优胜教育小学数学讲义组合图形的体积答案.docx

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优胜教育小学数学讲义组合图形的体积答案

组合图形的体积答案

知识梳理　

教学重、难点

作业完成情况

典题探究

例1．棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的体积是　10　立方厘米，表面积是　36　平方厘米．

考点：

组合图形的体积；简单的立方体切拼问题．

分析：

可根据立方体的体积公式计算出一个立方体的体积再乘立方体的个数即是这个几何体的体积，几何体最下层有6个小立方体，中层有3个、最上层有1个，所以几何体中共有（6+3+1）个小立方体；几何体的表面积就是所有露出的面积的面积，可先计算出一个小立方体一个面的面积再乘露出的面积的个数即可，从几何体的下面观察有6个面，上面露出了6个面，左后面有6个面，右后面有6个面，前面露出了12个面，这个几何体共露出了（6+6+6+6+12）个小正方形的面，列式解答即可得到答案．

解答：

解：

几何体中小立方体的个数为（1+3+6）个，

几何体的体积为：

1×1×1×（1+3+6）

=1×10，

=10（立方厘米）；

几何体中共露出了（6+6+6+12）个小正方形的面，

几何体的表面积为：

1×1×（6+6+6+6+12）

=1×36，

=36（平方厘米）；

故答案为：

10，36．

点评：

解答此题的关键是先计算出一个小立方体的体积与一个小立方体一面的面积，然后再分别乘立方体的个数和几何体中的小立方体露出的面数即可．

例2．计算体积．（单位：

厘米）

考点：

组合图形的体积．

专题：

压轴题；立体图形的认识与计算．

分析：

由题意得：

组合图形的体积=圆柱的体积+圆锥的体积，根据计算公式代数计算．

解答：

解：

3.14×（4÷2）2×7+

×（4÷2）2×3，

=3.14×4×7+3.14×4，

=87.92+12.56，

=100.48（立方厘米）；

答：

这个图形的体积是100.48立方厘米．

点评：

此题主要考查组合图形的体积，要将所求图形分解成所学图形即可．

例3．有一个深4分米的长方体容器，其内侧底面为边长3分米的正方形．当容器底面的一边紧贴桌面倾斜如图时，容器内的水刚好不溢出．容器内的水有　22.5　升．

考点：

组合图形的体积．

分析：

先根据长方体的体积公式求出容器的容积；无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱，再根据棱柱的体积公式求出无水的部分的体积；相减即可求得容器内的水的体积．

解答：

解：

容器的容积：

4×3×3=36（立方分米）；

无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱，底面积是3×3÷2=4.5（平方分米），高是3分米．

所以体积是4.5×3=13.5（立方分米）；

所以容器内有水：

36﹣13.5=22.5立方分米=22.5升．

答：

容器内的水有22.5升．

故答案为：

22.5．

点评：

考查了组合图形的体积，本题容器内的水的体积=容器的容积﹣无水的部分体积，难点是把无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱．

例4．有一个棱长是10厘米的正方体木块，在它的上、左、前三个面中心分别穿一个3厘米见方的孔，直至对面．求穿孔后木块的体积．

考点：

组合图形的体积．

分析：

孔的体积中三个孔交汇处可以看成是一个棱长为3的正方体，只算一次就可以了，用一个孔的体积乘3后再减去2个交汇处的体积就是孔的总体积，穿孔后木块的体积是这个正方体的体积减去孔的体积．

