第十一章全等三角形教案.docx

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第十一章全等三角形教案第十一章全等三角形教案1全等三角形1教学目标1知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；2知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；3能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边2教学重点3全等三角形的性质4教学难点5找全等三角形的对应边、对应角6教学过程7提出问题，创设情境1、问题：

你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？

89这两个三角形是完全重合的102学生自己动手（同桌两名同学配合）11取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样4获取概念12让学生用自己的语言叙述：

全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号13形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形14要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同C1B1CABA115概括全等形的准确定义：

能够完全重合的两个图形叫做全等形请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求16导入新课17利用投影片演示18将ABC沿直线BC平移得DEF；将ABC沿BC翻折180得到DBC；将ABC旋转180得AED1920议一议：

各图中的两个三角形全等吗？

21不难得出：

ABCDEF，ABCDBC，ABCAED22（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）23启示：

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略24观察与思考：

25寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？

对应角呢？

甲DCABFE乙DCAB丙DCABE26（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）27得到全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等28例1如图，OCAOBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角29问题：

OCAOBD，说明这两个三角形可以重合，思考通过怎样变换可以使两三角形重合？

30将OCA翻折可以使OCA与OBD重合因为C和B、A和D是对应顶点，所以C和B重合，A和D重合31C=B；A=D；AOC=DOBAC=DB；OA=OD；OC=OB32总结：

两个全等的三角形经过一定的转换可以重合一般是平移、翻转、旋转的方法33例2如图，已知ABEACD，ADE=AED，B=C，指出其他的对应边和对应角34分析：

对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将ABE和ACD从复杂的图形中分离出来35根据位置元素来找：

有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素常用方法有：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角36解：

对应角为BAE和CAD37对应边为AB与AC、AE与AD、BE与CD2.1三角形全等的条件

（一）38教学目标DCABODCABE1三角形全等的“边边边”的条件2了解三角形的稳定性3经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程39教学重点40三角形全等的条件41教学难点42寻求三角形全等的条件教学过程43创设情境，引入新课44出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形45已知ABCABC，找出其中相等的边与角46图中相等的边是：

AB=AB、BC=BC、AC=AC47相等的角是：

A=A、B=B、C=C48展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：

你能画一个三角形与它全等吗？

怎样画？

49（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）50这是利用了全等三角形的定义来作图那么是否一定需要六个条件呢？

条件能否尽可能少呢？

现在我们就来探究这个问题51导入新课52出示投影片1只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？

CBACBA2给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？

分别按下列条件做一做53三角形一内角为30，一条边为3cm54三角形两内角分别为30和5055三角形两条边分别为4cm、6cm56学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流57结果展示：

1只给定一条边时：

5859只给定一个角时：

602给出的两个条件可能是：

一边一内角、两内角、两边61626364可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等65给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？

66归纳：

有四种可能即：

三内角、三条边、两边一内角、两内有一边3cm3cm3cm303030505030306cm4cm4cm6cm67在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等下面我们就来逐一探索其余的三种情况68已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm你能画出这个三角形吗？

把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

1作图方法：

69先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm2以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合这说明这些三角形都是全等的3特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个三角形ABC，使AB=AB、AC=AC、BC=BC将ABC剪下，发现两三角形重合这反映了一个规律：

70三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”71用上面的规律可以判断两个三角形全等判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据请看例题72例如图，ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架73求证：

ABDACD74师生共析要证ABDACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等75证明：

因为D是BC的中点76所以BD=DC77在ABD和ACD中7879所以ABDACD（SSS）DCBA80生活实践的有关知识：

用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的三角形的这个性质叫做三角形的稳定性所以日常生活中常利用三角形做支架就是利用三角形的稳定性例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等81随堂练习1、如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB要用“边边边”证明ABCFDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？

怎样才能得到这个条件？

2.2三角形全等的条件

（二）82教学目标1三角形全等的“边角边”的条件2经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程3掌握三角形全等的“SS”条件，了解三角形的稳定性4能运用“SS”证明简单的三角形全等问题83教学重点84三角形全等的条件85教学难点86寻求三角形全等的条件87教学过程88、创设情境，复习提问1怎样的两个三角形是全等三角形？

