初二整式的乘法与因式分解知识点总结.docx

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初二整式的乘法与因式分解知识点总结

初二整式的乘法与因式分解知识点总结

初二整式的乘法与因式分解知识点总结（含答案解析）　知识点：

1.基本运算：

⑴同底数幂的乘法：

⑵幂的乘方：

⑶积的乘方：

2.整式的乘法：

⑴单项式单项式：

系数系数，同字母同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式多项式：

用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式多项式：

用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：

⑴平方差公式：

⑵完全平方公式：

；

4.整式的除法：

⑴同底数幂的除法：

⑵单项式单项式：

系数系数，同字母同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式单项式：

用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式多项式：

用竖式.5.因式分解：

把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：

⑴提公因式法：

找出最大公因式.⑵公式法：

①平方差公式：

②完全平方公式：

③立方和：

④立方差：

⑶十字相乘法：

⑷拆项法⑸添项法常考题：

一．选择题（共12小题）1．下列运算中，结果正确的是（　　）A．x3•x3=x6B．3x2+2x2=5x4C．（x2）3=x5D．（x+y）2=x2+y22．计算（ab2）3的结果是（　　）A．ab5B．ab6C．a3b5D．a3b63．计算2x2•（﹣3x3）的结果是（　　）A．﹣6x5B．6x5C．﹣2x6D．2x64．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（　　）A．a（x+y）=ax+ayB．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x5．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　）A．a2+（﹣b）2B．5m2﹣20mnC．﹣x2﹣y2D．﹣x2+96．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）A．x2+x+1B．x2+2x﹣1C．x2﹣1D．x2﹣6x+97．下列因式分解错误的是（　　）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+6x+9=（x+3）2C．x2+xy=x（x+y）D．x2+y2=（x+y）28．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（　　）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）9．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　）A．﹣3B．3C．0D．110．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b211．图

（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图

（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）A．abB．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b212．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（　　）A．（2a2+5a）cm2B．（6a+15）cm2C．（6a+9）cm2D．（3a+15）cm2　二．填空题（共13小题）13．分解因式：

3x2﹣27=　　．14．分解因式：

a2﹣1=　　．15．因式分解：

x2﹣9y2=　　．16．分解因式：

x3﹣4x=　　．17．因式分解：

a3﹣ab2=　　．18．分解因式：

x2+6x+9=　　．19．分解因式：

2a2﹣4a+2=　　．20．分解因式：

x3﹣6x2+9x=　　．21．分解因式：

ab2﹣2ab+a=　　．22．分解因式：

2a3﹣8a2+8a=　　．23．分解因式：

3a2﹣12ab+12b2=　　．24．若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n=　　．25．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为　　．　三．解答题（共15小题）26．计算：

（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）27．若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．28．已知：

a+b=3，ab=2，求下列各式的值：

（1）a2b+ab2

（2）a2+b2．29．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．

（1）求xy的值；

（2）求x2+3xy+y2的值．30．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．31．若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．32．分解因式：

（1）2x2﹣x；

（2）16x2﹣1；

（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；

（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．33．（2a+b+1）（2a+b﹣1）34．分解因式：

x3﹣2x2y+xy2．35．分解因式：

（1）a4﹣16；

（2）x2﹣2xy+y2﹣9．36．分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．37．分解因式

（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；

（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．38．因式分解

（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2；

（2）（a2+1）2﹣4a2．39．因式分解：

（1）3x﹣12x3

（2）6xy2+9x2y+y3．40．若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．　初二整式的乘法与因式分解知识点总结（含答案解析）参考答案与试题解析　一．选择题（共12小题）1．（2015•甘南州）下列运算中，结果正确的是（　　）A．x3•x3=x6B．3x2+2x2=5x4C．（x2）3=x5D．（x+y）2=x2+y2【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；

B、合并同类项得到结果，即可做出判断；

C、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；

D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．【解答】解：

A、x3•x3=x6，本选项正确；

B、3x2+2x2=5x2，本选项错误；

C、（x2）3=x6，本选项错误；

D、（x+y）2=x2+2xy+y2，本选项错误，故选A【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．　2．（2008•南京）计算（ab2）3的结果是（　　）A．ab5B．ab6C．a3b5D．a3b6【分析】根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．【解答】解：

