概率统计试题解析舒登科沙县金沙高级中学.docx
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概率统计试题解析舒登科沙县金沙高级中学
高中数学（学科）概率统计试题解析
舒登科沙县金沙高级中学
一、试题内容
【2015年新课标理科Ⅰ卷第19题】
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：
千元）对年销售量y（单位：
t）和年利润z（单位：
千元）的影响，对近8年的宣传费
和年销售量
数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6
56.3
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中
=
，
=
（I）根据散点图判断，
与
，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为
，根据（II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费
时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费
为何值时，年利润的预报值最大？
附：
对于一组数据
，……，
其回归线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
二、命题意图
本题是在统计案例的背景下所命制的一道实际应用问题，主要考查的是统计及统计案例这一部分的知识，属于中等题。
这部分知识主要考查数据处理能力和运算求解能力；大纲要求大多在了解这一层级上，即要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它；本题是在熟悉中考陌生，重思考，轻计算，注重通法，淡化技巧，强化思想，考查能力.
三、考点及考纲要求
考点要求：
（1）会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.
（2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）.
（3）用函数思想解决生活实际问题，模型意识.
考纲要求：
《全国考试大纲》、《全国考试说明》、《福建考试说明》内容要求的比较
（理科）
内容
福建考试说明要求
全国考试大纲要求
全国考试说明要求
统
计
能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（不要求记忆线性回归方程系数公式）
能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程
与福建考试说明要求相同（2015年试卷有提供公式）
四、解题过程
1.规范解答：
解：
（Ⅰ）由散点图可以判断，
适宜作为年销售量
关于年宣传费
的回归方程类型．
（Ⅱ）令
，先建立
关于
的线性回归方程．
由于
，
，
所以
关于
的线性回归方程为
，
因此
关于
的回归方程为
．
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当
时，年销售量
的预报值
，
年利润的预报值
．
②根据（Ⅱ）的结果知，年利润
的预报值
，
所以当
，即
时，
取得最大值．
故年宣传费为
千元时，年利润的预报值最大．
2.过程性分析：
（1）、原题背景贴近生活，学生容易理解，立足与统计概率的本质（利用模型的方法解决统计问题）；本题第一小问可以观察函数图像直接得出结论，考察了学生的数学顿悟和直觉能力，因为本题题目很长（文字有323个），在高考宝贵的特定时间内，也考察了学生阅读理解的能力；这一小题的送分不仅是对认真读题的同学的一个奖励，而且还为学生后续试题解答提供了信心，也便于把学生引入到更高层次的思维能力的考察。
第二小题，解法遵循先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数模型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，最终考察了学生的基础能力；在计算上，因为题目中给了斜率和截距的最小二乘估计公式中的一些相关数据，这些大大的减少了运算时间；这种考法反过来促使我们教师在平时上课时要多挖教材的应用价值，教学时要注重基础知识和基本能力的培养。
第三小题，既体现了数学源于生活又应用于生活，体现了数学的应用意识，第（i）问由第二小题的回归方程，求出销售量
，最后带入模型
，求出利润的预报值。
第（ii）问，体现了全国高考的特色将统计与概率和函数的融合，利用换元的方法，把
转化为二次函数模型，在利用二次函数解决了问题。
3．试题的重难点
重点是考察学生利用换元的方法把
看成整体，再利用最小二乘法求出回归直线方程，考察学生对知识的迁移能力。
难点是对学生的心理素质，阅读理解能力，求解运算能力考察。
4．本题运用主要思想方法
数形结合思想，化归与转化思想，或然与必然的思想， 特殊与一般思想
五、拓展延伸
本试题可以多维度引伸，可以改造成指数函数模型、对数函数模型等试题，还可以经过数据处理求
，直接判断模型的拟合效果；也可以结合图表改造成求期望，方差，概率分布列的常规题型。
因为原题数据进行了处理，不容易看出原始数据，所以就题改题意义不大，我将在解题方法角度上对试题进行改造.
