二元一次方程代入法过程.docx

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二元一次方程代入法过程

二元一次方程代入法过程

（经典版）

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序言

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二元一次方程代入法过程

　　这是二元一次方程代入法过程，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

　　二元一次方程代入法过程第1篇

　　代入消元法

（1）等量代换：

从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y），用另一个未知数（如x）的代数式表示出来，即将方程写成y=ax+b的形式;

（2）代入消元：

将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程;

　　（3）解这个一元一次方程，求出x的值;

　　（4）回代：

把求得的x的值代入y=ax+b中求出y的值，从而得出方程组的解;

　　（5）把这个方程组的解写成x=cy=d的形式。

　　换元法

　　解一些复杂的问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化。

该方法在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面能起到独到作用。

　　加减消元法

（1）变换系数：

利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等;

（2）加减消元：

把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程;

　　（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值;

　　（4）回代：

将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值;

　　（5）把这个方程组的解写成x=cy=d的形式。

　　二元一次方程代入法过程第2篇

　　教学建议

　　一、重点、难点分析

　　本节的教学重点是使学生学会用代入法．教学难点在于灵活运用代入法，这要通过一定数量的练习来解决；另一个难点在于用代入法求出一个未知数的值后，不知道应把它代入哪一个方程求另一个未知数的值比较简便．

　　解二元一次方程组的关键在于消元，即将“二元”转化为“一元”．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．

　　二、知识结构

　　三、教法建议

　　1．关于检验方程组的解的问题．教材指出：

“检验时，需将所求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是不是相等．”教学时要强调“原方程组”和“每一个”这两点．检验的作用，一是使学生进一步明确代入法是求方程组的解的一种基本方法，通过代入消元的确可以求得方程组的解二是进一步巩固二元一次方程组的解的概念，强调

　　这一对数值才是原方程组的解，并且它们必须使两个方程左、右两边的值都相等；三是因为我们没有用方程组的同解原理而是用代换（等式的传递）来解方程组的，所以有必要检验求出来的这一对数值是不是原方程组的解；四是为了杜绝变形和计算时发生的错误．检验可以口算或在草稿纸上演算，教科书中没有写出．

　　2．教学时，应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元，即把“二元”转化为“一元”．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法，这样，学生就能有较强的目的性．

　　3．教师讲解例题时要注意由简到繁，由易到难，逐步加深．随着例题由简到繁，由易到难，要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易．这样不仅可以求解迅速，而且可以减少错误．

　　一、素质教育目标

（一）知识教学点

　　1．掌握用代入法解二元一次方程组的步骤．

　　2．熟练运用代入法解简单的二元一次方程组．

（二）能力训练点

　　1．培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较简单的方程进行变形．

　　2．训练学生的运算技巧，养成检验的习惯．

　　（三）德育渗透点

　　消元，化未知为已知的数学思想．

　　（四）美育渗透点

　　通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美．

　　二、学法引导

　　1．教学方法：

引导发现法、练习法，尝试指导法．

　　2．学生学法：

在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法．

　　三、重点、难点、疑点及解决办法

　　（－）重点

　　使学生会用代入法解二元一次方程组．

（二）难点

　　灵活运用代入法的技巧．

　　（三）疑点

　　如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．

　　（四）解决办法

　　一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形：

　　四、课时安排

　　一课时．

　　五、教具学具准备

　　电脑或投影仪、自制胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　1．教师设问怎样用一个未知量表示另一个未知量，并比较哪种表示形式更简单，如等．

　　2．通过课本中香蕉、苹果的应用问题，引导学生列出一元一次方程或二元一次方程组，并通过比较、尝试，探索出化二元为一元的解方程组的方法．

　　3．再通过比较、尝试，探索出选一个系数较简单的方程变形，通过代入法求方程组解的办法更简便，并寻找出求解的规律．

　　七、教学步骤

　　（－）明确目标

　　本节课我们将学习用代入法求二元一次方程组的解．

（二）整体感知

　　从复习用一个未知量表达另一个未知量的方法，从而导入运用代入法化二元为一元方程的求解过程，即利用代入消元法求二元一次方程组的解的办法．

　　（三）教学步骤

　　1．创设情境，复习导入

（1）已知方程，先用含的代数式表示，再用含的代数式表示．并比较哪一种形式比较简单．

（2）选择题：

　　二元一次方程组的解是

　　A．　B．　C．　D．

　　【教法说明】第

（1）题为用代入法解二元一次方程组打下基础；第

（2）题既复习了上节课的重点，又成为导入新课的'材料．

　　通过上节课的学习，我们会检验一对数值是否为某个二元一次方程组的解．那么，已知一个二元一次方程组，应该怎样求出它的解呢？

这节课我们就来学习．

　　这样导入，可以激发学生的求知欲．

　　2．探索新知，讲授新课

　　香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？

　　学生活动：

分别列出一元一次方程和二元一次方程组，两个学生板演．

　　设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，根据题意，得

　　设买了香蕉千克，买了苹果千克，得

　　上面的一元一次方程我们会解，能否把二元一次方程组转化为一元一次方程呢，由方程①可以得到③，把方程②中的转换成，也就是把方程③代入方程②，就可以得到．这样，我们就把二元一次方程组转化成了一元一次方程，由这个方程就可以求出了．

