备战中考提优训练加权线段和的最值问题.docx

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备战中考提优训练加权线段和的最值问题

（加权）线段和的最值问题

线段和最值问题是全国各地中考的热门题型，其中表现形式主要有两种，即“

”型和“

”型，其中“

”型问题以“将军饮马问题”为主，再辅以各类变式，也有少量的“费马点问题”（“

”型），而“

”型问题主要有三类：

“胡不归问题”、阿波罗尼斯圆问题、定边对定角问题.

解决这类问题的方法主要有代数法和几何法.

代数法的本质是：

点的运动导致量的变化，建立函数模型破解.而本讲中重点介绍的是几何法.几何构造的指导思想是“变中藏不变”，找到运动过程中不变的要素是解题的突破口，例如不变的位置、不变的形状、不变的大小、不变的关系等.具体操作方法是：

通过轴对称、旋转、平移、剪拼、位似缩放等变换手段，转移线段的位置，并有机地聚合线段。

如何转移、聚合线段呢？

可以通过如下流程来达成.

此类问题一般能化归为一下两个基本模型.

①多条线段聚合成折线段，且折线两端点均为定点（或相对位置固定），则可根据“两点之间，线段最短”将折线转化为线段求最值，如图1所示.

②折线化直后，该线段再一个定点与一条定直线之间，或在平行线之间，根据“垂线段最短”将斜线段转化为垂线段求最值，如图2和图3.本讲将会通过几组例题，来具体讨论此类问题的解题策略.

类型1：

“将军饮马问题”及其变式

例1：

如图，已知A（3,4），B（-1，-1）在

轴上取两点E，F，且始终保持EF=1，线段EF在

轴上平移，当四边形ABEF周长最小时，求点E的坐标.

例2：

如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，M是AB上的动点，N是对角线AC上的动点，求MN+BN的最小值.

例3：

如图，在正△ABC中，AB=4，P，M，N分别是BC，CA，AB上的动点，求PM+MN的最小值.

变式训练：

如图，在正△ABC中，AB=4，P，M，N分别是BC、CA、AB上的动点，求PM+MN+NP的最小值.

例4：

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E，F分别是边AD，DC上的点，且EF=2，G为EF的中点，P为边BC上的一个动点，求PA+PG的最小值.

变式训练1：

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，以D为中心作边长为

的正方形KLMN，G为正方形边上一动点，求PA+PG的最小值.

变式训练2：

如图，正方形ABCD的边长为4，且始终满足AE=BF，连接DE，DF，求DE+DF的最小值.

例5：

如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形各边上，且AE=CG，BH=DF，求四边形EFGH的周长的最小值.

变式训练：

如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是矩形各边上的任意动点，试求四边形EFGH周长的最小值.

类型2：

加权线段和

例6：

如图，⊙O的半径为2，AB为直径，过OA的中点C作CD⊥AB交⊙O于点D，DE为⊙O的直径，P为⊙O上的动点，求2PC+PE的最小值.

例7：

如图，已知点A（2,0），B（0,2），C（4,0），D（3,2），P是△AOB外第一象限内的一个动点，且保持∠APB=135°，求2PD+DC的最小值.

例8：

如图，C、D两点在△PAB的边AB上，AC=BD，若∠CPD=90°，且

，求

的最大值.

补充讲解：

补充一：

利用矩形的隐含性质解题两例

例1：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E两点在AB上，且AD=BE，DE=4，若

，求AB的长度.

例2：

如图，在△AOB中，OA=1，OB=2，以AB为边构造Rt△ABC，BC=1，∠ABC=90°，求OC的最大值.

补充二：

“

”型的最值问题两例

例1：

如图，用长为20cm的木栅栏靠墙围城矩形猪舍（AB+AD+CD=20cm），为了给猪舍装上顶棚，要先沿对角线安装支架，求矩形猪舍面积的最大值和对角线支架长度AC+BD的最小值.

例2：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，CD⊥AB于点D，求4AD+CD的最大值.

作业训练：

1.如图，点A，B在⊙O上，且OA=OB=12，OA⊥OB，C是OA的中点，点D在OB上，OD=10，动点P在⊙O上，求

的最小值.

2.如图，OD,OE分别平分∠AOC，∠BOC，线段MN=2，动点M，N分别在射线OD，OE上运动，求M、N两点到直线AB的距离之和的最大值.

3.如图，正方形ABCD的边长为5，矩形EFGH的边长EH=4，EF=3，它们在直线

的同侧，且可以沿直线

滑动，直线FG交AB于点M，连接EM，分别求BF+CG，ME+CG的最小值.

4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点P在△ABC内，PC=

，∠APB=120°，求PA+PB的最大值.