高斯小学奥数含答案二年级下第08讲 一笔画.docx

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高斯小学奥数含答案二年级下第08讲一笔画

第八讲一笔画

前续知识点：

二年级第一讲；XX模块第X讲

后续知识点：

X年级第X讲；XX模块第X讲

把里面的人物换成相应红字标明的人物．

一笔画，是指从连通图的一点出发，笔不离纸，每条线都只画一次，不能重复．

一笔画能解决很多实际问题．那么什么样的图形能够一笔画成，什么样的图形不能一笔画成呢？

试着画一画下面的图形吧！

例题1

观察下列图形，能一笔画成的打“√”，不能一笔画成的打“×”．

【提示】动手画一画，你知道什么样的图形一定不能一笔画成吗？

练习1

观察下列图形，能一笔画成的打“√”，不能一笔画成的打“×”．

我们画了这么多图形，不难发现，不连通的图形一定不能一笔画成，能一笔画成的图形必定是连通图．连通图，指的是如果一个图形中的任意两点都是连通的，那么这个图形就是连通图．一个图形可以一笔画成，除了必须是连通图，还有没有其它的规律和特点呢？

我们一起找找吧！

首先，我们先来认识下面的两个名词：

从一点出发的线条数目是奇数，如1、3、5、7、……我们称它为奇点．

从一点出发的线条数目是偶数，如2、4、6、8、……我们称它为偶点．

奇点、偶点的个数与一个图形能否一笔画成有什么关系呢？

我们来看一看下面的题目吧！

【例题2】下面的各个图形都是由点和线组成的．请你仔细观察后回答，各图中的交叉点分别有几个奇点？

几个偶点？

能否一笔画成？

能的在“（）”里打“√”，不能的在“（）”里打“×”．

【提示】从某一点发出奇数条线，这个点是奇点；从某一点发出偶数条线，这个点是偶点．

【练习2】下面的各个图形都是由点和线组成的．请你仔细观察后回答，各图中的交叉点分别有几个奇点？

几个偶点？

能否一笔画成？

能的在“（）”里打“√”，不能的在“（）”里打“×”．

通过对上题的观察，相信大家都发现了规律．

有0个奇点的连通图能够一笔画成．画时可以以任一点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图．

有2个奇点的连通图能够一笔画成．画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点画完此图．

有2个以上奇点的连通图不能一笔画成．

根据以上规律，我们可以通过奇点个数来正确判断哪些图形能一笔画成，哪些图形不能一笔画成．我们就用学到的知识来解决生活中的一笔画问题吧！

例题3

草地上有许多小路，丁丁和月月分别站在A、B两个路口．谁能够一次不重复地走遍所有小路？

【提示】谁的出发点是奇点？

练习3

花园里有许多崎岖的小路，小乖要浇花，它想一次不重复地走完每条小路．该从哪个路口出发呢？

例题4

小河中有4个小岛，小岛之间建有六座桥．淘淘能一次不重复地走遍所有的小桥吗？

【提示】先把实际地图画成“点线图”，然后数数奇点的个数吧！

练习4

蘑菇园的小朋友们要去游乐场玩，他们可以从6个入口进出游乐场．他们从哪个入口出发，才能一次不重复地走遍游乐场内的所有小路？

我们已经可以正确判断哪些图形可以一笔画成，哪些不能一笔画成．如果不能一笔画成，可不可以通过增添或删除一些线的方法，让它变成可以一笔画成的图形呢？

例题5

下面的“蝴蝶”能一笔画成吗？

如果不能，按照如下要求把它改成能一笔画成的图形．

（1）在图1中，去掉一条线；

（2）在图2中，添加一条线．

【提示】在两个奇点之间去掉或添加线．

例题6

甲乙两个不同公司的快递员去送货，两人都要以同样的速度走遍所有的街道（阴影部分），甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到C点．如果都选择最短的线路，谁先回到C点？

【提示】先把实际道路图画成“点线图”，再判断各个交叉点中有哪些是奇点．

课堂内外

七桥问题

德国有一个城市叫哥尼斯堡．城中有一条小河，河中有两个小岛，还有7座桥把这两个小岛和陆地连接起来，如下图所示．人们经常在这里游玩，他们在游玩的时候提出这样一个问题：

