,在绳子的方向上是不可能有力产生的。
围观更多的永动机,请移步http:
//en.wikipedia.org/wiki/History_of_perpetual_motion_machines。
秤上放着一个玻璃瓶子,瓶盖是密封的。
一只苍蝇飞在瓶子中,没有挨着瓶子。
秤的示数等于瓶子的重量,还是大于瓶子的重量?
如果苍蝇靠栓在身上的一个小氢气球浮在瓶子中呢?
这是一个经典问题了。
对于前一个问题,秤的示数应该大于瓶子的重量,多的这点重量正好就是苍蝇自身的重量。
这是因为,苍蝇要想飞起来,必须要给空气一个等于自身重量的向下的力(从而获得一个等于自身重量的向上的力)。
空气将会把这个力传到瓶底,也就是对瓶底施加一个相同的力。
对于第二个问题,答案是,秤的示数就等于瓶子的重量。
如果苍蝇受空气浮力悬浮在空中,我们就可以把苍蝇连同气球所占据的位置等价地用空气来替换,毕竟瓶子里悬浮着一只气球苍蝇和悬浮着一坨空气没什么两样嘛。
这样看来,秤的示数就是瓶子的重量了。
这个问题扯开来,也有一大堆可以说的。
初中物理有一道经典题目:
把一杯水放在秤上,然后手指伸进水里(手指未碰到杯底,水未溢出),问秤的示数怎么变。
答案是