学年第二学期高二数学《复数代数形式的乘除运算》学案含答案.docx

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学年第二学期高二数学《复数代数形式的乘除运算》学案含答案

3.2.2　复数代数形式的乘除运算

学习目标　1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算（重点）.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律（重、难点）.3.理解共轭复数的概念（重点）.

知识点一　复数的乘法及其运算律

1.复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），

则z1·z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.

2.复数乘法的运算律

对任意复数z1，z2，z3∈C，有

交换律

z1·z2＝z2·z1

结合律

（z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3）

乘法对加法的分配律

z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3

【预习评价】

写出下列各题的计算结果.

（1）（a±b）2＝________；

（2）（3a＋2b）（3a－2b）＝________；

（3）（3a＋2b）（－a－3b）＝________；

（4）（1＋i）（1＋2i）＝________.

答案　

（1）a2±2ab＋b2；

（2）9a2－4b2；

（3）－3a2－11ab－6b2；

（4）－1＋3i.

知识点二　共轭复数

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示，即z＝a＋bi，则＝a－bi.

【预习评价】　（正确的打√，错误的打×）

1.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.（×）

提示　充分条件.

2.若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.（×）

提示　在复数中，z＋z＝0推不出z1＝z2＝0，如z1＝i，z2＝1，z＋z＝0也成立.

3.两个共轭虚数的差为纯虚数.（√）

4.在复平面内，两个共轭复数的对应点关于实轴对称.（√）

知识点三　复数的除法

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（c＋di≠0），

则＝＝＝＋i.

【预习评价】

写出下列各题的计算结果.

（1）＝________；

（2）＝________；

（3）＝________.

提示　

（1）－i；

（2）i；（3）－i.

题型一　复数乘除法的运算

【例1】　计算：

（1）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i；

（2）.

解　

（1）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i

＝（－2＋10i＋i－5i2）（3－4i）＋2i

＝（3＋11i）（3－4i）＋2i

＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i

＝53＋21i＋2i＝53＋23i.

（2）＝

＝＝＝

＝＝＝1－i.

规律方法　1.复数代数形式的四则运算法则

设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1±z2＝（a＋bi）±（c＋di）＝（a±c）＋（b±d）i，z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i，＝＝＋i（c＋di≠0）.

2.运算律

加法交换律：

z1＋z2＝z2＋z1；

加法结合律：

（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）；

乘法交换律：

z1·z2＝z2·z1；

乘法结合律：

（z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3）；

乘法对加法的分配律：

z1·（z2＋z3）＝z1·z2＋z1·z3.

3.注意在求解过程中运用一些运算结论，可以简化运算过程.

【训练1】　计算：

（1）；

（2）.

解　

（1）＝＝＝1＋i.

（2）＝＝＝－1－3i.

题型二　共轭复数及其应用

【例2】　若f（z）＝2z＋－3i，f（＋i）＝6－3i，求f（－z）.

解　因为f（z）＝2z＋－3i，

所以f（＋i）＝2（＋i）＋（＋i）－3i

＝2z＋2i＋z－i－3i＝2＋z－2i.

又f（＋i）＝6－3i，

所以2＋z－2i＝6－3i.

设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，

所以2（a－bi）＋（a＋bi）＝6－i，

即3a－bi＝6－i.

由复数相等的定义，得

解得所以z＝2＋i，

故f（－z）＝2（－2－i）＋（－2＋i）－3i＝－6－4i.

规律方法　共轭复数有如下几个性质：

（1）若复数z＝a＋bi（a，b∈R），则z·＝|z|2＝||2＝a2＋b2.

（2）实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数.

（3）若z≠0，且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可以证明一个复数是纯虚数.

（4）若干个复数进行加减运算后的共轭复数等于这些复数的共轭复数进行相同的加减运算.

【训练2】　已知z∈C，解方程z·－3i＝1＋3i.

解　将z·－3i＝1＋3i，①

两边取共轭复数，得·z＋3iz＝1－3i，②

②－①得＝－2－z，代入①得z2＋（2－3i）z＋1－3i＝0，即（z＋1）（z＋1－3i）＝0，∴z＝－1或z＝－1＋3i.

题型三　复数运算的综合问题

【例3】　已知z是虚数，w＝z＋，且－1

解　法一　设z＝x＋yi（x，y∈R，且y≠0），则w＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋＝x＋＋i；

∵w是实数且y≠0，∴y－＝0，

∴x2＋y2＝1，即|z|＝1，此时w＝2x.

∵－1

即z的实部的取值范围是.

法二　∵w＝∈R，∴＝w，即＋＝z＋，

即（z－）＋＝0，（z－z）＝0.

∵z是虚数，∴z－≠0，∴z＝1，即|z|2＝1，

∴|z|＝1，∴w＝z＋.

设z＝x＋yi（x，y∈R，且y≠0），则w＝2x.

又－1

∴z的实部的取值范围是.

规律方法　在有关复数运算的综合问题中，常与数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x＋yi（x，y∈R）的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标或向量问题进行解决.

