41任意角弧度制及任意角的三角函数.docx
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41任意角弧度制及任意角的三角函数
§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
最新考纲
考情考向分析
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．题型以选择题为主，低档难度.
1．角的概念
（1）任意角：
①定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：
角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
（3）象限角：
使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
2．弧度制
（1）定义：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
（2）角度制和弧度制的互化：
180°＝πrad,1°＝
rad，1rad＝
°.
（3）扇形的弧长公式：
l＝|α|·r，扇形的面积公式：
S＝
lr＝
|α|·r2.
3．任意角的三角函数
任意角α的终边与单位圆交于点P（x，y）时，
则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝
（x≠0）．
三个三角函数的性质如下表：
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sinα
R
＋
＋
－
－
cosα
R
＋
－
－
＋
tanα
{α|α≠kπ＋
，k∈Z}
＋
－
＋
－
4.三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1,0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.
三角函数线
有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线
知识拓展
1．三角函数值的符号规律
三角函数值在各象限内的符号：
一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．任意角的三角函数的定义（推广）
设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝
，cosα＝
，tanα＝
（x≠0）．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．（ × ）
（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．（ √ ）
（3）不相等的角终边一定不相同．（ × ）
（4）若α为第一象限角，则sinα＋cosα>1.（ √ ）
题组二 教材改编
2．[P10A组T7]角－225°＝________弧度，这个角在第________象限．
答案 －
二
3．[P15T2]设角θ的终边经过点P（4，－3），那么2cosθ－sinθ＝________.
答案
解析 由已知并结合三角函数的定义，得sinθ＝－
，cosθ＝
，所以2cosθ－sinθ＝2×
－
＝
.
4．[P10A组T6]一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．
答案
题组三 易错自纠
5．（2018·秦皇岛模拟）下列与
的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A．2kπ＋45°（k∈Z）B．k·360°＋
（k∈Z）
C．k·360°－315°（k∈Z）D．kπ＋
（k∈Z）
答案 C
解析 与
的终边相同的角可以写成2kπ＋
（k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．
6．集合
中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
答案 C
解析 当k＝2n（n∈Z）时，2nπ＋
≤α≤2nπ＋
，此时α表示的范围与
≤α≤
表示的范围一样；当k＝2n＋1（n∈Z）时，2nπ＋π＋
≤α≤2nπ＋π＋
，此时α表示的范围与π＋
≤α≤π＋
表示的范围一样，故选C.
7．已知角α（－π<α<0）的终边与单位圆交点的横坐标是
，则sinα＝________.
答案 －
解析 由题意得，角α的终边与单位圆交点的坐标是
，∴sinα＝－
.
8．（2018·济宁模拟）函数y＝
的定义域为______________．
答案
（k∈Z）
解析 ∵2cosx－1≥0，
∴cosx≥
.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影部分所示），
∴x∈
（k∈Z）．
题型一 角及其表示
1．设集合M＝
，N＝
，那么（ ）
A．M＝NB．M⊆N
C．N⊆MD．M∩N＝∅
答案 B
解析 由于M中，x＝
·180°＋45°＝k·90°＋45°＝（2k＋1）·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝
·180°＋45°＝k·45°＋45°＝（k＋1）·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.
2．若角α是第二象限角，则
是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角
答案 C
解析 ∵α是第二象限角，
∴
＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
∴
＋kπ<
<
＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，
是第一象限角；
当k为奇数时，
是第三象限角．
∴
是第一或第三象限角．
3．（2018·宁夏质检）终边在直线y＝
x上，且在[－2π，2π）内的角α的集合为________．
答案
解析 如图，在坐标系中画出直线y＝
x，可以发现它与x轴的夹角是
，在[0,2π）内，终边在直线y＝
x上的角有两个：
，
π；
在[－2π，0）内满足条件的角有两个：
－
π，－
π，故满足条件的角α构成的集合为
.
思维升华
（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．
（2）确定kα，
（k∈N*）的终边位置的方法
先写出kα或
的范围，然后根据k的可能取值确定kα或
的终边所在位置．
题型二 弧度制
典例
（1）（2017·珠海模拟）已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．2B．1C.
D．3
答案 A
解析 设扇形的半径为R，则弧长l＝4－2R，
∴扇形面积S＝
lR＝R（2－R）
＝－R2＋2R＝－（R－1）2＋1，
当R＝1时，S最大，此时l＝2，扇形圆心角为2弧度．
（2）若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
答案
解析 设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，∴正方形边长为
r，∴圆心角的弧度数是
＝
.
思维升华应用弧度制解决问题的方法
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
跟踪训练
（1）（2018·湖北七校联考）若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）
A.
B.
C．3D.
答案 D
解析 如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝
，
作OM⊥AB，垂足为M，
在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝
，
∴AM＝
r，AB＝
r，
∴l＝
r，
由弧长公式得α＝
＝
＝
.
（2）已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP（如图），则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．
答案 S1＝S2
解析 设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，
则
＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，
∴S1＝
tm·r－S扇形AOB，
S2＝
tm·r－S扇形AOB，
∴S1＝S2恒成立．
题型三 三角函数的概念及应用
命题点1 三角函数定义的应用
典例
（1）（2018·山东重点中学模拟）已知角α的终边过点P（－8m，－6sin30°），且cosα＝－
，则m的值为（ ）
A．－
B.
C．－
D.
答案 B
解析 ∵r＝
，
∴cosα＝
＝－
，
∴m>0，∴
＝
，即m＝
.
（2）设θ是第三象限角，且
＝－cos
，则
是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
答案 B
解析 由θ是第三象限角知，
为第二或第四象限角，
∵
＝－cos
，∴cos
<0，
综上知，
为第二象限角．
命题点2 三角函数线的应用
典例函数y＝lg（2sinx－1）＋
的定义域为__________________．
答案
（k∈Z）
解析 要使原函数有意义，必须有
即
如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为
（k∈Z）．
思维升华
（1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．
（2）利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．
跟踪训练
（1）（2017·济南模拟）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案 B
解析 ∵tanα<0，cosα<0，
∴α在第二象限．
（2）（2017·石家庄模拟）若－
<α<－
，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是（ ）
A．sinαC．sinα答案 C
解析 如图，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，
观察可知sinα数形结合思想在三角函数中的应用
典例
（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C（2,1）时，
的坐标为________．
（2）（2017·合肥调研）函数y＝lg（3－4sin2x）的定义域为________．
思想方法指导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集．
解析
（1）如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧
＝2，即圆心角∠PCA＝2，
则∠PCB＝2－
，所以PB＝sin
＝－cos2，
CB＝cos
＝sin2，设点P（xP，yP），
所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，
所以
＝（2－sin2,1－c
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