变式一
【2014年新课标理Ⅱ卷第19题】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入
（单位：
千元）的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
（Ⅰ）求
关于
的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
【解析】（Ⅰ）由所给数据计算得
，
，
，
所以
，
，
所求回归方程为
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加
0千元．
将2015年的年份代号
带入（Ⅰ）中的回归方程，得
，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
变式二：
某公司为确定商品零售额（万元）与商品流通费率的关系，需了解商品零售额x（单位：
万元）对商品流通费率y的影响，下表是对近10次的零售额
和流通费率
数据，
商品零售额
9.5
11.5
13.5
15.5
17.5
19.5
21.5
23.5
25.5
27.5
商品流通费率
6.0
4.6
4.0
3.2
2.8
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
（1）将商品零售额作为横坐标，商品流通费率作为纵坐标，在平面直角坐标系内作出散点图；
（2）商品零售额与商品流通费率具有线性相关关系吗？
如果商品零售额是20万元，那么能否预测此时流通费率是多少呢？
解：
（1）散点图如图所示．
（2）散点图显示出商品流通费率和商品零售额的变化关系并不是直线型，而是一条递减的双曲线型．两者之间不具有线性相关关系．
但经济理论和实际经验都可说明，流通费率决定于商品零售额，体现着经营的规模效益，因此可以拟合一个以商品销售额为自变量（X），流通费率为因变量（Y）的双曲线回归模型：
，为了求模型中的a和b两个参数，令
，是上述模型转换为线性模型：
，这样我们就可以运用线性回归的知识加以解决了．
将转化后的有关数据列表如下：
商品零售额X（万元）
商品流通费率Y
9.5
6.0
0.105
11.5
4.6
0.087
13.5
4.0
0.074
15.5
3.2
0.065
17.5
2.8
0.057
19.5
2.5
0.051
21.5
2.4
0.047
23.5
2.3
0.043
25.5
2.2
0.039
27.5
2.1
0.036
合计
32.1
0.604
代入公式得：
，从而线性回归方程为
．将
回代得
．
于是当X=20（万元）时，
（％）．
变式三：
某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2014年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下表：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差x（℃）
10
11
13
12
8
发芽数y（颗）
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：
先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程
＝bx＋a；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问
（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？
解：
（1）设抽到不相邻的两组数据为事件A，
因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况：
（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），
（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）
其中数据为12月份的日期数．
每种情况都是可能出现的，事件A包括的基本事件有6种：
所以P（A）＝
＝
.所以选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是
.
（2）由数据，求得
＝12，
＝27.
由公式，求得b＝
，a＝
－b
＝－3.
所以y关于x的线性回归方程为
＝
x－3.
（3）当x＝10，
＝
×10－3＝22，|22－23|＜2；
同样，当x＝8时，
＝
×8－3＝17，|17－16|＜2；
所以，该研究所得到的回归方程是可靠的．
六、变式分析
变式一分析：
本题的易错点是第
（1）问计算错误，解法上要教会学生利用表格，可以因减少非智力因素造成的失分，也能培养学生模式化思维.
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
第
（2）问在2007至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，很多学生不知道如何回答，有必要加强在变式上的问法教学.
变式二分析：
这个变式要比原题难，我们课本上重点线性回归直线的求法，对于指数函数型，对数函数型，二次函数型的要求利用换元法转化为线性回归直线，而本题考查了反比例函数型的，它们在解题方法与上面的思想完全相同，此题上课不好开展原因是出在大量的计算上，但是若像原题上进行了数据处理就可以完全用来考察学生对知识的迁移能力，这就要求我们教师不能只讲清楚试题的知识点，要站更高的角度上讲解题方法，最终提高学生的能力。
变式三分析：
（1）根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是可能出现的，满足条件的事件包括的基本事件有6种．根据等可能事件的概率做出结果．
（2）根据所给的数据，先做出x，y的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．
（3）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，就
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