1、备战中考提优训练加权线段和的最值问题(加权)线段和的最值问题线段和最值问题是全国各地中考的热门题型,其中表现形式主要有两种,即“”型和“”型,其中“ ”型问题以“将军饮马问题”为主,再辅以各类变式,也有少量的“费马点问题”(“”型),而“”型问题主要有三类:“胡不归问题”、阿波罗尼斯圆问题、定边对定角问题.解决这类问题的方法主要有代数法和几何法.代数法的本质是:点的运动导致量的变化,建立函数模型破解.而本讲中重点介绍的是几何法.几何构造的指导思想是“变中藏不变”,找到运动过程中不变的要素是解题的突破口,例如不变的位置、不变的形状、不变的大小、不变的关系等.具体操作方法是:通过轴对称、旋转、平移
2、、剪拼、位似缩放等变换手段,转移线段的位置,并有机地聚合线段。如何转移、聚合线段呢?可以通过如下流程来达成.此类问题一般能化归为一下两个基本模型.多条线段聚合成折线段,且折线两端点均为定点(或相对位置固定),则可根据“两点之间,线段最短”将折线转化为线段求最值,如图1所示.折线化直后,该线段再一个定点与一条定直线之间,或在平行线之间,根据“垂线段最短”将斜线段转化为垂线段求最值,如图2和图3.本讲将会通过几组例题,来具体讨论此类问题的解题策略.类型1:“将军饮马问题”及其变式例1:如图,已知A(3,4),B(-1,-1)在轴上取两点E,F,且始终保持EF=1,线段EF在轴上平移,当四边形ABE
3、F周长最小时,求点E的坐标.例2:如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=4,M是AB上的动点,N是对角线AC上的动点,求MN+BN的最小值.例3:如图,在正ABC中,AB=4,P,M,N分别是BC,CA,AB上的动点,求PM+MN的最小值.变式训练:如图,在正ABC中,AB=4,P,M,N分别是BC、CA、AB上的动点,求PM+MN+NP的最小值.例4:如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,E,F分别是边AD,DC上的点,且EF=2,G为EF的中点,P为边BC上的一个动点,求PA+PG的最小值.变式训练1:如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,以D为中心作边长为的正方形KLMN,
4、G为正方形边上一动点,求PA+PG的最小值.变式训练2:如图,正方形ABCD的边长为4,且始终满足AE=BF,连接DE,DF,求DE+DF的最小值.例5:如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形各边上,且AE=CG,BH=DF,求四边形EFGH的周长的最小值.变式训练:如图,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别是矩形各边上的任意动点,试求四边形EFGH周长的最小值.类型2:加权线段和例6:如图,O的半径为2,AB为直径,过OA的中点C作CDAB交O于点D,DE为O的直径,P为O上的动点,求2PC+PE的最小值.例7:如图,已知点A(2,0),B(0,2),C(4,
5、0),D(3,2),P是AOB外第一象限内的一个动点,且保持APB=135,求2PD+DC的最小值.例8:如图,C、D两点在PAB的边AB上,AC=BD,若CPD=90,且,求的最大值.补充讲解:补充一:利用矩形的隐含性质解题两例例1:如图,在ABC中,ACB=90,D,E两点在AB上,且AD=BE,DE=4,若,求AB的长度.例2:如图,在AOB中,OA=1,OB=2,以AB为边构造RtABC,BC=1,ABC=90,求OC的最大值.补充二:“”型的最值问题两例例1:如图,用长为20cm的木栅栏靠墙围城矩形猪舍(AB+AD+CD=20cm),为了给猪舍装上顶棚,要先沿对角线安装支架,求矩形猪
6、舍面积的最大值和对角线支架长度AC+BD的最小值.例2:如图,在ABC中,ACB=90,AB=8,CDAB于点D,求4AD+CD的最大值.作业训练:1.如图,点A,B在O上,且OA=OB=12,OAOB,C是OA的中点,点D在OB上,OD=10,动点P在O上,求的最小值.2.如图,OD,OE分别平分AOC,BOC,线段MN=2,动点M,N分别在射线OD,OE上运动,求M、N两点到直线AB的距离之和的最大值.3.如图,正方形ABCD的边长为5,矩形EFGH的边长EH=4,EF=3,它们在直线的同侧,且可以沿直线滑动,直线FG交AB于点M,连接EM,分别求BF+CG,ME+CG的最小值.4.如图,在ABC中,AB=AC,BAC=120,点P在ABC内,PC=,APB=120,求PA+PB的最大值.
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