解答：

解：

3×3×10=90（立方厘米），

穿三个孔时，体积应是：

90×3﹣3×3×3×2=216（立方厘米）；

所以穿孔后木块的体积是：

10×10×10﹣216=784（立方厘米）

答：

穿孔后木块的体积是784立方厘米．

点评：

本题的关键是对三孔交汇处的求解，这一部分只能算一次．

演练方阵

A档（巩固专练）

一．选择题（共5小题）

1．如图，三个半径分别为l米、l．5米和2米的同轴圆柱，每个圆柱高0.5米，这三个圆柱组成一个立体图形，这个立体图形的表面积是（　　）平方米．

A．

42.39

B．

39.25

C．

36.11

D．

25.12

考点：

组合图形的体积．

分析：

这个物体的表面积是大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，根据公式计算即可．

解答：

解：

大圆柱的表面积：

3.14×22×2+2×3.14×2×0.5，

=25.12+6.28，

=31.4（平方米），

中圆柱侧面积：

2×3.14×1.5×0.5=4.71（平方米），

小圆柱侧面积：

2×3.14×1×0.5=3.14（平方米），

这个物体的表面积：

31.4+4.71+3.14=39.25（平方米）；

答：

这个物体的表面积是39.25平方米．

故选：

B．

点评：

此题主要考查圆柱的侧面积、表面积公式及其计算．

2．图形甲和图形乙所占空间的大小关系，是甲（　　）乙．

A．

＞

B．

＜

C．

﹦

考点：

组合图形的体积．

专题：

立体图形的认识与计算．

分析：

设每个小正方体的体积为“1”，表示出甲、乙的体积，然后比较即可，由此解答．

解答：

解：

设每个小正方体的体积为“1”，则甲的体积是7，乙的体积也是7，

所以，图形甲和图形乙所占空间的大小关系是：

甲=乙．

故选：

C．

点评：

要理解物体所占空间的大小指的是物体的体积，设出每个小正方体的体积，表示出各个图形的体积，解决问题．

3．把一个底面直径为a，高为a的圆柱恰好放入正方体盒子里，此时盒子剩余空间（　　）

A．

（1﹣

）a3

B．

（1﹣

）a3

C．

（1﹣

）a3

D．

（1﹣

）a3

考点：

组合图形的体积．

专题：

立体图形的认识与计算．

分析：

由题意可知，正方体盒子的棱长就是a，根据圆柱的体积公式：

v=sh，正方体的体积公式：

v=a3，把数据代入公式求出它们的体积差即可．

解答：

解：

a3﹣π

=

×a

=

=

．

答：

此时盒子剩余空间是（1

）a3．

故选：

B．

点评：

此题主要考查圆柱的体积公式、正方体的体积公式的灵活运用．

4．两个棱长1分米的正方体并成一个长方体，并成的长方体的表面积（　　）原两个正方体的表面积之和．

A．

大于

B．

小于

C．

等于

考点：

组合图形的体积；长方体和正方体的表面积．

分析：

根据长方体、正方体的特征和长方体表面积的计算方法，两个棱长1分米的正方体并成一个长方体，由两个面重合在一起，因此长方体的表面积比原两个正方体的表面积之和少了两个正方形面的面积．

解答：

解：

两个棱长1分米的正方体并成一个长方体，并成的长方体的表面积小于原两个正方体的表面积之和．

故选：

B．

点评：

此题主要考查长方体、正方体的特征和长方体的表面积计算方法．

5．用两根完全相同的圆柱形木料分别制作成右图中的两个模型（图中涂色部分），甲与乙的体积相比（　　）

A．

甲大

B．

乙大

C．

相等

考点：

组合图形的体积．

专题：

立体图形的认识与计算．

分析：

根据圆锥的体积公式可得，底面积相同时，两个高为

a的圆锥的体积之和，等于一个高为a的圆锥的体积；已知原来两个圆柱的体积相等，而空白处的图形的体积也相等，所以涂色部分的体积也相等，据此即可选择．

解答：

解：

底面积相同时，两个高为

a的圆锥的体积之和，等于一个高为a的圆锥的体积；已知原来两个圆柱的体积相等，而空白处的图形的体积也相等，所以涂色部分的体积也相等，

故选：

C．

点评：

此题主要考查圆锥的体积公式的灵活应用．

二．填空题（共13小题）

6．如图中，每个小长方体的体积都是1立方厘米，那么图形的体积是　13立方厘米　，表面积是　48平方厘米　．

考点：

组合图形的体积；规则立体图形的表面积．

专题：

立体图形的认识与计算．

分析：

（1）观察图形可知，这个立体图形一共有2层，下层10个小正方体，上层3个小正方体，一共有13个小正方体，则这个图形的体积就是13个小正方体的体积之和；

（2）从上、下面看有10×2个面，从左右面看有5×2个面，从前后面看有9×2个面，据此即可求出这个立体图形的表面积．

解答：

解：

体积是：

1×13=13（立方厘米），

体积是1立方厘米的正方体的棱长是1厘米，

所有表面积是：

（10×2+5×2+9×2）×1×1，

=48（平方厘米），

答：

这个立体图形的体积是13立方厘米，表面积是48平方厘米．

故答案为：

13立方厘米；48平方厘米．

点评：

立体图形的体积等于组成的所有小正方体的体积之和，表面积就是六个面上的小正方体的面的面积之和，据此即可解决此类问题．

7．如图，是一个直立于水平面上的几何体（它是圆柱的一部分，下底面为圆面，单位：

cm）．则这个几何体的体积为　62.8　cm3．（计算结果保留π）

考点：

组合图形的体积．

专题：

立体图形的认识与计算．

分析：

由图形可知：

上部分是一个半圆柱，下部分是一个高为4厘米，底面直径是4厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式：

v=sh，把数据代入公式解答即可．

解答：

解：

3.14×（

）2×（6﹣4）×

3.14×（

）2×4，

=3.14×4×2×

3.14×4×4，

=12.56+50.24，

=62.8（立方厘米）；

答：

它的体积是62.8立方厘米．

故答案为：

62.8．

点评：

解答求组合图形的体积，首先分析图形是由几部分组成，然后根据相应的体积公式解答即可．

8．有一个草堆，上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，圆锥高1.5m，底面半径2m，圆柱高3m，底面半径2m，这个草堆的体积是　43.96　m3．