　　解：

由①得：

③

　　把③代入②，得：

　　∴

　　把代入③，得：

　　∴

　　【教法说明】解二元一次方程组与解一元一次方程相比较，向学生展示了知识的发生过程，这对于学生知识的形成十分重要．

　　上面解二元一次方程组的方法，就是代入消元法．你能简单说说用代入法解二元一次方程组的基本思路吗？

　　学生活动：

小组讨论，选代表发言，教师进行指导．纠正后归纳：

设法消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．

　　例1解方程组

（1）观察上面的方程组，应该如何消元？

（把①代入②）

（2）把①代入②后可消掉，得到关于的一元一次方程，求出．

　　（3）求出后代入哪个方程中求比较简单？

（①）

　　学生活动：

依次回答问题后，教师板书

　　解：

把①代入②，得

　　∴

　　把代入①，得

　　∴

　　如何检验得到的结果是否正确？

　　学生活动：

口答检验．

　　教师：

要把所得结果分别代入原方程组的每一个方程中．

　　【教法说明】给出例1后提出的三个问题，恰好是学生的思维过程，明确了解题思路；教师板演例1，规范了解二元一次方程组的解题格式；通过检验，可使学生养成严谨认真的学习习惯．

　　例2解方程组

　　要把某个方程化成如例1中方程①的形式后，代入另一个方程中才能消元．方程②中的系数是1，比较简单．因此，可以先将方程②变形，用含的代数式表示，再代入方程①求解．

　　学生活动：

尝试完成例2．

　　教师巡视指导，发现并纠正学生的问题，把书写过程规范化．

　　解：

由②，得③

　　把③代入①，得

　　∴

　　∴

　　把代入③，得

　　∴

　　∴

　　检验后，师生共同讨论：

（1）由②得到③后，再代入②可以吗？

（不可以）为什么？

（得到的是恒等式，不能求解）

（2）把代入①或②可以求出吗？

（可以）代入③有什么好处？

（运算简便）

　　学生活动：

根据例1、例2的解题过程，尝试总结用代入法解二元一次方程组的一般步骤，讨论后选代表发言．之后，看课本第12页，用几个字概括每个步骤．

　　教师板书：

（1）变形（）

（2）代入消元（）

　　（3）解一元一次方程得（）

　　（4）把代入求解

　　练习：

P131．

（1）

（2）；P142．

（1）

（2）．

　　3．变式训练，培养能力

　　①由可以得到用表示．

　　②在中，当时，；当时，，则；．

　　③选择：

若是方程组的解，则（　）

　　A．　B．　C．　D．

　　（四）总结、扩展

　　1．解二元一次方程组的思想：

．

　　2．用代入法解二元一次方程组的步骤．

　　3．用代入法解二元一次方程组的技巧：

①变形的技巧②代入的技巧．

　　通过这节课的学习，我们要熟练运用代入法解二元一次方程组，并能检验结果是否正确．

　　八、布置作业

（一）必做题：

P15　1．

（2）（4），2．

（1）

（2）（3）（4）．

（二）选做题：

P15　B组1．

　　参考答案

（一）1．

（2）　（4）

　　2．

（1）　

（2）　（3）　（4）

（二），

　　二元一次方程代入法过程第3篇

　　教学目标：

　　１、会用代入法解二元一次方程组

　　２、会阐述用代入法解二元一次方程组的基本思路——通过“代入”达到“消元”的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。

　　此外，在用代入法解二元一次方程组的知识发生过程中，让学生从中体会“化未知为已知”的重要的数学思想方法。

　　引导性材料：

　　本节课，我们以上节课讨论的求甲、乙骑自行车速度的问题为例，探求二元一次方程组的解法。

前面我们根据问题“甲、乙骑自行车从相距６０千米的两地相向而行，经过两小时相遇。

已知乙的速度是甲的速度的２倍，求甲、乙两人的`速度。

”设甲的速度为Ｘ千米／小时，由题意可得一元一次方程２（Ｘ＋２Ｘ）＝６０；设甲的速度为Ｘ千米／小时，乙的速度为Ｙ千米／小时，由题意可得二元一次方程组２（Ｘ＋Ｙ）=６０