能不能一次不重复地走遍所有的小桥呢？

作业

1.观察下列图形，能一笔画成的打“√”，不能一笔画成的打“×”．

2.下面每幅图中的交叉点分别有几个奇点？

能否一笔画成呢？

能的在“（）”里打“√”，不能的在“（）”里打“×”．

3.菲菲周末去郊外的公园玩，公园里有许多崎岖的小路．她想不重复地一次走完每条小路，可以从哪个路口出发？

4.小熊、灰鼠、小象和小猪要分别从东、南、西、北四个入口去果园采果子，谁能不重复地一次走遍所有小路？

5.下面的图形能一笔画成吗？

如果不能，按照如下要求将其改成能一笔画成的图形．

（1）在图1中去掉一条线；

（2）在图2中添加一条线．

第八讲一笔画

1.例题1

答案：

×，√，√，×，×，√

详解：

第

（1）个图形是非连通图，不能一笔画；其它都是连通图，依次尝试判断即可．

2.例题2

答案：

如图所示：

详解：

把交叉点是奇点的圈起来，如图所示：

有0个奇点和2个奇点的连通图能够一笔画成；2个奇点以上的连通图不能一笔画成．一个图形能否一笔画成与偶点数无关．

3.例题3

答案：

月月

详解：

图中B点和E点是奇点，其它交叉点都是偶点．有2个奇点的图形，一笔画的特征是：

从图形的一个奇点出发，回到另一个奇点．只有从奇点的路口出发，才能一次不重复地走遍所有小路．美羊羊站在B点的路口上，所以能够一次不重复地走遍所有小路．

4.例题4

答案：

不能

详解：

把图中的小岛看成点，把桥看成线，得到“点线图”，如图所示，有4个交叉点，这4个交叉点都是奇点，这个图形不能一笔画成．所以淘淘不能一次不重复地走遍所有的小桥．

5.例题5

答案：

如图所示：

（答案不唯一）

详解：

图中有4个奇点，不能一笔画成．去掉或添加一条线使得奇点个数减少，那么就在2个奇点之间去掉或添加线．

6.例题6

答案：

甲

详解：

先把这个送货路线图画成“点线图”，如图所示，A、C是奇点．所以，甲从A点出发回到C点，可以一次不重复的走遍所有的街道；而乙要走遍所有的街道，其中必有重复．所以甲先回到C点．

7.练习1

答案：

√，√，√，×，×，√，√

简答：

第2个图形和第5个图形是非连通图，不能一笔画成；其它是连通图，依次尝试判断即可．

8.练习2

答案：

如图所示：

简答：

先把交叉点是奇点的圈起来，一一数出来，再判断能否一笔画成．

9.练习3

答案：

A点或F点

简答：

图中A点和F点是奇点，其它交叉点都是偶点．有2个奇点的图形，一笔画的特征是：

从图形的一个奇点出发，回到另一个奇点．只有从奇点的路口出发，才能一次不重复地走遍所有小路．所以小乖应该从A点或F点出发．

10.练习4

答案：

C或D

简答：

把图中的平面图画成“点线图”，如图所示，C点和D点是奇点，所以蘑菇园的小朋友们从C或D入口出发，才能一次不重复地走遍游乐场内的所有小路．

11.作业1

答案：

×，×，√，×，√，√

简答：

第1个图形是非连通图，不能一笔画成；其它是连通图，依次尝试判断即可．

12.作业2

答案：

如图所示：

简答：

先把交叉点是奇点的圈起来，一一数出来，再判断能否一笔画成．

13.作业3

答案：

A或B

简答：

观察图形可知，图中只有A和B两个奇点，其余的都是偶点．走时必须从一个奇点出发到另一个奇点结束，也就是从A出发，从B离开，或者从B出发，从A离开．

14.作业4

答案：

灰鼠和小熊

简答：

先根据果园的平面图画出点线图，如下图所示．观察下图中共有9个交叉点，其中7个点是偶点，只有两个点（北、西）是奇点，所以只有在北门和西门的小动物可以不重复地一次走遍所有的小路．

15.作业5

答案：

不能

简答：

在任意两个奇点之间添一条线或去一条线，如下图所示，都可以改成能一笔画成的图形（答案不唯一）．