考点：

组合图形的体积．

专题：

立体图形的认识与计算．

分析：

由题意知，上面是一个圆锥体，下面是一个圆柱体，根据圆锥的体积=

×底面积×高，圆柱的体积=底面积×高，代入公式进行计算即可．

解答：

解：

圆锥体积：

×3.14×22×1.5，

=

×3.14×4×1.5，

=6.28（立方米）；

圆柱的体积：

3.14×22×3，

=3.14×4×3，

=37.68（立方米）；

6.28+37.68=43.96（立方米）；

答：

这个草堆的体积是43.96立方米；

故答案为：

43.96．

点评：

此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的理解与应用．

9．（2011•富源县）如图有　5　个棱长为20cm的正方体木箱堆放在墙角的形状，这些木箱的体积是　40000　cm3．

考点：

组合图形的体积．

专题：

立体图形的认识与计算．

分析：

由图形可知，这些木箱一共有5个，根据正方体的体积公式：

v=a3，求一个木箱的体积再乘5即可．

解答：

解：

20×20×20×5

=8000×5，

=40000（立方厘米），

答：

这些木箱的体积是40000立方厘米．

故答案为：

5个，40000．

点评：

此题主要考查正方体的体积计算方法及组合图形的体积计算．

10．（2012•北京）一支未用过的圆柱形铅笔，长18厘米，体积是9立方厘米．使用一段时间后，变成了如图的样子．这时体积是多少立方厘米？

考点：

组合图形的体积．

分析：

先利用圆柱体的体积V=Sh求出这根铅笔的底面积，再分别利用圆柱和圆锥的体积公式，即可求出如图剩余部分的体积．

解答：

解：

铅笔的底面积：

9÷18=0.5（平方厘米）；

0.5×6+0.5×3×

，

=3+0.5，

=3.5（立方厘米）；

答：

这时体积是3.5立方厘米．

点评：

先利用圆柱的体积公式求出这根铅笔的底面积，是解答本题的关键．

11．（2013•万州区）以直角梯形的上底为轴旋转一周，所得的立体图形的体积是　108　立方厘米．（π值取整数3）

考点：

组合图形的体积．

专题：

立体图形的认识与计算．

分析：

以直角梯形的上底为轴旋转一周，所得的立体图形整体是圆柱，上面是空心圆锥，圆锥的高是（11﹣5）厘米，根据圆柱的体积公式：

v=sh，圆锥的体积公式：

v=

，把数据代入公式求出它们的体积差即可．

解答：

解：

3×

=

=132﹣24

=108（立方厘米），

答：

所得的立体图形的体积是108立方厘米．

故答案为：

108．

点评：

此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用．

12．如图，计算出它的体积为　AD　单位：

厘米．

A．л（2÷2）2×3×（1+

）B．л×22×3×（1+

）

C．л（2÷2）2×

×（3+3）D．л×（2÷2）2×3×

×4．

考点：

组合图形的体积．

分析：

根据图可知，此图是由一个圆柱和圆锥组成的，且圆柱和圆锥是等底等高的，所以圆锥的体积等于圆柱体积的

，把圆柱的体积求出来再加上圆柱体积的

即可．

解答：

解：

由图可知，圆柱和圆锥是等底等高的，所以圆锥的体积等于圆柱体积的

，

圆柱的底面直径为2厘米，高为3厘米，圆柱的体积：

л（2÷2）2×3，

（1）当把圆柱的体积看成单位“1”时，再加上圆锥的体积，也就是圆柱体积的

，

可以列式为：

л（2÷2）2×3×（1+

）；

（2）当把圆锥的体积看成单位“1”时，圆柱的体积就是3个单位“1”，再加上圆锥的体积总共是4个单位“1”，所以也可以列式为：

л×（2÷2）2×3×

×4；

故选：

A、D．

