集合与集合的表示方法.docx

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集合与集合的表示方法

§1.1　集合与集合的表示方法

1．1.1　集合的概念

课时目标

　1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．

1．元素与集合的概念

（1）集合：

一般地，把一些能够____________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的______构成的集合（或集）．通常用英语大写字母表示．

（2）元素：

构成集合的________叫做这个集合的元素（或成员），通常用英语小写字母表示．

2．集合中元素的特性：

________、________.

3．元素与集合的关系

（1）如果a是集合A的元素，就说________，记作_____________________________．

（2）如果a不是集合A的元素，就说__________，记作______．

4．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母____、____、____、____、____或____来表示．

5．集合的分类

集合

一、选择题

1．下列语句能确定是一个集合的是（　　）

A．著名的科学家

B．留长发的女生

C．2010年广州亚运会比赛项目

D．视力差的男生

2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是（　　）

A．0∈AB．a∉A

C．a∈AD．a＝A

3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是（　　）

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．等腰三角形

4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（　　）

A．1B．－2

C．6D．2

5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（　　）

A．2B．3

C．0或3D．0,2,3均可

6．由实数x、－x、|x|、

及－

所组成的集合，最多含有（　　）

A．2个元素B．3个元素

C．4个元素D．5个元素

题　号

1

2

3

4

5

6

答　案

二、填空题

7．由下列对象组成的集体属于集合的是________．（填序号）

①不超过π的正整数；

②本班中成绩好的同学；

③高一数学课本中所有的简单题；

④平方后等于自身的数．

8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．

9．用符号“∈”或“∉”填空

－

_______R，－3______Q，－1______N，π________Z.

三、解答题

10．判断下列说法是否正确？

并说明理由．

（1）参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；

（2）未来世界的高科技产品构成一个集合；

（3）1,0.5，

，

组成的集合含有四个元素；

（4）高一（三）班个子高的同学构成一个集合．

11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.

能力提升

12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？

13．设A为实数集，且满足条件：

若a∈A，则

∈A（a≠1）．

求证：

（1）若2∈A，则A中必还有另外两个元素；

（2）集合A不可能是单元素集．

1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征（或标准），能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．

2．集合中元素的三个性质

（1）确定性：

指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．

（2）互异性：

集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．

第一章　集　合

§1.1　集合与集合的表示方法

1．1.1　集合的概念

知识梳理

1．

（1）确定的不同的　全体　

（2）每个对象　2.确定性　互异性

3．

（1）a属于A　a∈A　

（2）a不属于集合A　a∉A　4.R　Q　Z　N　N*　N＋　5.∅　有限集　无限集

作业设计

1．C　[选项A、B、D都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．]

2．C　[由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”，故选C.]

3．D　[集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.]

4．C　[因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.]

5．B　[由2∈A可知：

若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；

若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，

当m＝0时，与m≠0相矛盾，

当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．]

6．A　[因为|x|＝±x，

＝|x|，－

＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：

x、－x，故集合中最多含有2个元素．]

7．①④

解析　①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.

8．－1

解析　当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.

9．∈　∈　∉　∉

10．解　

（1）正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．

（2）不正确．因为高科技产品的标准不确定．

（3）不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝

，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．

（4）不正确，因为个子高没有明确的标准．

11．解　由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，

∴a＝－1或a＝－

.

则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．

当a＝－

时，a－2＝－

，2a2＋5a＝－3，符合题意．

∴a＝－

.

12．解　∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；

当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；

当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.

由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．

13．证明　

（1）若a∈A，则

∈A.

又∵2∈A，∴

＝－1∈A.

∵－1∈A，∴

＝

∈A.

∵

∈A，∴

＝2∈A.

∴A中另外两个元素为－1，

.