（ab2）3=a3•（b2）3=a3b6．故选D．【点评】本题考查积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．　3．（2011•呼和浩特）计算2x2•（﹣3x3）的结果是（　　）A．﹣6x5B．6x5C．﹣2x6D．2x6【分析】根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．【解答】解：

2x2•（﹣3x3），=2×（﹣3）•（x2•x3），=﹣6x5．故选：

A．【点评】本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质．　4．（2005•茂名）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（　　）A．a（x+y）=ax+ayB．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．【解答】解：

A、是多项式乘法，故A选项错误；

B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故B选项错误；

C、提公因式法，故C选项正确；

D、右边不是积的形式，故D选项错误；

故选：

C．【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．　5．（2017春•薛城区期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　）A．a2+（﹣b）2B．5m2﹣20mnC．﹣x2﹣y2D．﹣x2+9【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是：

两项平方项，符号相反．【解答】解：

A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；

B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；

C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；

D、﹣x2+9=﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．故选：

D．【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点，两平方项的符号相反．　6．（2013•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）A．x2+x+1B．x2+2x﹣1C．x2﹣1D．x2﹣6x+9【分析】根据完全平方公式的特点：

两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：

A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；

B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；

C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；

D、x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故D正确．故选：

D．【点评】本题考查了用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记．　7．（2009•眉山）下列因式分解错误的是（　　）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+6x+9=（x+3）2C．x2+xy=x（x+y）D．x2+y2=（x+y）2【分析】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．【解答】解：

A、是平方差公式，故A选项正确；

B、是完全平方公式，故B选项正确；

C、是提公因式法，故C选项正确；

D、（x+y）2=x2+2xy+y2，故D选项错误；

故选：

D．【点评】本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．　8．（2015•菏泽）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（　　）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：

ax2﹣4ax+4a，=a（x2﹣4x+4），=a（x﹣2）2．故选：

A．【点评】本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．　9．（2016秋•南漳县期末）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　）A．﹣3B．3C．0D．1【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．【解答】解：

∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，又∵乘积中不含x的一次项，∴3+m=0，解得m=﹣3．故选：

A．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．　10．（2009•内江）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；

第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；

这两个图形的阴影部分的面积相等．【解答】解：

∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：

C．【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．　11．（2013•枣庄）图

（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图

（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）A．abB．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．【解答】解：

中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b=a﹣b，则面积是（a﹣b）2．故选：

C．【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．　12．（2012•枣庄）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（　　）A．（2a2+5a）cm2B．（6a+15）cm2C．（6a+9）cm2D．（3a+15）cm2【分析】大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积，据此即可求解．【解答】解：

矩形的面积是：

（a+4）2﹣（a+1）2=（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）=3（2a+5）=6a+15（cm2）．故选B．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，理解大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积是关键．　二．填空题（共13小题）13．（2015•黄石）分解因式：

3x2﹣27=　3（x+3）（x﹣3）　．【分析】观察原式3x2﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x2﹣9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．【解答】解：

3x2﹣27，=3（x2﹣9），=3（x+3）（x﹣3）．故答案为：

3（x+3）（x﹣3）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．　14．（2013•上海）分解因式：

a2﹣1=　（a+1）（a﹣1）　．【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：

a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【解答】解：

a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．故答案为：

（a+1）（a﹣1）．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．　15．（2013•邵阳）因式分解：

x2﹣9y2=　（x+3y）（x﹣3y）　．【分析】直接利用平方差公式分解即可．【解答】解：

x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）．【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．　16．（2017•大庆）分解因式：

x3﹣4x=　x（x+2）（x﹣2）　．【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：

x3﹣4x，=x（x2﹣4），=x（x+2）（x﹣2）．故答案为：

x（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．　17．（2016•乐山）因式分解：

a3﹣ab2=　a（a+b）（a﹣b）　．【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：

a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：

先提取公因式，然后再应用一次公式．本题考点：

因式分解（提取公因式法、应用公式法）．　18．（2013•三明）分解因式：

x2+6x+9=　（x+3）2　．【分析】直接用完全平方公式分解即可．【解答】解：

x2+6x+9=（x+3）2．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式法的结构特点是解题的关键．　19．（2017•咸宁）分解因式：