点评：

此题的关键是注意圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的

，然后把圆柱的体积或者把圆锥的体积看成单位“1”来解决问题．

13．以棱长10厘米的正方体的一个面，挖去一直径为4厘米的圆孔（挖去的圆孔为圆柱体），则挖去后这个物体的体积是　874.4　立方厘米．

考点：

组合图形的体积．

专题：

立体图形的认识与计算．

分析：

由题意得出等量关系式：

挖去后这个物体的体积=正方体体积﹣圆柱体积，即：

剩下的体积=a3﹣πr2h，代数计算即可．

解答：

解：

103﹣3.14×（4÷2）2×10，

=1000﹣125.6，

=874.4（立方厘米）．

答：

挖去后这个物体的体积是874.4立方厘米．

故答案为：

874.4．

点评：

解决本题的关键是明确挖去后这个物体的体积=正方体体积﹣圆柱体积，代数计算即可．

14．如图1，是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面．单位：

cm）．将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积为　7.5π　cm3．（计算结果保留π）

考点：

组合图形的体积．

专题：

综合题；综合填空题．

分析：

观察图形可知，拼组后的新几何体的体积就是图1中三个立体图形的体积之和，每个小立体图形的体积都是底面直径为2厘米，高为2厘米的圆柱的体积和底面直径为2厘米，高为3﹣2=1厘米的圆柱的一半的体积之和，由此利用圆柱的体积公式计算出1个小立体图形的体积，再乘以3就是新几何体的体积．

解答：

解：

[π×

×2+π×

×（3﹣2）÷2]×3，

=[π×1×2+π×1×1÷2]×3，

=[2π+0.5π]×3，

=2.5π×3，

=7.5π（立方厘米），

答：

新几何体的体积是7.5π立方厘米．

故答案为：

7.5π．

点评：

此题考查了圆柱的体积公式的灵活应用以及组合图形的体积的计算方法．

15．（2009•崇文区）一个长20厘米、宽10厘米、高20厘米的无盖长方体玻璃容器，里面盛有一些红色溶液．小明想知道溶液的深，他将一根底面边长5厘米，长1米的长方形木条垂直插入到容器底部，取出后量得木条被染红的部分长16厘米．原来容器内红色溶液深　14　厘米．

考点：

组合图形的体积；长方体和正方体的体积．

分析：

根据题干，将一根底面边长5厘米，长1米的长方形木条垂直插入到容器底部后，此时原玻璃容器内的液面上升了，那么上升的高度就是：

底面边长为5厘米，高为16厘米的长方体木条排开液体的体积，除以原来玻璃容器的底面积所得到的高度；由此即可求得原来液面的高度．

解答：

解：

放入木条后水面上升了：

5×5×16÷（20×10），

=400÷200，

=2（厘米），

所以原来液面的高度为：

16﹣2=14（厘米），

答：

原来容器内红色溶液深14厘米．

故答案为：

14．

点评：

根据题干，得出木条排开液体的体积使液面上升的高度，是解决本题的关键．

16．（2010•大安区）一根长方体木料，横截面是边长10厘米的正方形．从这根木料上截下6厘米长的一段，切削成一个最大的圆锥．圆锥的体积是　157　cm2，约占截下这段长方体木料体

积的　26.2　%（百分号前面保留一位小数）．

考点：

组合图形的体积；长方体和正方体的体积．

专题：

压轴题．

分析：

（1）如图要求这个圆锥的体积，需要知道这个圆锥的底面半径和高，这里高显然就是这个长方体的高6厘米，圆锥的底面应是这个边长为10厘米的正方形底面内最大的圆，正方形内最大圆的直径等于这个正方形的边长，由此可得这个底面半径是10÷2=5厘米，由此即可利用圆锥的体积公式进行解答；

