高考导数专题含详细解答.docx

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高考导数专题含详细解答

导数及其应用

导数的运算

1.几种常见的函数导数：

、（c为常数）；、（）；、=；、=；、；、；、；、.

2.求导数的四则运算法则：

；；注：

①必须是可导函数.

3.复合函数的求导法则：

或

一、求曲线的切线（导数几何意义）

导数几何意义：

表示函数在点（，）处切线L的斜率；

函数在点（，）处切线L方程为

1.曲线在点处的切线方程为（ ）。

A:

 B:

 C:

 D:

答案详解B正确率:

69%,易错项:

C

解析:

本题主要考查导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。

对求导得，代入得即为切线的斜率，切点为，所以切线方程为即。

故本题正确答案为B。

2.

变式一：

3.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）

A．　　　B．　　　C．　　　　D．

4.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是（）

A.B.C.D.

变式二：

5.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.

6.设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为.

7.已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是

A、[0,）B、C、D、

变式三：

8.已知直线y=x＋1与曲线相切，则α的值为（）

A.1B.2C.－1D.－2

9.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（）

A．或B．或C．或D．或

10.若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则

A、64B、32C、16D、8

11.（本小题满分13分）设.（）求在上的最小值；

（）设曲线在点的切线方程为；求的值.

12.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是.

二、求单调性或单调区间

1、利用导数判定函数单调性的方法：

设函数在某个区间D内可导，

如果＞0，则在区间D上为增函数；

如果＜0，则在区间D上为减函数；

如果=0恒成立，则在区间D上为常数.

2、利用导数求函数单调区间的方法：

不等式＞0的解集与函数定义域的交集，就是的增区间；不等式＜0的解集与函数定义域的交集，就是的减区间.

1、函数的单调递增区间是（）

A.B.（0,3）C.（1,4）D.

2.函数的单调减区间为.

3.已知函数，，讨论的单调性。

答案详解由题意，的定义域是，所以有。

设，二次方程的的判别式 。

当，即时，对一切都有。

此时，在上是增函数；

当时，，此时在上也是增函数；

当，，即时，方程有两个不同的实根，，，。

此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。

解析:

本题主要考查导数在研究函数中的应用。

本题的难点在于参数分类的讨论，如何做到不重不漏。

首先在定义域的情况下，对函数求导，在求极值的过程中，会涉及到二次方程的根个数问题，要针对判别式进行分类讨论，在极值为两个的情况下，讨论其与定义域的关系，并根据导数与函数增减性的关系，列表求得函数增减性。

4.已知函数。

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线的斜率；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。

答案详解（Ⅰ）当时，，，故。

所以曲线在点处的切线的斜率为。

（Ⅱ）。

令，解得或，由知，。

以下分两种情况讨论：

（1）若，则。

当变化时，的变化情况如下表：

所以在内是增函数，在内是减函数；函数在处取得极大值， 且；函数在处取得极小值，且。

（2）若，则。

当变化时，的变化情况如下表：

所以在内是增函数，在内是减函数；函数在处取得极大值，且；函数在处取得极小值，且。

解析:

本题主要考查利用导数判断函数单调性。

（Ⅰ）求出这种情况下，函数在处的导数，即为切线斜率。

（Ⅱ）首先求解出极值，然后对参数进行分类讨论，使用列表法，对函数和导数列表，列出函数的单调区间和极值。

三、求函数的极值与最值

1、极值的判别方法：

当函数在点处连续时，

①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；

②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.

也就是说是极值点的充分条件为点两侧导数异号，而不是=0.

2、最值的求法：

求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求f（x）在区间（a，b）内的极值（极大值或极小值）；

（2）将y=f（x）的各极值与端点处的函数值f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.

注：

极值与最值的区别：

极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

1.设函数，则（）

A.为的极大值点B.为的极小值点

C.为的极大值点D.为的极小值点

答案详解D正确率:

53%,易错项:

B解析:

本题主要考查函数极值的计算。

令导函数求得，且在上小于零，在上大于零，则在上单调递减，在上单调递增，为的极小值点。

2.函数在处取得极小值.

3.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）

设其中，曲线在点处的切线垂直于轴.

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的极值.

4.（本小题满分13分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：

千克）与销售价格x（单位：

元/千克）满足关系式，其中3

（I）求a的值.

（II）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

5．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜

边的两个端点，设.

