高考圆锥曲线知识点题型全总结.docx

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高考圆锥曲线知识点题型全总结

圆锥曲线全总结及全题型解析

1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：

椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常，且此常数一定要大于，当常数等时，轨迹是线段FF，当常数小时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于F

|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。

若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：

焦点在轴上时（），焦点在轴上时＝1（）。

方程表示椭圆的充要条件是什么？

（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。

（2）双曲线：

焦点在轴上=1，焦点在轴上＝1（）。

方表示双曲线的充要条件是什么？

（ABC≠0，且A，B异号）。

（3）抛物线：

开口向右时，开口向左，开口向上时

，开口向下时。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：

由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

（2）双曲线：

由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：

焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

提醒：

在椭圆中，最大，在双曲线中，最大。

4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以（）为例）：

①范围：

；②焦点：

两个焦点；③对称性：

两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，

其中长轴长为，短轴长为；④准线：

两条准线；⑤离心率：

，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。

（2）双曲线（以（）为例）：

①范围：

或；②焦点：

两个焦点；③对称性：

两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为

；④准线：

两条准线；⑤离心率：

，双曲线，等轴双曲线

，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线。

（3）抛物线（以为例）：

①范围：

；②焦点：

一个焦点，其中

的几何意义是：

焦点到准线的距离；③对称性：

一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；

④准线：

一条准线；⑤离心率：

，抛物线。

在椭圆外

5、点和椭圆（）的关系：

（1）点；

（2）点在椭圆上＝1；（3）点在椭圆内

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：

直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一

定，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2）相切：

直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相

切；

（3）相离：

直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。

提醒：

（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：

相切和相交。

如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线

与抛物线相交,也只有一个交点；

（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：

①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线

和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：

一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）

过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：

两条切线和一条平行于对称轴的直线。

7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：

，即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线。

如

（1）短轴长，

8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：

（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；

（2）设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。

9、弦长公式：

若直与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，

＝，分别为A、B的纵坐标，＝，若弦AB所在直线

方程设为，则＝。

特别地，焦点弦（过焦点的弦）：

焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

抛物线：

在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。

提醒：

因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别

忘了检验！

11．了解下列结论

（1）双曲线的渐近线方程为；

（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为参数≠0）。

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距

离），抛物线的通径为，焦准距为；

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①；

②

（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定

点

12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1）给出直线的方向向或；

（2）给出与相交,等于已知的中点;

（3）给出,等于已知的中点;

（4）给出,等于已知的中点三点共线;

（5）给出以下情形之一：

①；②存在实数；③若存在实数

等于已知三点共线.

（6）给出

等于已知

即

是直角,给出

等于已知

是钝角,

给出

等于已知

是锐角,

（8）给出,等于已知是的平分线/

（9）在平行四边形

中，给出

，等于已知

是菱形;

（10）在平行四边形

中，给出

，等于已知

是矩形;

（11）中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12）中，给，等于已是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）中，给，等于已是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（14）中，给出等于已通的内心；

（15）在中，给等于已知是的内心（三角形内切

圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

（16）在中，给,等于已知是中边的中线;

（3）已知A,B为抛物线x2=2py（p>0）上异于原点的两点，点C坐标为（0，2p）

（1）求证：

A,B,C三点共线；

（2）＝（）且试求点M的轨迹方程。

（1）证明：

设，由得

，又

，，即A,B,C三点共线。

（2）由

（1）知直线AB过定点C，又由及＝（）知OM⊥AB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。

即点M的轨迹方程为x2+（y-p）2=p2（x≠0，

y≠0）。

13.圆锥曲线中线段的最值问题：

例1、

（1）抛物线C:

y2¬=4x上一点P到点A（3,4）与到准线的距离和最小,则点P的坐标为

¬

（2）抛物线C:

y2=4x上一点Q到点B（4,1）与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。

分析：

（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。

（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线

时，距离和最小。

解：

（1）（2，）

（2）（）

1、已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。

（1）求双曲线C2的方程；

（2）若直线l：

与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A

和B满（其中O为原点），求k的取值范围。

解：

（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则

故C2的方程为（II）将

由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得

即①

.由直线l与双曲线C2恒有两个不

同的交点A，B得

解此不等式得③

由①、②、③

故k的取值范围

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,-1），B点在直线y=-3上，M点满足MB//OA，MA•AB=MB

•BA，M点的轨迹为曲线C。

（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

（Ⅰ）设M（x,y）,由已知得B（x,-3）,A（0,-1）.所以=（-x,-1-y）,=（0,-3-y）,=（x,-2）.再由愿意得知（

+）•=0,即（-x,-4-2y）•（x,-2）=0.

所以曲线C的方程式为x-2.（Ⅱ）设P（x,y）为曲线x-2上一点，因为yx,所以的斜率x因此直线的方程，即。

则O点到的距.又，所当=0时取等号，所以O点距离的最小值为2.

设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）

设双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为（）.

过椭圆（）的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若

，则椭圆的离心率为

已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点

·

在双曲线上.则＝（）0

已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若

，（）

已知直和直，抛物上一动点到直和直的距离之和的最小值是（）

设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点。

若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为.

椭的焦点为，点P在椭圆上，若，则；的大小为.

过抛物的焦点F作倾斜角的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为

8，

【解析】设切点，则切线的斜率为.由题意有又解得:

双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=

所以

由渐近线方程为

知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是

，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和

（2，0），且

或.不妨去

，则

∴

，.

·

＝

【解析】设