（2）若A为单元素集，则a＝

，

即a2－a＋1＝0，方程无解．

∴a≠

，∴A不可能为单元素集．

1．1.2　集合的表示方法

课时目标

　1.掌握集合的两种表示方法（列举法、描述法）.2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．

1．列举法

把集合的所有元素都______出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

2．描述法

一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的元素都不具有性质p（x），则性质p（x）叫做集合A的一个__________．于是，集合A可以用它的特征性质p（x）描述为____________，它表示集合A是由集合I中具有性质p（x）的所有元素构成的．这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法．

一、选择题

1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为（　　）

A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}

C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}

2．集合{（x，y）|y＝2x－1}表示（　　）

A．方程y＝2x－1

B．点（x，y）

C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合

D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合

3．将集合

表示成列举法，正确的是（　　）

A．{2,3}B．{（2,3）}

C．{x＝2，y＝3}D．（2,3）

4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为（　　）

A．{1,1}B．{1}

C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}

5．已知集合A＝{x∈N|－

≤x≤

}，则有（　　）

A．－1∈AB．0∈A

C.

∈AD．2∈A

6．集合{x|x＝

＋

－

，a，b，c∈R}的列举法表示应该是（　　）

A．{－3，－1,1,3}B．{1,3}

C．{－1,1,3}D．{－1,1}

题　号

1

2

3

4

5

6

答　案

二、填空题

7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，

∈N}＝____________.

8．下列可以作为方程组

的解集的是__________（填序号）．

（1）{x＝1，y＝2}；　

（2）{1,2}；

（3）{（1,2）}；　（4）{（x，y）|x＝1或y＝2}；

（5）{（x，y）|x＝1且y＝2}；

（6）{（x，y）|（x－1）2＋（y－2）2＝0}．

9．已知a∈Z，A＝{（x，y）|ax－y≤3}且（2,1）∈A，（1，－4）∉A，则满足条件的a的值为________．

三、解答题

10．用适当的方法表示下列集合

①方程x（x2＋2x＋1）＝0的解集；

②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；

③不等式x－2>6的解的集合；

④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．

11．用描述法表示下列集合：

（1）所有正偶数组成的集合；

（2）方程x2＋2＝0的解的集合；

（3）不等式4x－6<5的解集；

（4）函数y＝2x＋3的图象上的点集．

能力提升

12．已知集合M＝{x|x＝

＋

，k∈Z}，N＝{x|x＝

＋

，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是（　　）

A．x0∈NB．x0∉N

C．x0∈N或x0∉ND．不能确定

13．对于a，b∈N＋，现规定：

a*b＝

.

集合M＝{（a，b）|a*b＝36，a，b∈N＋}

（1）用列举法表示a，b奇偶性不同时的集合M；

（2）当a与b的奇偶性相同时集合M中共有多少个元素？

1．在用列举法表示集合时应注意：

①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．

2．在用描述法表示集合时应注意：

（1）弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数、还是有序实数对（点）、还是集合、还是其他形式？

（2）元素具有怎样的属性？

当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．

1．1.2　集合的表示方法

知识梳理

1．列举　2.特征性质　{x∈I|p（x）}

作业设计

1．B　[{x∈N＋|x－3<2}＝{x∈N＋|x<5}＝{1,2,3,4}．]

2．D　[集合{（x，y）|y＝2x－1}的代表元素是（x，y），x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.]

3．B　[解方程组

得

所以答案为{（2,3）}．]

4．B　[方程x2－2x＋1＝0可化简为（x－1）2＝0，

∴x1＝x2＝1，

故方程x2－2x＋1＝0的解集为{1}．]

5．B

6．A

7．{5,4,2，－2}

解析　∵x∈Z，

∈N，

∴6－x＝1,2,4,8.

此时x＝5,4,2，－2，即A＝{5,4,2，－2}．

8．（3）（5）（6）

9．0,1,2

解析　∵（2,1）∈A且（1，－4）∉A，

∴2a－1≤3且a＋4>3，

∴－1

∴a的取值为0,1,2.

10．解　①∵方程x（x2＋2x＋1）＝0的解为0和－1，

∴解集为{0，－1}；

②{x|x＝2n＋1，且x<1000，n∈N}；

③{x|x>8}；

④{1,2,3,4,5,6}．

11．解　

（1）文字描述法：

{x|x是正偶数}．

符号描述法：

{x|x＝2n，n∈N*}．

（2）{x|x2＋2＝0，x∈R}．

（3）{x|4x－6<5，x∈R}．

（4）{（x，y）|y＝2x＋3，x∈R，y∈R}．

12．A　[M＝{x|x＝

，k∈Z}，N＝{x|x＝

，k∈Z}，

∵2k＋1（k∈Z）是一个奇数，k＋2（k∈Z）是一个整数，

∴x0∈M时，一定有x0∈N，故选A.]

