数列通项公式和求和公式总结.docx
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数列通项公式和求和公式总结
一公式法例1数列是等差数列,数列是等比数列,数列中对于任何都有分别求出此三个数列的通项公式.
二利用与的关系例2若数列的前项和为求的通项公式.
三累加法例3数列中已知,求的通项公式.
四累乘法例4数列中已知,求的通项公式.
五构造法例5①数列中已知,求的通项公式;②数列中已知,求的通项公式.③数列中已知是数列的前项和,且,求的通项公式
一利用公式例6等比数列的前项和求的值.
二分组求和例7求数列的前项和.
三错位相减例8求和
四裂项相消例9求和
五倒序相加例10设,求和
1.求数列,的前项和.
2已知，求的前n项和.
3.求数列a,2a2,3a3,4a4,…,nan,…（a为常数）的前n项和。
4.求证：
5.求数列，，，…，，…的前n项和S
6.数列{an}：
，求S2002.
7.求数5，55，555，…，55…5的前n项和Sn
8.已知数列是等差数列，且，求的值.
9.已知数列的通项公式为求它的前n项的和.
10.在数列中，证明数列是等差数列，并求出Sn的表达式.
11.数列为正数的等比数列，它的前n项和为80，前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54.求其首项a1与公比q.
12.已知数列求.
13.设为等差数列，Sn为数列的前n项和，已知S7=7,S15=75.记Tn为数列的前n项和，求Tn.
14.求数列的前项和
15.已知：
.求.
16.求和.
17.，求。
18.设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…．（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式。
19.已知数列：
，求的值。
20.求和:
21.求数列的前项和：
22.求数列的前项和。
24.求的值。
25.已知数列的通项公式，求它的前n项和.
26.已知数列的通项公式求它的前n项和.
27.求和：
28.已知数列
30.解答下列问题：
（I）设
（1）求的反函数
（2）若
（3）若
31.设函数求和：
32.已知数列的各项为正数，其前n项和，（I）求之间的关系式，并求的通项公式；（II）求证
33.已知数列{}的各项分别为的前n项和.
34．已知数列{}满足：
的前n项和
.
35．设数列{}中，中5的倍数的项依次记为
，（I）求的值.（II）用k表示，并说明理由.
（III）求和：
36．数列{}的前n项和为，且满足（I）求与的关系式，并求{}的通项公式；（II）求和
37．将等差数列{}的所有项依次排列，并如下分组：
（），（），（），…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n组有项，记Tn为第n组中各项的和，已知T3=-48，T4=0，（I）求数列{}的通项公式；（II）求数列{Tn}的通项公式；（III）设数列{Tn}的前n项和为Sn，求S8的值.
39.
（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（i）当时，求的数值；（ii）求的所有可能值．
（2）求证：
对于给定的正整数（），存在一个各项与公差均不为零的等差数列
，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
40.某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：
一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：
每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？
（取）
答案：
1.设则
两式相减得
∴.
2.解：
由由等比数列求和公式得＝＝＝1－
3.解：
若a=0,则Sn=0若a=1,
则Sn=1+2+3+…+n=
若a≠0且a≠1则Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+nan
∴aSn=a2+2a3+3a4+…+nan+1
∴（1-a）Sn=a+a2+a3+…+an-nan+1=
∴Sn=
当a=0时，此式也成立。
∴Sn=
5.解：
∵=）
Sn=
=
=
6.解：
设S2002＝
由可得
……
∵（找特殊性质项）
∴ S2002＝（合并求和）
＝
＝
＝
＝5
7.
n
解：
因为55…5=
n
所以Sn=5+55+555+…+55…5
=
=
=
解析：
根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。
另外：
Sn=
可以拆成：
Sn=（1+2+3+…+n）+（）
8.∵为等差数列，且1+17=5+13，
∴.由题设易知=117.
又为与的等差中项，∴.
9.（裂项）
于是有
方程组两边相加，即得
10.【证明】∵∴.
化简，得Sn-1－Sn=2SnSn-1
两边同除以.SnSn-1，得
∴数列是以为首项，2为公差的等差数列.
∴∴
11.∵∴此数列为递增等比数列.故q≠1.
依题设，有
②÷①，得④
④代入①，得⑤
⑤代入③，得⑥
④代入⑥，得,再代入③，得a1=2,再代入⑤，得q=3.
12.令（裂项）
故有=.
13.设等差数列的公差为d，则（I）
∵∴
解得
代入（I）得（II）
∵
∴数列是首项为－2，公差为的等差数列，∴
14.解：
Sn=
15.当为正奇数时，
当为正偶数时，
综上知，注意按的奇偶性讨论！
16.
17.解：
因为
所以
18.解：
（Ⅰ）当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，
于是（a1－1）2－a1（a1－1）－a1＝0，解得a1＝．
当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，
于是（a2－）2－a2（a2－）－a2＝0，解得a1＝．
（Ⅱ）由题设（Sn－1）2－an（Sn－1）－an＝0，
即 Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得
Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ①
由（Ⅰ）知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝．
由①可得S3＝．
由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…．
下面用数学归纳法证明这个结论．
（i）n＝1时已知结论成立．
（ii）假设n＝k时结论成立，即Sk＝，
当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，
故n＝k＋1时结论也成立．
综上，由（i）、（ii）可知Sn＝对所有正整数n都成立．
于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
又n＝1时，a1＝＝，所以
｛an｝的通项公式an＝，n＝1，2，3，…．
19.解：
∵（找通项与特征）
（设制分组）
（裂项）
∴（分组、裂项求和）
20.解:
原式=
=
=
21.解：
设
将其每一项拆开再重新组合得
当时，＝
当时，＝
22.解：
设
∴＝
将其每一项拆开再重新组合得
24.解：
设………….①
将①式右边反序得
……②（反序）
又
①+②得（反序相加）
∴
25.
=
=
26.
27.注意：
数列的第n项“n·1”不是数列的通项公式，记这个数列为，
∴其通项公式是
28.为等比数列，∴应运用错位求和方法：
29.
而运用反序求和方法是比较好的想法，
①，
②，
①+②得
30.
（1）
（2）是公差为9的等差数列，
（3）
31.
①当n为偶数时
=
②当n为奇数时
32.（I）①，而②，
①—②得
的等差数列，
（II）
33.
（1）
（2）当
①
②当时，1）当n为奇数时
2）当n为偶数时
34．当
而
①
②，
①－②得
35．（I）
（II）
（III）
36．（I）
（II）
37．（I）设{}的公差为d，则①，②，解①、②得
（II）当时，在前n－1组中共有项数为
∴第n组中的
（III）
38.解析：
因为，
，
。
39.
（1）①当n=4时,中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。
若删去，则，即化简得，得
若删去，则，即化简得，得
综上，得或。
②当n=5时,中同样不可能删去，否则出现连续三项。
若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；
当n≥6时，不存在这样的等差数列。
事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。
（或者说：
当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项）
综上所述，。
（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得（*）
由知，与同时为0或同时不为0
当与同时为0时，有与题设矛盾。
故与同时不为0，所以由（*）得
因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。
于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。
例如n项数列1，，，……，满足要求。
40.解析：
甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，
①甲方案获利：
（万元），
银行贷款本息：
（万元），
故甲方案纯利：
（万元），
②乙方案获利：
（万元）；
银行本息和：
（万元）
故乙方案纯利：
（万元）；
综上可知，甲方案更好。
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