华师大版八年级数学下册第17章函数及其图象 知识点归纳总结.docx

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华师大版八年级数学下册第17章函数及其图象知识点归纳总结

第17章函数及其图象

§17.1变量与函数

一、变量与常量

1、变量：

在某一变化过程中，可以取不同的数值，级数值发生变化的量，叫做变量。

常量：

在某一变化过程中，取值（数值）始终保持不变的量，叫做常量。

2、注意事项：

（1）常量和变量是相对的，在不同的研究过程中有些是可以相互转化的；

（2）离开具体的过程抽象地说一个量是常量还是变量是不允许的；

（3）在各种关于变量、常量的例子中，变量之间有一定的依赖关系。

如三角形的面积，当底边一定时，高与面积之间是有关联的，不是各自随意变化。

二、函数概念

1、定义：

在某个变化过程中，如果有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数，其中x叫做自变量，y叫做因变量。

2、对函数概念的理解，主要抓住三点：

（1）有两个变量；

（2）一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；

（3）自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对应。

三、函数的表示法：

（1）列表法；

（2）图象法；（3）解析法。

四、求函数自变量的取值范围

1．实际问题中的自变量取值范围

按照实际问题是否有意义的要求来求。

2．用数学式子表示的函数的自变量取值范围

例1．求下列函数中自变量x的取值范围

（1）解析式为整式的，x取全体实数；

（2）解析式为分式的，分母必须不等于0式子才有意义；

（3）解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义；

（4）解析式是三次方根的，自变量的取值范围是全体实数。

3．函数值：

指自变量取一个数值代入解析式求出的数值，称为函数值；实际上就是以前学的求代数式的值。

§17.2函数的图象

一、平面直角坐标系

1、定义：

平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中水平的数轴叫做横轴（或x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴的交点O叫做原点。

在平面内，原点的右边为正，左边为负，原点的上边为正，下边为负。

2、坐标平面内被x轴、y轴分割成四个部分，按照“逆时针方向”分别为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限

注意：

x轴、y轴原点不属于任何象限。

3、平面直角坐标系中的点分别向x轴、y轴作垂线段，在x轴上垂足所显示的数称为该点的横坐标，在y轴上垂足所显示的数称为该点的纵坐标。

点的坐标反映的是一个点在平面内的位置。

写坐标的规则：

横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，全部用小括号括起来。

如P（3，2）横坐标为3，纵坐标为2。

特别注意坐标的顺序不同，表示的就是不同位置的点。

所以点的坐标是一对有顺序的实数，称为有序实数对。

4、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应。

5、坐标的特征

（1）在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数；在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数；

在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数；在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数；

（2）x轴上点的纵坐标等于零；y轴上点的横坐标等于零．

6、对称点的坐标特征

（1）关于x轴对称的两点：

横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反；

（2）关于y轴对称的两点：

横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；

（3）关于原点对称的两点：

横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值相等，符号相反。

（4）第一、三象限角平分线上点：

横坐标与纵坐标相同；

（5）第二、四象限角平分线上点：

横坐标与纵坐标互为相反数。

7、点到两坐标轴的距离

点A（a，b）到x轴的距离为|b|，点A（a，b）到y轴的距离为|a|。

二、函数的图象

1、意义：

对于一个函数，如果把自变量x与函数值y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象。

2、作函数图象的方法：

描点法。

步骤：

（1）列表；

（2）描点；（3）连线。

3、一般函数作图象，要求横轴和纵轴上的单位长度一定要一致，按照对应的解析式先计算出一对对应值，就是坐标，然后描点，再连线；画实际问题的图象时，必须先考虑函数自变量的取值范围．有时为了表达的方便，建立直角坐标系时，横轴和纵轴上的单位长度可以不一致。

§17.3一次函数

一、一次函数的概念

之所以称为一次函数，是因为它们的关系式是用一次整式表示的。

学习此概念要从两个方面来理解。

（1）从其表达式上：

一次函数通常是指形如：

y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，凡是成这种形式的函数都是一次函数。

而当b=0时，即y=kx（k≠0的常数），则称为正比例函数，其中k为比例系数。

（2）从其意义上：

它们表示的是两个变量之间的关系，这种函数关系具有特定的意义，如，如果说两各变量之间具有一次函数关系，我们就可按照概念设出函数关系式，成正比例关系的也同样，如，若s与t成正比例关系，我们便可设s=kt（k≠0，t为自变量）