　　Y=2X观察

　　２（Ｘ＋２Ｘ）＝６０与２（Ｘ＋Ｙ）=６０①

　　Y=2X②有没有内在联系？

有什么内在联系？

　　（通过较短时间的观察，学生通常都能说出上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系——把方程①中的“Ｙ”用“２Ｘ”去替换就可得到一元一次方程。

）

　　知识产生和发展过程的教学设计

　　问题１：

从上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系的研究中，我们可以得到什么启发？

把方程①中的“Ｙ”用“２Ｘ”去替换，就是把方程②代入方程①，于是我们就把一个新问题（解二元一次方程组）转化为熟悉的问题（解一元一次方程）。

　　解方程组２（Ｘ＋Ｙ）=６０①

　　Y=2X②

　　解：

把②代入①得：

　　２（Ｘ＋２Ｘ）＝６０，

　　６Ｘ＝６０，

　　Ｘ＝１０

　　把Ｘ＝１０代入②，得

　　Ｙ＝２０

　　因此：

Ｘ＝１０

　　Ｙ＝２０

　　问题２：

你认为解方程组２（Ｘ＋Ｙ）=６０①

　　Y=2X②的关键是什么？

那么解方程组

　　Ｘ＝２Ｙ＋１

　　２Ｘ—３Ｙ＝４的关键是什么？

求出这个方程组的解。

　　上面两个二元一次方程组求解的基本思路是：

通过“代入”，达到消去一个未知数（即消元）的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫“代入消元法”，简称“代入法”。

　　问题３：

对于方程组２Ｘ＋５Ｙ＝－２１①

　　Ｘ＋３Ｙ＝８②能否像上述两个二元一次方程组一样，把方程组中的一个方程直接代入另一个方程从而消去一个未知数呢？

　　（说明：

从学生熟悉的列一元一次方程求解两个未知数的问题入手来研究二元一次方程组的解法，有利于学生建立新旧知识的联系和培养良好的学习习惯，使学生逐步学会把一个还不会解决的问题转化为一个已经会解决的问题的思想方法，对后续的解三无一次方程组、一元二次方程、分式方程等，学生就有了求解的策略。

）

　　例题解析

　　例：

用代入法将下列解二元一次方程组转化为解一元一次方程：

　　（１）Ｘ＝１－Ｙ①

　　３Ｘ＋２Ｙ＝５②

　　将①代入②（消去Ｘ）得：

　　３（１－Ｙ）＋２Ｙ＝５

　　（２）５Ｘ＋２Ｙ－２５.２＝０①

　　３Ｘ－５＝Ｙ②

　　将②代入①（消去Ｙ）得：

　　５Ｘ＋２（３Ｘ－５）－２５.２＝０

　　（３）２Ｘ＋Ｙ＝５①

　　３Ｘ＋４Ｙ＝２②

　　由①得Ｙ＝５－２Ｘ，将Ｙ＝５－２Ｘ代入②消去Ｙ得：

　　３Ｘ＋４（５－２Ｘ）＝２

　　（４）２Ｓ－Ｔ＝３①

　　３Ｓ＋２Ｔ＝８②

　　由①得Ｔ＝２Ｓ－３，将Ｔ＝２Ｓ－３代入②消去Ｔ得：

　　３Ｓ＋２（２Ｓ－３）＝８

　　课内练习：

　　解下列方程组。

　　（１）２Ｘ＋５Ｙ＝－２１（２）３Ｘ－Ｙ＝２

　　Ｘ＋３Ｙ＝８３Ｘ＝１１－２Ｙ

　　小结：

　　１、用代入法解二元一次方程组的关键是“消元”，把新问题（解二元一次方程组）转化为旧知识（解一元一次方程）来解决。

　　２、用代入法解二元一次方程组，常常选用系数较简单的方程变形，这用利于正确、简捷的消元。

　　３、用代入法解二元一次方程组，实质是数学中常用的重要的“换元”，比如在求解例（１）中，把①代入②，就是把方程②中的元“Ｘ”用“１－Ｙ”去替换，使方程②中只含有一个未知数Ｙ。

　　课后作业：

　　教科书第１４页练习题２（１）、（２）题，第１５页习题５.2A组２（１）、（２）、（４）题。

　　二元一次方程代入法过程第4篇

　　教学建议

　　一、重点、难点分析

　　本节的教学重点是使学生学会用代入法．教学难点在于灵活运用代入法，这要通过一定数量的练习来解决；另一个难点在于用代入法求出一个未知数的值后，不知道应把它代入哪一个方程求另一个未知数的值比较简便．

　　解二元一次方程组的关键在于消元，即将“二元”转化为“一元”．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．

