高中数学《充分条件与必要条件》导学案.docx

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高中数学《充分条件与必要条件》导学案

1．2.1　充分条件与必要条件

充分条件与必要条件

命题真假

“若p，则q”是真命题

“若p，则q”是假命题

推出关系

p

⇒q

p

q

条件关系

p是q的

充分条件

q是p的

必要条件

p

不是q的充分条件

q

不是p的必要条件

1．p⇒q的含义

（1）“若p，则q”形式的命题为真命题；

（2）由条件p可以得到结论q；

（3）p是q的充分条件或q的充分条件是p；

（4）只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的；

（5）q是p的必要条件或p的必要条件是q；

（6）为得到结论q，具备条件p就可以推出．

显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已．

2．对充分条件的理解

所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．

3．对必要条件的理解

所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．

1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若p是q的必要条件，则q是p的充分条件．（　　）

（2）若p是q的充分条件，则綈p是綈q的充分条件．（　　）

（3）“x＝1”是“x2＝x”的必要条件．（　　）

答案　

（1）√　

（2）×　（3）×

2．做一做（请把正确的答案写在横线上）

（1）若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________条件．

（2）“a>0，b>0”是“ab>0”的________条件．

（3）“若p，则q”的逆命题为真，则p是q的________条件．

答案　

（1）充分　

（2）充分　（3）必要

探究1　　充分条件与必要条件的判断

例1　在下列各题中，分别判断p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由．

（1）p：

x2＝2x＋1，q：

x＝

；

（2）p：

a

<1；

（3）p：

ab≠0，q：

直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交．

[解]　

（1）∵x2＝2x＋1

x＝

，x＝

⇒x2＝2x＋1，

∴p是q的必要条件，且p不是q的充分条件．

（2）由于a

>1；当b>0时，

<1，故若a

<1；当a>0，b>0，

<1时，可以推出a

<1时，可以推出a>b.所以p不是q的充分条件，且p不是q的必要条件．

（3）由ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0，即ab≠0，所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件．

拓展提升

充分条件、必要条件的判定方法

（1）定义法：

直接判断p⇒q和q⇒p是否成立，然后得结论．

（2）等价法：

利用命题的等价形式：

p⇒q⇔綈q⇒綈p，q⇒p⇔綈p⇒綈q，p⇔q与綈p⇔綈q

的等价关系．对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

（3）集合法：

对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围

小范围．

（4）传递法：

由推式的传递性：

p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则p1⇒pn.

【跟踪训练1】　在下列各题中，分别判断p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由．

（1）p：

|a|≥2，a∈R，q：

方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根；

（2）p：

a＋b＝0，q：

a2＋b2＝0；

（3）p：

四边形是矩形；q：

四边形的对角线相等．

解　

（1）当|a|≥2时，如a＝3，则方程x2＋3x＋6＝0无实根，而方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根，则必有a≤－2或a≥6，可推出|a|≥2，故p不是q的充分条件，且p是q的必要条件．

（2）a＋b＝0

a2＋b2＝0；a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，故p不是q的充分条件，且p是q的必要条件．

（3）四边形的对角线相等

四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，故p是q的充分条件，且p不是q的必要条件．

探究2　　利用充分条件与必要条件求参数

的取值范围

例2　已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：

x∈A，命题q：

x∈B，并且綈p是綈q的必要条件，求实数m的取值范围．

[解]　由已知可得

A＝

＝

，B＝{x|x≥－2m}，则∁RA＝

，∁RB＝（－∞，－2m），因为綈p是綈q的必要条件，

所以∁RB⊆∁RA，

所以－2m≤－

，解得m≥

，

所以m的取值范围是

.

[解法探究]　此题有没有其他解法？

解　由已知可得

A＝

＝

，

B＝{x|x≥－2m}．

因为綈p是綈q的必要条件，

所以p是q的充分条件，所以A⊆B，

所以－2m≤－

，所以m≥

，

即m的取值范围是

.

[条件探究]　如果把例2中“必要”改为“充分”，其他条件不变，如何解答？

解　由已知得A＝

，B＝{x|x≥－2m}．

因为綈p是綈q的充分条件，

所以p是q的必要条件，所以B⊆A，

所以－2m≥－

，解得m≤

，

即m的取值范围是

.

拓展提升

利用充分、必要条件求参数的思路

根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式（组）进行求解．

【跟踪训练2】　已知M＝{x|（x－a）2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围．

解　由（x－a）2<1，得a－1

由x2－5x－24<0，得－3

∵M是N的充分条件，

∴M⊆N.

于是

从而可得－2≤a≤7.