13．解　

（1）当a，b奇偶性不同时，a*b＝a×b＝36，

则满足条件的（a，b）有（1,36），（3,12），（4,9），（9,4），（12,3），（36,1），故集合M可表示为：

M＝{（1,36），（3,12），（4,9），（9,4），（12,3），（36,1）}．

（2）当a与b的奇偶性相同时a*b＝a＋b＝36，由于两奇数之和为偶数，两偶数之和仍为偶数，故36＝1＋35＝2＋34＝3＋33＝…＝17＋19＝18＋18＝19＋17＝…＝35＋1，

所以当a，b奇偶性相同时这样的元素共有35个．

§1.2　集合之间的关系与运算

1．2.1　集合之间的关系

课时目标

　1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、真子集，并能判断给定集合间的关系．

1．子集

（1）子集：

如果集合A中的__________元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作______或______读作“__________”或“________”．

（2）空集是任意一个集合的________．∅____A.

（3）真子集：

如果集合A是集合B的______，并且B中至少有一个元素________A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作______或______，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．

（4）如果A⊆B，B⊆C，则A____C；如果A

B，B

C，则A____C.

2．集合的相等

如果A⊆B，又B⊆A，则A____B；反之如果A＝B，则______，且______．

3．集合关系与其特征性质之间的关系

设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}．如果______，则x∈A⇒x∈B.于是x具有性质p（x）⇒x具有性质q（x），即p（x）⇒q（x）．反之如果p（x）⇒q（x），则A一定是B的子集．如果“p（x）⇒q（x）”且“q（x）⇒p（x）”则有“p（x）____q（x）”．

一、选择题

1．集合P＝{x|y＝

}，集合Q＝{y|y＝

}，则P与Q的关系是（　　）

A．P＝QB．P

Q

C．P

QD．P∩Q＝∅

2．满足条件{1,2}

M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是（　　）

A．3B．6C．7D．8

3．对于集合A、B，“A⊆B不成立”的含义是（　　）

A．B是A的子集

B．A中的元素都不是B中的元素

C．A中至少有一个元素不属于B

D．B中至少有一个元素不属于A

4．下列命题：

①空集没有子集；

②任何集合至少有两个子集；

③空集是任何集合的真子集；

④若∅

A，则A≠∅.

其中正确的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

5．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是（　　）

6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈N＋}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈N＋}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈N＋}之间的关系是（　　）

A．S

P

MB．S＝P

M

C．S

P＝MD．P＝M

S

题　号

1

2

3

4

5

6

答　案

二、填空题

7．已知M＝{x|x≥2

，x∈R}，给定下列关系：

①π∈M；②{π}

M；③π

M；④{π}∈M.其中正确的有________．

8．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．（填序号）

①P＝{（1,2）}，Q＝{（2,1）}；

②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；

③P＝{（x，y）|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．

9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．（填序号）

①M＝{π}，N＝{3.14159}；

②M＝{2,3}，N＝{（2,3）}；

③M＝{x|－1

④M＝{1，

，π}，N＝{π，1，|－

|}．

三、解答题

10．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．

11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{（x，y）|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？

试说明理由．

能力提升

12．若规定E＝{a1，a2，…，a10}的子集{

}为E的第k个子集，其中k＝

，则

（1）{a1，a3}是E的第________个子集；

（2）E的第211个子集是______________．

13．已知集合A＝{x|1

1．子集概念的多角度理解

（1）“A是B的子集”的含义是：

集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.

（2）不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.

拓展　当A不是B的子集时，我们记作“A

B”（或B

A）．

2．对元素与集合、集合与集合关系的分析与拓展

（1）元素与集合之间的关系是从属关系，这种关系用符号“∈”或“∉”表示．

（2）集合与集合之间的关系有包含关系，相等关系，其中包含关系有：

包含于（⊆）、包含（⊇）、真包含于（

）、真包含（

）等，用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的．