平行线培优资料21.docx
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平行线培优资料21
培优
（1）——与相交有关概念及平行线的判定
考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：
相交与平行.
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.
经典·考题·赏析
【例1】如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成哪几对对顶角？
一共
构成哪几对邻补角？
【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：
有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.
⑶邻补角：
两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.
有6对对顶角.
12对邻补角.
【变式题组】
01．如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，则：
⑴∠ARC的对顶角是.
邻补角是.
⑵中有几对对顶角，几对邻补角？
02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；
当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；
当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.
问：
当有100条直线相交于一点时共有对顶角.
【例２】如图所示，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分∠BOC、∠AOC．
⑴求∠EOF的度数；
⑵写出∠BOE的余角及补角.
【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC∴∠EOC＝
∠BOC，∠FOC＝
∠AOC∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝
∠BOC＋
∠AOC＝
又∵∠BOC＋∠AOC＝180°∴∠EOF＝
×180°＝90°⑵∠BOE的余角是：
∠COF、∠AOF；∠BOE的补角是：
∠AOE.
【变式题组】
01．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是（）
A．20°B．40°C．50°D．80°
02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝.
【例３】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图：
⑴经过点A画直线l2的垂线.
⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.
【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.
【变式题组】
01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离为（）
A．4cmB．5cmC．不大于4cmD．不小于6cm
02如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N为位于公路两侧的村庄；
⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.
⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在的路上距离M村越来越近..在
的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.
【例４】如图，直线AB、CD相交于点O，OF⊥CD，OE⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数.
【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：
∠AOF＝90°，OF⊥AB．
【解】∵OE⊥CD，OF⊥AB∴∠FOB＝∠EOD＝90°（垂直定义）∴∠BOE＝∠FOD＝90°－∠DOB＝65°∴∠DOB＝25°∴∠AOC＝∠DOB＝25°（对顶角相等）
【变式题组】
01．如图，若EO⊥AB于O，直线CD过点O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠AOE的度数.
02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠AOD．
⑴求∠AOC的度数；
⑵试说明OD与AB的位置关系.
03．如图，已知AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2，请作出∠CBE的对顶角，并求其度数.
【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：
∠1和∠2：
是AB、EF被直线CD所截而得到的，一组同位角
∠1和∠3：
是AB、CD被直线CD所截而得到的，一对内错角
∠1和∠6：
是AB、CD被直线CD所截而得到的，一对同旁内角
∠2和∠6：
是EF、CD被直线AB所截而得到的，一对同位角
∠2和∠4：
是EF、AB被直线CD所截而得到的，一对同旁内角
∠3和∠5：
是EF、CD被直线AB所截而得到的，一对内错角
∠3和∠4：
是AB、CD被直线EF所截而得到的，一对同旁内角
【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：
首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.
【变式题组】
01．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁内角共有（）
A．4对B．8对C．12对D．16对
02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.
03．如图，按各组角的位置判断错误的是（）
A．∠1和∠2是同旁内角
B．∠3和∠4是内错角
C．∠5和∠6是同旁内角
D．∠5和∠7是同旁内角
【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？
并说明理由•
⑴∠CBD＝∠ADB；
⑵∠BCD＋∠ADC＝180°
⑶∠ACD＝∠BAC
【解法指导】图中有即即有同旁内
角，有“
”即有内错角.
【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得AD∥BC；根据内错角相等，两直线平行.
⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°，可推得AD∥BC；根据同旁内角互补，两直线平行.
⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据内错角相等，两直线平行.
【变式题组】
01．如图，推理填空.
⑴∵∠A＝∠（已知）
∴AC∥ED（）
⑵∵∠C＝∠（已知）
∴AC∥ED（）
C
⑶∵∠A＝∠（已知）
∴AB∥DF（）
02．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明DE与AB的位置关系.
解：
∵AD是∠BAC的平分线（已知）
∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义）
又∵EF平分∠DEC（已知）
∴（）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴（）
∴AB∥DE（）
03．如图，已知AE平分∠CAB，CE平分∠ACD．∠CAE＋∠ACE＝90°，求证：
AB∥CD．
04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：
CD∥EF.
【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：
在所有的交角中，至少有一个角小于31°.
【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.
证明：
假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°
则12×31°＝372°＞360°
这与一周角等于360°矛盾
所以这12个角中至少有一个角小于31°
【变式题组】
01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：
在所有的交角中至少有一个角小于11°.
02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是.
03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：
S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝.
演练巩固·反馈提高
01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）
A．α的余角只有∠BB．α的邻补角是∠DAC
C．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补
02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）
A．∠AMFB．∠BMFC．∠ENCD．∠END
03．下列语句中正确的是（）
A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线
B．过直线上一点的直线只有一条
C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D．垂线段就是点到直线的距离
04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）
①AB⊥AC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD＞BD
A．0B．2C．4D．6
05．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是（）
A．4cmB．5cmC．小于4cmD．不大于4cm
06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC＝.
07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝.
08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1a10.（a1与a10不重合）
09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：
①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是.
10．在同一平面内两条直线的位置关系有.
11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？
12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？
13．如图，推理填空：
⑴∵∠A＝（已知）
∴AC∥ED（）
⑵∵∠2＝（已知）
∴AC∥ED（）
⑶∵∠A＋＝180°（已知）
∴AB∥FD．
14．如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC．
培优升级·奥赛检测
01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（）
A．1，3B．0，1，3C．0，2，3D．0，1，2，3
02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（）部分.
A．60B．55C．50D．45
03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（）个交点.
A．35B．40C．45D．55
04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点.
05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a、b是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.
a
b
06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（）
A．3B．1或3C．1或2或3D．不一定是1，2，3
07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？
08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？
A
B
C
09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC，那么两条对角线的夹角等于（）
A．60°B．75°C．90°D．135°
10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？
⑴任意两条直线都有交点；
⑵总共有29个交点.
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