故a的取值范围为[－2,7]．

探究3　　充分条件与必要条件的实际应用

例3　在下面电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件？

[解]　如题图

（1），闭合开关A或闭合开关C，都可使灯泡B亮．反之，若要灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此，闭合开关A是灯泡B亮的充分不必要条件；

如题图

（2），闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮．反之，若要灯泡B亮，开关A必须闭合，说明闭合开关A是灯泡B亮的必要不充分条件；

如题图（3），闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮．反之，灯泡B亮也不必闭合开关A，只要闭合开关C即可，说明闭合开关A是灯泡B亮的既不充分也不必要条件．

拓展提升

充分、必要条件实际应用的解题策略

将问题转化为数学模型，分清条件与结论为解题关键．

（1）p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．

（2）q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立．

【跟踪训练3】　《三国演义》中曹操败走华容道是这样描写的：

曹操投南郡，除华容道外，还有一条便于通行的大路，前者路险，但近50余里；后者路平，却远50余里，曹操令人上山观察敌情虚实，回报说：

“小路山边有数处起烟，大路并无动静．”曹操说：

“诸葛亮多谋，故使人于山僻烧烟，使我军不敢从这条山路上走，他却伏兵于大路等着，吾已料定，偏不中他计．”结果致使曹操败走华容道，请用数学知识解释这种现象．

解　“诸葛亮多谋”是“虚则实之，实则虚之”的充分条件，“虚则实之，实则虚之”是“小路山边有数处起烟，而大路并无动静（有伏兵却没动静）”的充分条件，因为诸葛亮多谋是事实，所以曹操认为诸葛亮必然运用兵法“虚则实之，实则虚之”，曹操不以调查事实为依据，而诸葛亮抓住了曹操的这一心理，所以致使曹操败走华容道．

1.充分与必要条件的判断方法

判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”的真假.

若p⇒q，q

p，则p是q的充分不必要条件；

若p

q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；

若p⇒q，q⇒p，则p是q的充分条件，也是q的必要条件（也称充要条件）；

若p

q，q

p，则p是q的既不充分也不必要条件.

2.等价转化法的应用

一般地，根据命题间的等价关系，若“p⇒q且p

q”等价于“綈p⇐綈q且綈p

綈q”，即“p是q的充分不必要条件”等价于“綈p是綈q的必要而不充分条件”.

3.集合观点的应用

若p，q对应的数集分别为P，Q，当P⊆Q时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，这可以总结为“小范围推出大范围”，简记为：

“小充分，大必要”.

1．钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：

“好货”是“不便宜”的（　　）

A．充分条件B．必要条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”，所以“好货”是“不便宜”的充分条件．

2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B，所以a＝3⇒A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B

a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．

3．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是（　　）

A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件

B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件

C．“ac

D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件

答案　B

解析　若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．

4．若綈A是B的充分不必要条件，则A是綈B的________条件．

答案　必要不充分

解析　由题知綈A⇒B，则綈B⇒A，反之不成立．

5．下列说法是否正确？

请说明理由．

（1）x＝1是（x－1）（x－2）＝0的充分条件；

（2）“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的充分条件；

（3）α＝

是sinα＝

的必要条件；

（4）x＋y>2是x>1，y>1的必要条件．

解　

（1）正确，因为x＝1⇒（x－1）（x－2）＝0.

（2）正确，因为△ABC≌△A′B′C′⇒△ABC∽△A′B′C′.

（3）错误，因为sinα＝

α＝

.

（4）正确，因为x>1，y>1⇒x＋y>2.

A级：

基础巩固练

一、选择题

1．“0≤m≤1”是“函数f（x）＝sinx＋m－1有零点”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　函数f（x）＝sinx＋m－1有零点⇔方程sinx＝1－m有根⇔－1≤1－m≤1⇔0≤m≤2，所以“0≤m≤1”是“函数f（x）＝sinx＋m－1有零点”的充分不必要条件．

2．已知两条不重合的直线a，b与平面α，下列四个条件：

①a⊄α，b⊂α；②a⊂α，b∥α；③a⊥α，b⊥α；④a，b为异面直线．其中是“a，b无公共点”的充分条件的是（　　）

A．①②B．②③C．③④D．②③④

答案　D

解析　①中有可能a∩α＝A，A∈b，故①错误．

②中b∥α，且a⊂α，则a，b无公共点，满足条件．

③中a⊥α，b⊥α，则a∥b，满足条件．

④中由异面直线的定义可知④正确．

∴②③④正确，故选D.

3．设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使

＝

成立的充分条件是（　　）

A．a＝－bB．a∥b

C．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|

答案　C

解析　

，

分别