2全等三角形的性质？

3指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：

89图

（1）中：

ABDACE，AB与AC是对应边；90图

（2）中：

ABCAED，AD与AC是对应边FDCBEA91三角形全等的判定的内容是什么？

92、导入新课1三角形全等的判定

（二）

（1）全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？

也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？

是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？

现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：

93如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，ABO和CDO是否能完全重合呢？

94不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

95AOCO，96AOBCOD，97BODO98如果把OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OAOC，所以可以使OA与OC重合；又因为AOBCOD，OBOD，所以点B与点D重合这样ABO与CDO就完全重合99（此外，还可以图1

（1）中的ACE绕着点A逆时针方向旋转CAB的度数，也将与ABD重合图1

（2）中的ABC绕着点A旋转，使AB与AE重合，再把ADE沿着AE（AB）翻折180两个三角形也可重合）100由此，我们得到启发：

判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等而且，从上面的例子可以引起我们猜想：

如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等2上述猜想是否正确呢？

不妨按上述条件画图并作如下的实验：

（1）读句画图：

画DAE45，在AD、AE上分别取B、C，使AB3.1cm，AC2.8cm连结BC，得ABC按上述画法再画一个ABC

（2）把ABC剪下来放到ABC上，观察ABC与ABC是否能够完全重合？

3边角边公理101有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）102、例题与练习1填空：

（1）如图3，已知ADBC，ADCB，要用边角边公理证明ABCCDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是ADCB（已知），二是_；还需要一个条件_（这个条件可以证得吗？

）103

（2）如图4，已知ABAC，ADAE，12，要用边角边公理证明ABDACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：

_（这个条件可以证得吗？

）1042、例1已知：

ADBC，ADCB（图3）105106求证：

ADCCBA107问题：

如果把图3中的ADC沿着CA方向平移到ADF的位置（如图5），那么要证明ADFCEB，除了ADBC、ADCB的条件外，还需要一个什么条件（AFCE或AECF）？

怎样证明呢？

例2已知：

ABAC、ADAE、12（图4）求证：

ABDACE108、作业：

1已知：

如图，ABAC，F、E分别是AB、AC的中点求证：

ABEACF2已知：

点A、F、E、C在同一条直线上，AFCE，BEDF，BEDF109求证：

ABECDF1102.2三角形全等的条件（三）111教学目标1三角形全等的条件：

角边角、角角边2三角形全等条件小结3掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件4能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题112教学重点113已知两角一边的三角形全等探究114教学难点115灵活运用三角形全等条件证明116教学过程117提出问题，创设情境1复习：

（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

118三个角、三个边、两边一角、两角一边119

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？

各是什么？

120三种：

定义；SSS；SAS2在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

121导入新课122问题1：

三角形中已知两角一边有几种可能？

1两角和它们的夹边2两角和其中一角的对边123问题2：

三角形的两个内角分别是60和80，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？

将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？

124将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等125提炼规律：

126两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）127问题3：

我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，能不能作一个ABC，使A=A、B=B、AB=AB呢？

128先用量角器量出A与B的度数，再用直尺量出AB的边长129画线段AB，使AB=AB130分别以A、B为顶点，AB为一边作DAB、EBA，使DAB=CAB，EBA=CBA131射线AD与BE交于一点，记为C132即可得到ABC133将ABC与ABC重叠，发现两三角形全等134135两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）136思考：

在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？

137探究问题4：

138如图，在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF，ABC与DEF全等吗？

能利用角边角条件证明你的结论吗？

139140证明：

A+B+C=D+E+F=180141A=D，B=E142A+B=D+E143C=F144在ABC和DEF中145CABDCABEDCABFE146ABCDEF（ASA）147两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）148例如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，B=C149求证：

AD=AE150分析AD和AE分别在ADC和AEB中，所以要证AD=AE，只需证明ADCAEB即可151证明：

在ADC和AEB中152153所以ADCAEB（ASA）154所以AD=AE155补充练习156图中的两个三角形全等吗？

请说明理由157158答案：

图

（1）中由“ASA”可证得ACDACB图

（2）由“AAS”可证得ACEBDCDCABE50504545DCAB

（1）2929DCAB

（2）E159课时小结160至此，我们有五种判定三角形全等的方法：

1全等三角形的定义2判定定理：

边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）161推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径3.4三角形全等的条件-直角三角形全等的判定（四）162教学目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。