2a2﹣4a+2=　2（a﹣1）2　．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：

原式=2（a2﹣2a+1）=2（a﹣1）2．故答案为：

2（a﹣1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．　20．（2015•西藏）分解因式：

x3﹣6x2+9x=　x（x﹣3）2　．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：

x3﹣6x2+9x，=x（x2﹣6x+9），=x（x﹣3）2．故答案为：

x（x﹣3）2．【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．　21．（2008•大庆）分解因式：

ab2﹣2ab+a=　a（b﹣1）2　．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：

ab2﹣2ab+a，=a（b2﹣2b+1），=a（b﹣1）2．【点评】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解．　22．（2013•安顺）分解因式：

2a3﹣8a2+8a=　2a（a﹣2）2　．【分析】先提取公因式2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：

2a3﹣8a2+8a，=2a（a2﹣4a+4），=2a（a﹣2）2．故答案为：

2a（a﹣2）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．　23．（2013•菏泽）分解因式：

3a2﹣12ab+12b2=　3（a﹣2b）2　．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案．【解答】解：

3a2﹣12ab+12b2=3（a2﹣4ab+4b2）=3（a﹣2b）2．故答案为：

3（a﹣2b）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．　24．（2013•内江）若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n=　3　．【分析】将m2﹣n2按平方差公式展开，再将m﹣n的值整体代入，即可求出m+n的值．【解答】解：

m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=（m+n）×2=6，故m+n=3．故答案为：

3．【点评】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．　25．（2014•西宁）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为　70　．【分析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．【解答】解：

∵a+b=7，ab=10，∴a2b+ab2=ab（a+b）=70．故答案为：

70．【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．　三．解答题（共15小题）26．（2006•江西）计算：

（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）【分析】利用完全平方公式，平方差公式展开，再合并同类项．【解答】解：

（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x），=x2﹣2xy+y2﹣（y2﹣4x2），=x2﹣2xy+y2﹣y2+4x2，=5x2﹣2xy．【点评】本题考查完全平方公式，平方差公式，属于基础题，熟记公式是解题的关键，去括号时要注意符号的变化．　27．（2013春•苏州期末）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．【分析】由方程可得2x+5y=3，再把所求的代数式化为同为2的底数的代数式，运用同底数幂的乘法的性质计算，最后运用整体代入法求解即可．【解答】解：

4x•32y=22x•25y=22x+5y∵2x+5y﹣3=0，即2x+5y=3，∴原式=23=8．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．　28．（2009•十堰）已知：

a+b=3，ab=2，求下列各式的值：

（1）a2b+ab2

（2）a2+b2．【分析】

（1）把代数式提取公因式ab后把a+b=3，ab=2整体代入求解；

（2）利用完全平方公式把代数式化为已知的形式求解．【解答】解：

（1）a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6；

（2）∵（a+b）2=a2+2ab+b2∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab，=32﹣2×2，=5．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，完全平方公式，关键是将原式整理成已知条件的形式，即转化为两数和与两数积的形式，将a+b=3，ab=2整体代入解答．　29．（2015•张家港市模拟）若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．

（1）求xy的值；

（2）求x2+3xy+y2的值．【分析】

（1）先去括号，再整体代入即可求出答案；

（2）先变形，再整体代入，即可求出答案．【解答】解：

（1）∵x+y=3，（x+2）（y+2）=12，∴xy+2x+2y+4=12，∴xy+2（x+y）=8，∴xy+2×3=8，∴xy=2；

（2）∵x+y=3，xy=2，∴x2+3xy+y2=（x+y）2+xy=32+2=11．【点评】本题考查了整式的混合运算和完全平方公式的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．　30．（2014秋•德惠市期末）先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．【解答】解：

3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）=6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2=﹣20a2+9a，当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98．【点评】本题考查了整式的化简．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．　31．（2007•天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．【分析】根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值．【解答】解：

由a2﹣2a+1=0得（a﹣1）2=0，∴a=1；

把a=1代入=1+1=2．故答案为：

2．【点评】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a的值，是解决本题的关键．　32．（2012春•郯城县期末）分解因式：

（1）2x2﹣x；

（2）16x2﹣1；

（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；

（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．【分析】

（1）直接提取公因式x即可；

（2）利用平方差公式进行因式分解；

（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；

（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：

（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；

（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；

（3）6x