平行线培优资料21.docx
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平行线培优资料21
培优
(1)——与相交有关概念及平行线的判定
考点·方法·破译
1.了解在平面内,两条直线的两种位置关系:
相交与平行.
2.掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义,并能用图形或几何符号表示它们.
3.掌握直线平行的条件,并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.
经典·考题·赏析
【例1】如图,三条直线AB、CD、EF相交于点O,一共构成哪几对对顶角?
一共
构成哪几对邻补角?
【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角:
有一个公共顶点,并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.
⑶邻补角:
两个角有一条公共边,另一边互为反向延长线.
有6对对顶角.
12对邻补角.
【变式题组】
01.如右图所示,直线AB、CD、EF相交于P、Q、R,则:
⑴∠ARC的对顶角是.
邻补角是.
⑵中有几对对顶角,几对邻补角?
02.当两条直线相交于一点时,共有2对对顶角;
当三条直线相交于一点时,共有6对对顶角;
当四条直线相交于一点时,共有12对对顶角.
问:
当有100条直线相交于一点时共有对顶角.
【例2】如图所示,点O是直线AB上一点,OE、OF分别平分∠BOC、∠AOC.
⑴求∠EOF的度数;
⑵写出∠BOE的余角及补角.
【解法指导】解这类求角大小的问题,要根据所涉及的角的定义,以及各角的数量关系,把它们转化为代数式从而求解;
【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC∴∠EOC=
∠BOC,∠FOC=
∠AOC∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=
∠BOC+
∠AOC=
又∵∠BOC+∠AOC=180°∴∠EOF=
×180°=90°⑵∠BOE的余角是:
∠COF、∠AOF;∠BOE的补角是:
∠AOE.
【变式题组】
01.如图,已知直线AB、CD相交于点O,OA平分∠EOC,且∠EOC=100°,则∠BOD的度数是()
A.20°B.40°C.50°D.80°
02.(杭州)已知∠1=∠2=∠3=62°,则∠4=.
【例3】如图,直线l1、l2相交于点O,A、B分别是l1、l2上的点,试用三角尺完成下列作图:
⑴经过点A画直线l2的垂线.
⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.
【解法指导】垂线是一条直线,垂线段是一条线段.
【变式题组】
01.P为直线l外一点,A、B、C是直线l上三点,且PA=4cm,PB=5cm,PC=6cm,则点P到直线l的距离为()
A.4cmB.5cmC.不大于4cmD.不小于6cm
02如图,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M、N为位于公路两侧的村庄;
⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时,距离村庄N最近,请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.
⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中,在的路上距离M村越来越近..在
的路上距离村庄N越来越近,而距离村庄M越来越远.
【例4】如图,直线AB、CD相交于点O,OF⊥CD,OE⊥AB,∠DOF=65°,求∠BOE和∠AOC的度数.
【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据,也可以作为该图形具备的性质,由图可得:
∠AOF=90°,OF⊥AB.
【解】∵OE⊥CD,OF⊥AB∴∠FOB=∠EOD=90°(垂直定义)∴∠BOE=∠FOD=90°-∠DOB=65°∴∠DOB=25°∴∠AOC=∠DOB=25°(对顶角相等)
【变式题组】
01.如图,若EO⊥AB于O,直线CD过点O,∠EOD︰∠EOB=1︰3,求∠AOC、∠AOE的度数.
02.如图,O为直线AB上一点,∠BOC=3∠AOC,OC平分∠AOD.
⑴求∠AOC的度数;
⑵试说明OD与AB的位置关系.
03.如图,已知AB⊥BC于B,DB⊥EB于B,并且∠CBE︰∠ABD=1︰2,请作出∠CBE的对顶角,并求其度数.
【例5】如图,指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的,并说出它们的名称:
∠1和∠2:
是AB、EF被直线CD所截而得到的,一组同位角
∠1和∠3:
是AB、CD被直线CD所截而得到的,一对内错角
∠1和∠6:
是AB、CD被直线CD所截而得到的,一对同旁内角
∠2和∠6:
是EF、CD被直线AB所截而得到的,一对同位角
∠2和∠4:
是EF、AB被直线CD所截而得到的,一对同旁内角
∠3和∠5:
是EF、CD被直线AB所截而得到的,一对内错角
∠3和∠4:
是AB、CD被直线EF所截而得到的,一对同旁内角
【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是:
首先弄清所判断的是哪两个角,其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线,其余两条边所在的直线就是被截的两条直线,最后确定它们的名称.
【变式题组】
01.如图,平行直线AB、CD与相交直线EF,GH相交,图中的同旁内角共有()
A.4对B.8对C.12对D.16对
02.如图,找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.
03.如图,按各组角的位置判断错误的是()
A.∠1和∠2是同旁内角
B.∠3和∠4是内错角
C.∠5和∠6是同旁内角
D.∠5和∠7是同旁内角
【例6】如图,根据下列条件,可推得哪两条直线平行?
并说明理由•
⑴∠CBD=∠ADB;
⑵∠BCD+∠ADC=180°
⑶∠ACD=∠BAC
【解法指导】图中有即即有同旁内
角,有“
”即有内错角.
