任意形状导体系统电容量计算方法的理论探讨精.docx

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任意形状导体系统电容量计算方法的理论探讨精

任意形状导体系统电容量计算方法的理论探讨

张　,张晓茹,孙建刚,管　立

（250061　山东省　济南市　

山东大学　物理与微电子学院

摘　要　基于国内外电磁学教课书对电容器电容量的计算大多仅涉及几种特殊结构电容器,笔者从梁灿彬等人的《电磁学》的相关内容出发,用静电唯一性定理由简入深、由特殊到普通对任意形状导体电容器之电容量的计算方法进行了严格的证明.该工作有助于深化对电容、电容器电容量等概念的正确理解.

关键词　电磁学;静电;唯一性;定理

中图分类号　O44

文献标识码:

A

文章编号:

1000-5323（200204-0375-03

THESTUDYOFTHECALCULA-TIONMETHODOFCAPACITANCEWITHARBITRARYSHAPE

ZHANGTao,ZHANGXiao-ru,SUNJian-gang,etal

（SchoolofPhysicsandMicroElectronofShandong

Univ.,JinanCity,ShandongProvince250061,China

ABSTRACT　Thetestificationaboutthearithmeticmethodsofthecapacitanceofcapacitorhasbeenaccom-plishedstrictlybyusingthestatic-uniquenesstheorem.Anditisveryhelpfulforunderstandingtheconceptionofcapacitorexactly.

KEYWORDS　Electromagnetism;Staticelectrici-ty;Uniqueness;Theorem0　引言

许多国内外电磁学教科书[1~3]在关于电容的章节中,大都只介绍了三种特殊结构的电容器,即:

平板电容器、圆柱形电容器和球形电容器.计算其电容量时,通常设两极板带等量异号的电荷（记电量为±Q,在此带电状态下,计算两极板的电势差ΔU,则电容器的电容量C由下式算出

C=

Q

ΔU（1不论导体、介质的材质及系统的几何结构如何,两个互绝缘的导体即构成电容器.在梁灿彬等人的《电磁学》中有如下叙述[4]　:

“一般地说,可以认为两个任意形状的导体构成一个电容器,这个电容器的电容可以按下式C=Q/ΔU定义.式中■U代表两个导体之间的电位差,在两导体所带电量q1≠q2时,式中的Q应理解为用一细导线将两导体接通并达到平衡时两导体所交换的电量（绝对值……”.这段说明给出了电容器的电容量的一般计算方法,该法当然适用于对前述特殊构造的电容器电容量的计算,因为当带等量异号电荷（±Q的电容器两极板用一细导线相连,并达到静电平衡时,所交换的电荷量正是Q.电容器的材质、几何结构之固有性质确定后,其电容量也就确定了.而上述的Q与ΔU的比值也为常量,该量决定于电容器的固有性质,故该常量就是其电容量.就此笔者采用静电唯一性定理进行严格证明.

1　理论探讨

1.1静电唯一性定理

设真空区域τ内无电荷,其包面除无限远面外都是导体表面,则τ内静电场强由每个包面的电量或电位唯一确定.

先运用该定理严格证明三个命题,得证后,本文的结论即得到.

1.2　孤立导体的电位与其电量成正比

为证此命题只需证明当导体的电位U变为KU时,其对应电量Q必变成Q′=KQ即可.Q′总满足

Q′=

s

σ′ds=

s

ε0E′nds（2

2002年　8月　　　　　第32卷第4期第375页　　

山东大学学报（工学版

J.　OF　SHANDONG　UNIV.　（ENG.　SCI.

　　Vol.32　No.4　P.375

　　　　Aug.　2002

　　收稿日期:

2002-03-05

式中σ′是与图1中A点对应的导体表面的电荷面密度,E′n是A点的场强E′的法向分量.E′n等于什么?

根据唯一性定理,不妨设E′n=KEn,其中En是导体电位为U,带电量为Q时A点的场强E的法向分量.这个假想的E′n是不是要找的解呢?

这只需作如下验证:

A点的电位U′=

∫

∞

A

E′·dl=K∫∞

A

E·dl=KU（3

根据唯一性定理,这个E′n（E′就是我们要找的解.于是把E′n=

KEn代入（2,得Q′=k

s

ε0Ends=KQ

（4

（3,（4两式说明孤立导体的电位与其电量成正比

.

图1　命题1证明用图

Fig.1　Thefigurefortheproofofproposition1

1.3　第2个命题的证明

设有互绝缘的两个导体1和2,如图2.它们的电位和所带电量分别为U1,U2,Q1,Q2,证明命题

Q1=C11U1+C12U2Q2=C21U1+C22U2

或

U1=a11Q1+a12Q2

U2=a21Q1+a11Q2

（5

Q1总满足下式

Q1=

s

1

σds=

s

1

ε0Ends

（6

式中σ是导体1表面某点处的电荷面密度,En是该点处导体表面附近场强的法向分量.不妨设E=EA+EB,其中EA是导体1的电位为U1,导体2的电位为0时,τ空间的场强;EB是导体1的电位为0,导体2的电位为U2时,τ内空间的场强,则导体1和2的电位分别是