（2）利用长方体的体积公式求得这段木料的体积，利用圆锥的体积÷这个长方体木料的体积即可解决问题．

解答：

解：

（1）根据分析可得：

10÷2=5（厘米），

×3.14×52×6，

=6.28×25，

=157（立方厘米），

（2）157÷（10×10×6），

=157÷600，

≈0.262，

=26.2%，

答：

圆锥的体积是157平方厘米，约占截下这段长方体木料体积的26.2%．

故答案为：

157；26.2．

点评：

此题考查了圆锥和长方体的面积公式的灵活应用，这里根据正方形内最大圆的特点得出这个圆锥的底面半径是解决本题的关键．

17．（2012•武汉模拟）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　3π　（结果保留π）

考点：

组合图形的体积．

专题：

立体图形的认识与计算．

分析：

通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．

解答：

解：

由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图

所求几何体的体积为

×12×6=3π．

答：

该几何体的体积为3π．

故答案为：

3π．

点评：

本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力．

18．　祖冲之　最早将圆周率精确地计算到小数点后面7位，请借助圆周率计算立体图形（如图）的侧面积为　31.4　平方厘米．

考点：

组合图形的体积．

分析：

先求出底面直径是2厘米，高是4厘米的圆柱的侧面积；再求出底面直径是2厘米，高是（6﹣4）厘米的圆柱的侧面积的一半；把两次求出的侧面积合起来即为组合图形的侧面积．

解答：

解：

底面直径是2厘米，高是4厘米的圆柱的侧面积：

3.14×2×4=25.12（平方厘米），

底面直径是2厘米，高是（6﹣4）厘米的圆柱的侧面积的一半：

3.14×2×（6﹣4）×

=6.28（平方厘米），

组合图形的侧面积：

25.12+6.28=31.4（平方厘米）．

答：

立体图形的侧面积为31.4平方厘米．

故答案为：

祖冲之，31.4．

点评：

解决此题关键是先求出高是4厘米的圆柱的侧面积和高是2厘米的圆柱的侧面积的

，两个侧面积之和即为组合图形的侧面积．

B档（提升精练）

一．解答题（共9小题）

1．（2012•临川区）有一个粮仓，它们上面是圆锥体，下面是圆柱体，已知圆柱的底面周长是18.84米，高为4米，圆锥的高是1米，则这个粮仓的体积是多少立方米？

考点：

组合图形的体积．

分析：

粮仓的容积=圆柱部分的容积+圆锥部分的容积，先根据底面周长是18.84米求出这个粮仓的底面半径，再利用圆柱和圆锥的容积公式即可解答．

解答：

解：

18.84÷3.14÷2=3（米），

3.14×32×4+3.14×32×1×

，

=28.26×4+9.42，

=113.04+9.42，

=122.46（立方米），

答：

这个粮仓的体积是122.46立方米．

点评：

此题考查圆柱与圆锥的体积公式的应用．

2．（2012•汉阳区）如图是丰裕粮仓示意图．

如果每立方米稻谷重600千克，这个粮仓可储存稻谷多少千克？

考点：

组合图形的体积．

专题：

立体图形的认识与计算．

分析：

（1）先求这个粮囤的体积，根据圆锥与圆柱的体积公式，计算即可；

（2）要求这个粮囤最多能装稻谷多少吨，用求得的粮囤的体积，乘单位体积的稻谷的重量即可．

解答：

解：

（1）3.14×（4÷2）2×3+

×3.14×（4÷2）2×（4.5﹣3），

=37.68+6.28，

=43.96（立方米）；

（2）43.96×600=26376（千克）；

答：

这个粮仓可储存稻谷26376千克．

点评：

此题主要考查学生对圆锥与圆柱的体积公式的掌握与运用．

3．（2012•龙泉驿区）请计算零件的表面积和体积（正方体棱长lOcm，圆柱的半径r=4cm，高h=6cm）．

考点：

组合图形的体积．

专题：

压轴题；立体图形的认识与计算．

分析：

观察图形可知，这个图形的表面积等于下面的正方体的表面积与上面的圆柱体的侧面积之和，体积等于正方体与圆柱体的体积之和，据此利用计算公式即可解答问题．

解答：

解：

表面积是：

10×10×6+3.14×4×2×6，

=600+150.72，

=750.72（平方厘米），

体积是：

10×10×10+3.14×42×6，

=1000+301.44，

=1301.44（立方厘米），

答：

这个图形的表面积是750.72平方厘米，体积是1301.44立方厘米．

点评：

此题考查正方体、圆柱体的表面积、体积公式的计算应用，熟记公式即可解答．

4．（2012•上海）如图，（单位：

dm）是一块零件的铜铸毛坯，每立方分米铜重8.9千克，这块零件铸铁毛坯的重量是多少吨？

考点：

组合图形的体积．

分析：

可以把这块毛坯分割成两个长方体进行计算，左边的长方体的长是8分米，宽是5分米，高是6分米；右边的长方体的长是8分米，宽是10﹣5=5分米，高是6﹣4=2分米；根据长方体的体积公式v=abh，求出两个长方体的体积和，再乘每立方分米铜的重量（9.8千克），把千克换算成用吨作单位；由此列式解答．

解答：

解：

[8×5×6+8×（10﹣5）×（6﹣4）]×8.9，

=[240+8×5×2]×8.9，

=[240+80]×8.9，

=320×8.9，

=2848（千克）；

2848千克=2.848吨．

答：

这块零件铸铁毛坯的重量是2.848吨．

点评：

此题是组合图形体积计算的实际应用，首先分析图形是由几部分组成，根据体积公式计算出它的体积，再根据每