【解法指导】⑴由∠CBD=∠ADB,可推得AD∥BC;根据内错角相等,两直线平行.
⑵由∠BCD+∠ADC=180°,可推得AD∥BC;根据同旁内角互补,两直线平行.
⑶由∠ACD=∠BAC可推得AB∥DC;根据内错角相等,两直线平行.
【变式题组】
01.如图,推理填空.
⑴∵∠A=∠(已知)
∴AC∥ED()
⑵∵∠C=∠(已知)
∴AC∥ED()
C
⑶∵∠A=∠(已知)
∴AB∥DF()
02.如图,AD平分∠BAC,EF平分∠DEC,且∠1=∠2,试说明DE与AB的位置关系.
解:
∵AD是∠BAC的平分线(已知)
∴∠BAC=2∠1(角平分线定义)
又∵EF平分∠DEC(已知)
∴()
又∵∠1=∠2(已知)
∴()
∴AB∥DE()
03.如图,已知AE平分∠CAB,CE平分∠ACD.∠CAE+∠ACE=90°,求证:
AB∥CD.
04.如图,已知∠ABC=∠ACB,BE平分∠ABC,CD平分∠ACB,∠EBF=∠EFB,求证:
CD∥EF.
【例7】如图⑴,平面内有六条两两不平行的直线,试证:
在所有的交角中,至少有一个角小于31°.
【解法指导】如图⑵,我们可以将所有的直线移动后,使它们相交于同一点,此时的图形为图⑵.
证明:
假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°
则12×31°=372°>360°
这与一周角等于360°矛盾
所以这12个角中至少有一个角小于31°
【变式题组】
01.平面内有18条两两不平行的直线,试证:
在所有的交角中至少有一个角小于11°.
02.在同一平面内有2010条直线a1,a2,…,a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是.
03.已知n(n>2)个点P1,P2,P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上,设Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数,显然:
S2=1,S3=3,S4=6,∴S5=10…则Sn=.
演练巩固·反馈提高
01.如图,∠EAC=∠ADB=90°.下列说法正确的是()
A.α的余角只有∠BB.α的邻补角是∠DAC
C.∠ACF是α的余角D.α与∠ACF互补
02.如图,已知直线AB、CD被直线EF所截,则∠EMB的同位角为()
A.∠AMFB.∠BMFC.∠ENCD.∠END
03.下列语句中正确的是()
A.在同一平面内,一条直线只有一条垂线
B.过直线上一点的直线只有一条
C.过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D.垂线段就是点到直线的距离
04.如图,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,则下列结论中,正确的个数有()
①AB⊥AC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD>BD
A.0B.2C.4D.6
05.点A、B、C是直线l上的三点,点P是直线l外一点,且PA=4cm,PB=5cm,PC=6cm,则点P到直线l的距离是()
A.4cmB.5cmC.小于4cmD.不大于4cm
06.将一副直角三角板按图所示的方法旋转(直角顶点重合),则∠AOB+∠DOC=.
07.如图,矩形ABCD沿EF对折,且∠DEF=72°,则∠AEG=.
08.在同一平面内,若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1a10.(a1与a10不重合)
09.如图所示,直线a、b被直线c所截,现给出下列四个条件:
①∠1=∠5,②∠1=∠7,③∠2+∠3=180°,④∠4=∠7,其中能判断a∥b的条件的序号是.
10.在同一平面内两条直线的位置关系有.
11.如图,已知BE平分∠ABD,DE平分∠CDB,且∠E=∠ABE+∠EDC.试说明AB∥CD?
12.如图,已知BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,∠1=∠2,那么直线AB与CD的位置关系如何?
13.如图,推理填空:
⑴∵∠A=(已知)
∴AC∥ED()
⑵∵∠2=(已知)
∴AC∥ED()
⑶∵∠A+=180°(已知)
∴AB∥FD.
14.如图,请你填上一个适当的条件使AD∥BC.
培优升级·奥赛检测
01.平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是()
A.1,3B.0,1,3C.0,2,3D.0,1,2,3
02.平面上有10条直线,其中4条是互相平行的,那么这10条直线最多能把平面分成()部分.
A.60B.55C.50D.45
03.平面上有六个点,每两点都连成一条直线,问除了原来的6个点之外,这些直线最多还有()个交点.
A.35B.40C.45D.55
04.如图,图上有6个点,作两两连线时,圆内最多有__________________交点.
05.如图是某施工队一张破损的图纸,已知a、b是一个角的两边,现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线,请你帮助这个施工队画出这条平行线,并证明你的正确性.
a
b
06.平面上三条直线相互间的交点的个数是()
A.3B.1或3C.1或2或3D.不一定是1,2,3
07.请你在平面上画出6条直线(没有三条共点)使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交,并简单说明画法?
08.平面上有10条直线,无任何三条交于一点,要使它们出现31个交点,怎么安排才能办到?
A
B
C
09.如图,在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC,那么两条对角线的夹角等于()
A.60°B.75°C.90°D.135°
10.在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件?
⑴任意两条直线都有交点;
⑵总共有29个交点.