“正比例函数”与“成正比例”的区别：

正比例函数一定是y=kx这种形式，而成正比例则意义要广泛得多，它反映了两个量之间的固定正比例关系，如a+3与b-2成正比例，则可表示为：

a+3=k（b-2）（k≠0）

二、一次函数的图象

正比例函数和一次函数的图象都是一条直线，所以对于其解析式也称为“直线y=kx+b，直线y=kx”。

因为一次函数的图象是一条直线，所以在画一次函数的图象时，只要描出两个点，在通过两点作直线即可。

1、画正比例函数y=kx（k≠0的常数）的图象时，只需要这两个特殊点：

（0，0）和（1，k）两点；

2、画一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象时，只需要找出它与坐标轴的两个交点即可。

一次函数与x轴的交点坐标是：

（0，b），与y轴的交点坐标是：

（－bk，0）

3、若两个不同的一次函数的一次项的系数相同，则这它们的图象平行。

4、将y=kx的图象沿着沿着轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|各单位长度即可得到y=kx+b。

5、求两一次函数的交点坐标：

联立解两各函数解析式得到的二元一次方程组，求的自变量x的值为交点的横坐标，求出的y的值为交点的纵坐标。

三、一次函数的性质

一次函数的性质是由k来决定的。

1、正比例函数y=kx（k≠0的常数）的性质

（1）当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，这时函数图象从左到右上升。

（2）当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小，这时函数图象从左到右下降。

2、一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的性质

（1）当k>0时，①当b>0时，图象经过一、三、二象限，y随x的增大而增大，这时函数图象从左到右上升。

②当b<0时，图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大，这时函数图象从左到右上升。

（2）当k<0时，①当b>0时，图象经过二、四、一象限，y随x的增大而减小，这时函数图象从左到右下降。

②当b<0时，图象经过二、四、一象限，y随x的增大而减小，这时函数图象从左到右下降。

四、确定正比例函数好一次函数的解析式

1、意义：

（1）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数y=kx（k≠0的常数）中的常数k；

（2）确定一个一次函数，需要确定一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）中常数k和b。

2、待定系数法

（1）先设待求函数关系式（其中含有未知的系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。

（2）用待定系数法求函数关系式的一般方法：

①设出含有待定系数的函数关系式；②把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数方程（组）；③解方程（组），求出待定系数；④将求得的待定系数的值代回所设的关系式中，从而确定出函数关系式。

五、一次函数（正比例函数）的应用。

与方程的应用差不多，注意审题步骤。

§17.4反比例函数

一、反比例函数

1、定义：

形如y=kx（k≠0的常数）的函数叫做反比例函数。

2、对于反比例函数：

（1）掌握其形式y=kx，且k为常数，同时不能为0；等号左边是函数y，右边是一个分式，分子是一个不为0的常数，分母是自变量x，若把反比例函数写成y=kx-1，则x的系数为-1；自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数y的取值范围也是不为0的一切实数；

（2）将y=kx转化为xy=k，由此可得反比例函数中的两个变量的积为定值，即某两个变量的积为一定值时，则这两个变量就成反比例关系。

（3）“反比例函数”与“成反比例”之间的区别在于，前者是一种函数关系，而后者是一种比例关系，不一定是反比例函数，如说s与t2成反比例，可设为s=kt2（k≠0的常数），但这显然不是反比例函数。

二、用待定系数法求反比例函数表达式。

由于反比例函数y=kx中只有一个待定系数，因此只需要一组对应值，即可求k的值，从而确定其表达式。

三、反比例函数的图象

1、意义：

（1）名称：

双曲线，它有两个分支，分别位于一、三或二、四象限；

（2）这两个分支关于原点成中心对称；

（3）由于反比例函数自变量x≠0，函数y≠0，所以反比例函数的图象与x轴和y轴都没有交点，无限接近坐标轴，永远不能到达坐标轴。

2、画法（描点法）：

（1）列表。

自变量的值应在0的两边取值，各取三各以上，共六对互为相反数的数对，填y值时，只需计算出自变量对应的函数值即可。

（2）描点：

先画出反比例函数一侧（即一个象限内的分支），在对称地画出另一侧（另一分值）；（3）连线：

按照从左到右的顺序用平滑曲线连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不能与坐标轴相交。

四、反比例函数y=kx的性质

1、性质：

（1）当k>0时，图象的两个分支位于一、三

象限,在每个象限内，y随x的增大而减小；

（2）当k<0时，图象的两个分支位于二、四

象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；

注意：

不能笼统地说反比例函数的“y随x的增大而增大或减小”，必须注意是在“各自的象限内”

2、反比例函数的表达式中的几何意义

如图所示，若点A是反比例函数y=kx上的点，且AB垂直于x轴，垂足为B，AC垂直于y轴，

垂足为C，则S矩形ABOC=|k|，S△AOB=S△AOC=12S矩形ABOC=12|k|

五、反比例函数的应用。

注意联系实际问题和用解决方程应用题的思路。