圆中典型计算题.docx
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圆中典型计算题
圆中典型计算题
例1. 如图所示，OC为圆O的半径，M是OC的中点，弦AB⊥OC于M，如果OC=4，求AB的长。
分析：
由于这是弦与半径互相垂直的计算问题，可联想到垂径定理的运用。
连半径可以出现直角三角形，运用勾股定理即可求得弦AB的长。
解法1：
（利用垂径定理和勾股定理）
连接OA，∵OC⊥AB于M，M为OC的中点，且OC=4
∴
在Rt△AOM中
由勾股定理，得
∴
解法2：
（利用垂径定理和锐角三角函数）
连接OA，∵OC⊥AB于M，M为OC的中点，且OC=4
在Rt△AOM中，∵
∴∠A=30°
∴AM=OA·cos30°=
∴
说明：
在圆中解决弦的问题时，常用到垂径定理、勾股定理或锐角三角函数等知识，经常添加的辅助线是连接半径或过圆心作已知弦的垂线，构造以半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，然后运用垂径定理、勾股定理或锐角三角函数来求解。
例2. 如图所示，在圆O中，弦AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30°，求圆O的直径。
分析：
此题要求直径，但图中没有直径，因此可先作出直径，构造直角三角形，并利用圆周角定理的推论，将特殊角转移到直角三角形中，然后运用勾股定理或锐角三角函数等求出直径的长。
解法1：
如图所示，作直径AD，连接BD
∴∠ABD=90°
∵∠ACB=30°
而∠D与∠ACB所对的是同一条弧
∴∠D=∠ACB=30°
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=30°，AB=1.8cm
∴AD=2AB=3.6cm
即圆O的直径为3.6cm
或由
，得
解法2：
如图所示，连接OA、OB
∵∠AOB和∠ACB分别是弧AB所对的圆心角和圆周角
∴∠AOB=2∠ACB=60°
又OA=OB
∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=1.8cm
∴圆O的直径为3.6cm
说明：
要求直径可先求半径，或作出直径，构造直角三角形，运用勾股定理等求出直径的长。
例3. 如图所示，△ABC内接于圆O，AE为圆O的直径，AD为△ABC的高，求证：
∠BAE=∠CAD。
分析：
这两个角既可以看做是同一个圆的两个圆周角，又可以看做是两个三角形的对应角，因此，可以添加不同的辅助线，利用圆中角的关系及三角形中角的关系来证明它们相等。
证法1：
连接BE，如图
（1）所示
∵AE是圆O的直径，∴∠ABE=∠ADC=90°
∵∠E=∠C，∴∠BAE=∠CAD
图
（1）
证法2：
连接EC，如图
（2）所示
∵AE是圆O的直径，∴∠ACE=∠ADB=90°
∵∠E=∠B，∴∠BAD=∠EAC
∴∠BAD－∠EAD=∠EAC－∠EAD
即∠BAE=∠CAD
图
（2）
证法3：
如图（3）所示，过点O作ON⊥AB，交AB于M，交圆O于N
∴
∴
∵
，∴∠ADC=∠AMO=90°
∴∠BAE=∠CAD
图（3）
说明：
（1）如果已知条件中有关于圆直径的条件，可连接圆上有关的点，以构成直径所对的圆周角，这是圆的证明与计算题中常见的一条辅助线。
（2）证法3中由ON⊥AB，得到
，从而得到
，即∠AOM=∠C，这是一种常用的证明角相等的方法，在证明与计算中要能灵活运用。
例4. 已知：
如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，圆O与腰AB相切于点D。
求证：
AC是圆O的切线。
分析：
由于AC与圆O有没有交点，已知条件中并没有指出，因此要证明AC是圆O的切线，就需要过点O作AC的垂线OE（垂足是E），再证明OE是圆O的半径即可。
证法1：
如图所示，连接OD，AO，过点O作OE⊥AC，垂足是E
∵AB与圆O相切于点D
∴OD⊥AB
又AB=AC，OB=OC
∴∠BAO=∠CAO
∴OD=OE
∵OD为圆O的半径
∴OE为圆O的半径
又OE⊥AC，∴AC是圆O的切线
证法2：
连接OD，过点O作OE⊥AC，垂足是E，证明△BDO≌△CEO，得到OD=OE
说明：
判定直线为圆的切线时，主要辅助线的添加方法：
①如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直（如例5）；②如果已知直线与圆是否有公共点在条件中没有给出，那么作垂直，证半径（如此例）。
例5. 如图所示，△ABC中，∠C=90°，以DB为直径作半圆切AC于E点，O是圆心，若AB=10，BC=6，求AD的长。
分析：
如图所示，连接OE，在两个直角三角形中，由
，可以求得AD的长。
解：
连接OE，∵AC与圆O相切于点E
∴OE⊥AC，又∠C=90°
∴在Rt△AOE与Rt△ABC中，有
设OE=x，则
∴
∴
∴
说明：
（1）此题也可以用三角形相似求得比例式。
（2）此题设OE=x，则