（1）某广告商要求包装盒的侧面积S最大，试问应取何值？

（2）某厂商要求包装盒的容积V最大，试问应取何值？

并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

答案详解

（1），所以时侧面积最大。

（2），所以。

当时，递增，当时，递减，所以，当时，最大。

此时，包装盒的高与底面边长的比值为。

解析:

本题主要考查函数和配方法求函数最值的方法。

（1）由图写出侧面积的函数表达式，再对表达式化简、配方，即可求得取最大值对应的值。

（2）由图写出容积的函数表达式，再通过对函数求导，判断函数的单调性，从而求得取最大值对应的值，再求解高与底面边长的比值即可。

四、判断函数的零点

1.函数f（x）=的零点所在的一个区间是

A.（－2，－1）；B.（－1,0）；C.（0,1）；D.（1,2）

答案详解B正确率:

64%,易错项:

C解析:

本题主要考查连续函数的性质。

由于是连续函数，且在上单调递增，根据零点附近函数值符号相反，可采用代入排除的方法求解。

A项，故A项错误；

B项，，则零点定理知有零点在区间上，故B项正确；

C项，故C项错误；D项，故D项错误。

综上所述：

符合题意的是B项。

故本题正确答案为B。

2.设函数则（）

A.在区间内均有零点；B.在区间内均无零点；

C.在区间内有零点，在区间内无零点；D.在区间内无零点，在区间内有零点.

答案详解D正确率:

33%,易错项:

C

解析:

本题主要考查导数的应用。

定义域为，先对求导，，解得在单调递减，单调递增。

讨论上，在其上单调，，，故在上无零点；讨论上，在其上单调，，，故在上有零点。

故本题正确答案为D。

易错项分析：

零点存在定理不熟悉导致易错；零点存在定理适应于连续函数在给定区间里的零点问题，局限于判断在给定区间是否有零点，而对于在给定的区间有多少个零点却无法处理。

3.已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝

A.－2或2；B.－9或3；C.－1或1；D.－3或1

答案详解A正确率:

53%,易错项:

C解析:

本题主要考查导数在函数中应用。

对函数求导，得到函数的增减性和极值，作出函数图象。

由图可知，当函数取极大值和极小值时，有两个横坐标与之对应。

极大值为2，极小值为－2。

可知，。

故本题正确答案为A。

4.16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知是实数，1和是函数的两个极值点．

（1）求和的值；

（2）设函数的导函数，求的极值点；

（3）设，其中，求函数的零点个数．

答案详解

（1）由题设知，且，，解得。

（2）由

（1）知，因为，所以的根为，，

于是函数的极值点只可能是或。

当时，，

当时，，故是的极值点，

当或时，，故不是的极值点，所以的极值点为。

（3）由

（1）知，其函数图象如下图所示，

先讨论（）的零点，即与的交点的个数：

时，由图象得的零点为和；

时，由图象得的零点为和；

时，由图象得的零点为，，；

时，由图象得的零点分别在，，三个区间内；

时，由图象得的零点分别在，，三个区间内。

令，现在考虑（）的零点：

当时，有两个根和，而有三个不同的根，分别在，，三个区间内，有两个不同的根和，故有个零点。

当时，有两个根和，而有三个不同的根，分别在，，三个区间内，有两个不同的根和，故有个零点。

当时，有三个不同的根，，，满足，，，，而（，，）有三个不同的根，故有个零点。

综上可知，当时，函数有个零点；当时，函数有个零点。

解析:

本题主要考查导数在研究函数中的应用。

（1）对函数求导，代入极值点使该点处导数值为，得到关于的方程组，解出的值。

（2）由

（1）问所得的，求出的表达式，令其等于求极值点。

验证极值点真假后列出结果。

（3）先结合图象分类讨论（）的零点，再令，分类讨论（）的零点。

五、导数与图像

1．函数在区间上的图象如图所示，则的值可能是

A．B．C．D．

2.若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（）

y

A．B．C．D．

3.【2010江西理数】如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为

六、导数与不等式

利用导数求解（证明）不等式主要方法是：

将不等式左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数，通过对求导，根据的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明.

1.若，则＞0的解集为

A．B.C.D.

答案详解C正确率:

50%,易错项:

B解析:

本题主要考查导数的运算和不等式的解法。

本题的易错点是容易忽视函数的定义域。

的定义域为，，即，结合解得。

故本题正确答案为C。

易错项分析：

本题的易错点是容易忽视函数的定义域，忽视在对数函数中真数要大于的隐含条件，从而在解不等式时出现负数，使函数没有意义，这是解对数不等式以及对数函数有关的问题时常见的错误。

2.函数f（x）的定义域为R，f（－1）=2，对任意x∈R，，

则f（x）＞2x＋4的解集为

A.（－1，1）B.（－1，＋）C.（－，－1）D.（－，＋）

3.本小题满分12分）设函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若，求不等式的解集．

4.设函数有两个极值点、且，。

（1）求、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点和区域；

（2）证明：

。

答案

（1），依题意知，方程有两个根，且等价于

，，，。

由此得满足的约束条件为

满足这些条件的点的区