∫

∞

1E·dl

=

∫

∞

1EA·dl+

∫∞

1

E

B

·dl=

U1+0=U1

（7

∫∞2

E·dl=∫

∞2

EA

·dl+

∫∞

2

E

B

·dl=

U2+0=U2（8

图2　命题2证明用图

Fig.2　Thefigurefortheproofofproposition2

根据唯一性定理,E是要找的解.把E=EA+

EB代入（6得Q1=

s

1

ε0

E

Ands+

s

1

ε0

E

Bnds=Q1A+Q1B

（9

式中Q1A是导体1的电位为U1,导体2的电位为0时导体1所带的电量;Q1B是导体1的电位为0,导体2的电位为U2时导体1所带的电量.类似地有

Q2=Q2A+Q2B

（10

式中Q2A是导体1的电位为U1,导体2的电位为0

时导体2所带的电量;Q2B是导体1的电位为0,导体2的电位为U2时导体2所带的电量.

最后证明命题（5的子命题

Q1A∝U1,Q2A∝U1.

为证此命题,只需证当U1变为U′1=KU1时,Q1A变为Q′2A=KQ1A,Q2A变为Q′1A=KQ2A.设想当导体1的电位由U1变为U′1时,导体2的电位保持

为0,空间的场强由E变为E′,且E=KE′.于是导

体1和2的电位分别为

U′1=

∫∞

1

E′·dl=∫∞

1

KE·dl=KU1

（11U′2

=∫∞

2

E′·dl=∫∞

2

KE·dl=KU1

（12

根据唯一性定理知E′正是要找的解,于是Q′1A=

s

1

σ

′1

ds=s

1

ε0E′n

ds=s1

Kε0En

ds=Ks1

σds=KQ1A

（

13Q′2A

=s2

σ′2

ds=s2

ε0E′n

ds=

s2

Kε0En

ds=Ks2

σds=KQ2A

（14由（11~（14可知

Q1A=C11U1　　Q2A=C21U1

（15

376　山东大学学报（工学版2002年

类似地有

Q1B=C12U2　　Q2B=C22U2

（16

将（15,（16代入（9,（10得,

Q1=C11U1+C12U2,Q2=C21U1+C22U2,命题U1=a11Q1+a12

Q2

U2=a21Q1+a11Q2

不证自明.

C11,C12,C21,C22称为电容系数,它们（显然还有a11,a12,a21,a22仅取决于导体系统的几何结构等固有性质.

图3　命题3证明用图Fig.3　Thefigurefortheproofofproposition3

1.4　第3个命题的证明

命题为:

任意两个互绝缘的带电导体组合,其电位差ΔU与两导体用细导线接通后电位相等时所交换的电量Q成正比.

证明:

设任意两个导体1和2,其电位和所带电量分别为U1,Q1,U2,Q2,如图3（a所示;现用细导线将两导体连接后达到平衡时其电位和电量分别为U′1,Q′1,U′2,Q′2,如图3（

b所示.则有U′1=U′2,Q1=Q′1+Q,Q2=Q′2-Q这里Q即为两导体交换的电荷,利用U1、U2

的表达式（5,可得

ΔU=U1-U2=（a11-a21Q1+（a12-a22Q2

（17

因

U′1=a11Q′1+a12Q′2=a11（Q1-Q+a12（Q2+QU′2=a21Q′1+a22Q′2=

a21（Q1-Q+a22（Q2+Q

所以U′1-U′2=（a11-a21Q1+（a12-a22Q2+

（-a11+a12+a21-a22Q=0

（18

比较（17、（18两式,有

ΔU=U1-U2=（a11+a22-a12-a21Q（19

（19式说明两导体的电位差ΔU与Q成正比,

命题得证.

2　结论

由（19式可知Q与ΔU之比为常量（a11+a22-a12-a21,也就是说,任意两个带电导体用细导线连接后达到平衡时所交换的电量与连接前两导体的电位差的比值为一常量,且这一常量仅取决于导体系统的几何结构等固有性质.因此我们可以把这一常量用C表示,亦即为该导体系统的电容量C=Q/ΔU.参考文献:

[1]　赵凯华,陈熙谋.电磁学[M].北京:

高等教育出版社,

1987.

[2]　格兰特IS,菲利普WR.电磁学[M].刘岐之,王鸣阳

译北京:

人民教育出版社,1982.

[3]　张达宋主编.物理学基本教程（第二册[M].北京:

高

等教育出版社,1989.

[4]　梁灿彬.电磁学[M].北京:

人民教育出版社,1980.

作者简介　张

女,讲师,1970年出生,1991年毕业于

长春光学精密机械学院,1996年在长春光学精密机械学院获硕士学位.主要研究方向:

计算物理,基础物理教学研究.张晓茹,女,讲师,1971年出生,1993年毕业于聊城师范学院物理系,1996年在苏州大学获硕士学位.主要研究方向:

计算物理,基础物理教学研究.孙建刚,男,实验师,1959年出生,1998年经济管理专科毕业.主要研究方向:

基础物理、理论物理辅助教学,并长期从事于物理实验的开发、研制工作.管立,教授.

第4期张　,等:

任意形状导体系统电容量计算方法的理论探讨377