，列方程求解，化未知为已知从而建立了OE与AO的联系，这种方程思想是解决几何问题常用的一种思想方法。
例6. 已知，两圆外切时，圆心距为10cm，两圆内切时，圆心距为4cm。
求两圆半径的长。
分析：
根据两圆位置关系中，两圆的半径与圆心距之间的关系，可列出方程组求出这两个圆的半径的长。
解：
设这两个圆的半径分别为Rcm和rcm（R>r）
根据题意，得
解得
即大圆的半径为7cm，小圆的半径为3cm。
例7. 如图所示，圆O1与圆O2相交于点A、B，过A点的直线分别交两圆于点C、D，点M是CD的中点，直线BM分别交两圆于点E、F。
求证：
（1）CE//DF；
（2）ME=MF
分析：
遇到两圆相交时，可连公共弦AB，由∠B为桥梁，把∠C与∠D联系起来，从而解决问题。
证明：
（1）如图所示，连接AB，在圆O1中，∠C=∠B
在圆O2中，∠B=∠D，∴∠C=∠D
∴CE//DF
（2）∵∠C=∠D，CM=DM，∠CME=∠DMF
∴
∴ME=MF
例8. 如图所示，AB是圆O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作AC的延长线的垂线DP，垂足为P，若PD=12，PC=8。
（1）求证：
PD是圆O的切线；
（2）求圆O的半径R的长。
分析：
由AB是圆O的直径，点D是弧BC的中点，AP⊥PD，故连接BC、OD后，由垂径定理可以得到四边形PDEC为矩形（如图所示），则PD为圆O的切线可得证，再由勾股定理便可以求出圆O的半径R的长。
（1）证明：
连接BC、OD，相交于点E
∵点D是弧BC的中点，则OD⊥BC，且BE=CE
∵AB是圆O的直径，且AP⊥PD
∴∠ACB=∠APD=90°
∴PD//BC，∴OD⊥PD
又OD为圆O的半径，∴PD是圆O的切线
（2）解：
由
（1）得∠BCP=∠APD=∠PDO=90°
∴四边形PDEC为矩形
∴CE=PD=12，∴BE=CE=12
在Rt△BEO中，OE=OD－DE=OD－PC=R－8
由勾股定理，得
，∴
解得R=13
∴圆O的半径R=13
例9. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
，将△ABC绕点B旋转至△A’BC’的位置，且使A、B、C’三点在同一直线上，求点A移动到点A’所经过的路径的长度。
分析：
将△ABC绕点B旋转至△A’BC’的位置，顶点A移动到点A’所经过的路径是以点B为圆心，AB长为半径，圆心角是150°的一段圆弧，如图所示，用弧长公式计算即可得出结论。
解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=
∴∠ABC=30°，AB=4cm
又△A’BC’是将△ABC绕点B旋转得到的
∴△ABC≌△A’BC’
∴∠A’BC’=∠ABC=30°
∴∠ABA’=180°－∠A’BC’=180°－30°=150°
∴
即点A移动到点A’所经过的路径长是
。
例10. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点O在斜边AB上，半径为2cm的圆O过点B，切AC边于点D，交BC边于点E。
求由线段CD、CE及弧DE围成的阴影部分的面积。
分析：
这是求一个不规则图形的面积，应设法转化为规则图形的面积的和或差来计算，我们可以采用割补法，如图所示，连接OD，OE，利用梯形ODCE的面积与扇形ODE的面积的差，可以求得阴影部分的面积。
解：
连接OD，OE
∵AD切圆O于点D，∴OD⊥AC
∵∠C=90°，∴四边形ODCE是直角梯形
过点E作EF⊥OD于F
在Rt△ABC中
∵∠A=30°，∴∠B=60°
则∠OEB=∠B=60°
∴∠EOD=60°，∠OEF=30°
在Rt△OEF中，∠OEF=30°，OE=2cm
∴OF=1cm，
∴
∴
即阴影部分的面积是
说明：
求与圆有关的阴影部分的面积问题，常用的方法有：
“公式法”、“和差法”、“割补法”、“等积代换法”、“几何变换法”等。
主要思路是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积。
例11. 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，分别以B、C为圆心，2为半径画弧，求阴影部分的面积。
分析：
仔细观察图形，会发现这是两个扇形（扇形BAE与扇形CAD）重叠的一个组合图形，因此我们可以用如下方法来求解。
解法1：
如图所示，过点A作AF⊥BC，垂足为F，则阴影部分面积=扇形BAE的面积+扇形CAD的面积－△ABC的面积。
即
解法2：
如图所示，过点A作AF⊥BC，垂足为F，以点F为旋转中心，分别将阴影ADF部分逆时针旋转90°，将阴影AEF部分顺时针旋转90°，则阴影部分面积=扇形ABC的面积－△ABC的面积。
过程略。
解法3：
我们还可以采用代数方法，利用图形中面积的和差所隐含的等量关系来构造方程。
如图所示，设阴影部分面积为X，每一处空白部分面积为Y，因此有
解这个方程组，得
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