【训练3】　求同时满足下列条件的所有的复数z.

（1）z＋∈R，且1

（2）z的实部和虚部都是整数.

解　设z＝x＋yi（x，y∈Z），则

z＋＝x＋yi，

因为z＋∈R，所以y＝0或x2＋y2＝10.

又1

（1）当y＝0时，可以化为1

当x<0时，x＋<0，

当x>0时，x＋≥2>6，

故y＝0时，无解.

（2）当x2＋y2＝10时，可化为1<2x≤6，即

∵x，y∈Z，∴x＝1，y＝±3或x＝3，y＝±1，故可得z＝1＋3i或1－3i或3＋i或3－i.

课堂达标

1.设a是实数，且＋是实数，则a等于（　　）

A.B.1C.D.2

解析　∵＋＝＋＝＋i，

又∵∈R，∴＝0，解得a＝1.

答案　B

2.复数的共轭复数为（　　）

A.3＋4iB.3－4i

C.＋iD.－i

解析　的共轭复数为＝＝＝＋i.

答案　C

3.设复数z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数＋的虚部等于________.

解析　∵＋＝＋＝＋＋i＝－＋i＋＋i＝i，∴虚部为1.

答案　1

4.若复数z满足z（1＋i）＝1－i（i是虚数单位），则其共轭复数＝________.

解析　∵z＝＝＝－i，∴＝i.

答案　i

5.计算：

＋（10＋i29）－.

解　原式＝＋10＋i29

－

＝（－i）14＋10＋i－

＝－1＋10＋i＋i＝9＋2i.

课堂小结

1.利用复数的代数形式对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi（a，b∈R）时应先转化形式.

2.复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模|z|＝，据此可将问题实数化，同时根据模的几何意义可将问题转化为平面解析几何问题，如点的轨迹问题.

基础过关

1.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于（　　）

A.－iB.iC.－1D.1

解析　z＝＝－i.

答案　A

2.i为虚数单位，＋＋＋等于（　　）

A.0B.2iC.－2iD.4i

解析　＝－i，＝i，＝－i，＝i，∴＋＋＋＝0.

答案　A

3.已知复数z满足（3＋4i）z＝25，则z等于（　　）

A.－3＋4iB.－3－4i

C.3＋4iD.3－4i

解析　由（3＋4i）z＝25，

得z＝＝＝3－4i.

答案　D

4.设复数i满足i（z＋1）＝－3＋2i（i为虚数单位），则z的实部是________.

解析　由i（z＋1）＝－3＋2i得，z＝－1＝2＋3i－1＝1＋3i.

答案　1

5.已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________.

解析　设z＝bi（b∈R，b≠0），则＝＝＝＝＋i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.

答案　－2i

6.计算.

解　原式＝＝＝＝1.

7.已知复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i（a，b∈R），求a＋b的值.

解　由z＝，得z＝＝＝1－i，

又z2＋az＋b＝1＋i，∴（1－i）2＋a（1－i）＋b＝1＋i，

∴（a＋b）＋（－2－a）i＝1＋i，∴a＋b＝1.

能力提升

8.在复平面内，复数＋（1＋i）2对应的点位于（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析　＋（1＋i）2＝＋i＋（－2＋2i）＝－＋i，对应点在第二象限.

答案　B

9.复数z＝－，则1＋z＋z2＝________.

解析　z＝－＝＝－

＝－＋i.

∴1＋z＋z2＝1－＋i＋

＝1－＋i＋＝0.

答案　0

10.若复数（1＋bi）（2＋i）为纯虚数，则＝______.

解析　（1＋bi）（2＋i）＝（2－b）＋（2b＋1）i，

∵（1＋bi）（2＋i）是纯虚数，

∴得b＝2，

则＝＝＝＝|2－i|＝.

答案　

11.已知z是复数，且|z|＝1，则|z－3＋4i|的最大值是________.

解析　|z|＝1，在复平面中表示的是单位圆，|z－3＋4i|＝|z－（3－4i）|表示z对应的点到3－4i对应点的距离，结合图象（图略）可知最大值为＋1＝6.

答案　6

12.已知复数z满足|z|＝1，且（3＋4i）z是纯虚数，求z的共轭复数.

解　设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.①

因为（3＋4i）z＝（3＋4i）（a＋bi）＝（3a－4b）＋（3b＋4a）i，而（3＋4i）z是纯虚数，

所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②

由①②联立，解得或

所以＝－i或z＝－＋i.

13.（选做题）已知复数z满足z＝（－1＋3i）（1－i）－4.

（1）求复数z的共轭复数；

（2）若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围.

解　

（1）z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，所以复数z的共轭复数为－2－4i.

（2）w＝－2＋（4＋a）i，复数w对应向量为（－2，4＋a），

其模为＝.

又复数z所对应向量为（－2，4），其模为2.

由复数w对应向量的模不大于复数z对应向量的模，

得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a（a＋8）≤0，－8≤a≤0

所以，实数a的取值范围是[－8，0].