　　二、知识结构

　　三、教法建议

　　1．关于检验方程组的解的问题．教材指出：

“检验时，需将所求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是不是相等．”教学时要强调“原方程组”和“每一个”这两点．检验的作用，一是使学生进一步明确代入法是求方程组的解的一种基本方法，通过代入消元的确可以求得方程组的解二是进一步巩固二元一次方程组的解的概念，强调

　　这一对数值才是原方程组的解，并且它们必须使两个方程左、右两边的值都相等；三是因为我们没有用方程组的同解原理而是用代换（等式的传递）来解方程组的，所以有必要检验求出来的这一对数值是不是原方程组的解；四是为了杜绝变形和计算时发生的错误．检验可以口算或在草稿纸上演算，教科书中没有写出．

　　2．教学时，应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元，即把“二元”转化为“一元”．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的'方法，这样，学生就能有较强的目的性．

　　3．教师讲解例题时要注意由简到繁，由易到难，逐步加深．随着例题由简到繁，由易到难，要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易．这样不仅可以求解迅速，而且可以减少错误．

　　一、素质教育目标

（一）知识教学点

　　1．掌握用代入法解二元一次方程组的步骤．

　　2．熟练运用代入法解简单的二元一次方程组．

（二）能力训练点

　　1．培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较简单的方程进行变形．

　　2．训练学生的运算技巧，养成检验的习惯．

　　（三）德育渗透点

　　消元，化未知为已知的数学思想．

　　（四）美育渗透点

　　通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美．

　　二、学法引导

　　1．教学方法：

引导发现法、练习法，尝试指导法．

　　2．学生学法：

在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程当中始终应抓住消元的思想方法．

　　三、重点、难点、疑点及解决办法

　　（－）重点

　　使学生会用代入法解二元一次方程组．

（二）难点

　　灵活运用代入法的技巧．

　　（三）疑点

　　如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．

　　（四）解决办法

　　一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形：

　　四、课时安排

　　一课时．

　　五、教具学具准备

　　电脑或投影仪、自制胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　1．教师设问怎样用一个未知量表示另一个未知量，并比较哪种表示形式更简单，如等．

　　2．通过课本中香蕉、苹果的应用问题，引导学生列出一元一次方程或二元一次方程组，并通过比较、尝试，探索出化二元为一元的解方程组的方法．

　　3．再通过比较、尝试，探索出选一个系数较简单的方程变形，通过代入法求方程组解的办法更简便，并寻找出求解的规律．

　　七、教学步骤

　　（－）明确目标

　　本节课我们将学习用代入法求二元一次方程组的解．

（二）整体感知

　　从复习用一个未知量表达另一个未知量的方法，从而导入运用代入法化二元为一元方程的求解过程，即利用代入消元法求二元一次方程组的解的办法．

　　（三）教学步骤

　　1．创设情境，复习导入

（1）已知方程，先用含的代数式表示，再用含的代数式表示．并比较哪一种形式比较简单．

（2）选择题：

　　二元一次方程组的解是

　　A．B．C．D．

　　第

（1）题为用代入法解二元一次方程组打下基础；第

（2）题既复习了上节课的重点，又成为导入新课的材料．

　　通过上节课的学习，我们会检验一对数值是否为某个二元一次方程组的解．那么，已知一个二元一次方程组，应该怎样求出它的解呢？

这节课我们就来学习．

　　这样导入，可以激发学生的求知欲．

　　2．探索新知，讲授新课

　　香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？

　　学生活动：

分别列出一元一次方程和二元一次方程组，两个学生板演．

　　设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，根据题意，得

　　设买了香蕉千克，买了苹果千克，得

　　上面的一元一次方程我们会解，能否把二元一次方程组转化为一元一次方程呢，由方程①可以得到③，把方程②中的转换成，也就是把方程③代入方程②，就可以得到．这样，我们就把二元一次方程组转化成了一元一次方程，由这个方程就可以求出了．

　　解：

由①得：

③

　　把③代入②，得：

　　∴

　　把代入③，得：

　　∴

　　解二元一次方程组与解一元一次方程相比较，向学生展示了知识的发生过程，这对于学生知识的形成十分重要．

　　上面解二元一次方程组的方法，就是代入消元法．你能简单说说用代入法解二元一次方程组的基本思路吗？

　　学生活动：

小组讨论，选代表发言，教师进行指导．纠正后归纳：

设法消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．

　　例1解方程组

（1）观察上面的方程组，应该如何消元？

（把①代入②）

（2）把①代入②后可消掉，得到关于的一元一次方程，求出．

　　（3）求出后代入哪个方程中求比较简单？

（①）

　　学生活动：

依次回答问题后，教师板书

　　解：

把①代入②，得

　　∴

　　把代入①，得

　　∴

　　如何检验得到的结果是否正确？

　　学生活动：

口答检验．

　　教师：