3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。

163教学重点164运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

165教学难点166熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

167教学过程168提出问题，复习旧知1691、判定两个三角形全等的方法：

、1702、如图，RtABC中，直角边是、，171斜边是1723、如图，ABBE于C，DEBE于E，

（1）若A=D，AB=DE，173则ABC与DEF（填“全等”或“不全等”）174根据（用简写法）175

（2）若A=D，BC=EF，176则ABC与DEF（填“全等”或“不全等”）177根据（用简写法）178（3）若AB=DE，BC=EF，179则ABC与DEF（填“全等”或“不全等”）180根据（用简写法）181（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF182则ABC与DEF（填“全等”或“不全等”）183根据（用简写法）184导入新课

（一）探索练习：

（动手操作）：

185已知线段a，c（ac）和一个直角利用尺规作一个RtABC，使C=，186AB=c，CB=a1871、按步骤作图：

ac188作MCN=90，189在射线CM上截取线段CB=a，190以B为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A，连结AB1912、与同桌重叠比较，是否重合？

1923、从中你发现了什么？

193斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等（）194

（二）巩固练习：

195如图，ABC中，AB=AC，AD是高，196则ADB与ADC（填“全等”或“不全等”）197根据（用简写法）198如图，CEAB，DFAB，垂足分别为E、F，

（1）若AC/DB，且AC=DB，则ACEBDF，199根据200

（2）若AC/DB，且AE=BF，则ACEBDF，201根据202（3）若AE=BF，且CE=DF，则ACEBDF，203根据204（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。

则ACEBDF，205根据206（5）若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则ACEBDF，207根据2083、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）209两条直角边对应相等（B）斜边和一锐角对应相等210（C）斜边和一条直角边对应相等（D）两个锐角对应相等2114、如图，B、E、F、C在同一直线上，AFBC于F，DEBC于E，212AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？

说说你的理由213答：

214理由：

AFBC，DEBC（已知）215AFB=DEC=（垂直的定义）216在Rt和Rt中217218（）219=（）220（内错角相等，两直线平行）2215、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？

说说你的理由。

222（三）提高练习：

1、判断题：

223

（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。

（）224

（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（）225（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（）226（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（）227（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（）228（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（）229（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（）230（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）2312、如图，D=C=90，请你再添加一个条件，使ABDBAC，并在232添加的条件后的（）内写出判定全等的依据。

233

（1）（）234

（2）（）235（3）（）236（4）（）237课时小结238至此，我们有六种判定三角形全等的方法：

1全等三角形的定义2392边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）2HL（仅用在直角三角形中）3.1角的平分线的性质

（一）240教学目标1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理3会用尺规作一个已知角的平分线241教学重点242利用尺规作已知角的平分线243教学难点244角的平分线的作图方法的提炼245教学过程246提出问题，创设情境247问题1：

三角形中有哪些重要线段248问题2：

你能作出这些线段吗？

249导入新课250在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：

251在AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MCOA，NCOBMC与NC交于C点252求证：

MOC=NOC253通过证明RtMOCRtNOC，即可证明MOC=NOC，所以射线OC就是AOB的平分线254受这个题的启示，我们能不能这样做：

255在已知AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MCOA，NCOB，MC与NC交于C点，连接OC，那么OC就是AOB的平分线了256思考：

这个方案可行吗？

257（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）258议一议：

下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线你能说明它的道理吗？

259要说明AC是DAC的平分线，其实就是证明CAD=CAB260CAD和CAB分别在CAD和CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了261看看条件够不够262263所以ABCADC（SSS）264所以CAD=CAB265即射线AC就是DAB的平分线266作已知角的平分线的方法：

267已知：

AOB268求作：

AOB的平分线269作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N

（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧两弧在AOB内部交于点C（3）作射线OC，射线OC即为所求270议一议：

1在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？

2第二步中所作的两弧交点一定在AOB的内部吗？

271总结：

1去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线2若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在AOB的内部，也可能在AOB的外部，而我们要找的是AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是AOB的平分线了3角的平分线是一条射线它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可4这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明272练一练：

273任意画一角AOB，作它的平分线274探索活动275按以下步骤折纸276在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C。

把角A对折，使得这个角的两边重合。

277在折痕（即平分线）上任意找一点C，278过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA的交点，即垂足。

279将纸打开，新的折痕与OB边交点为E。

280角平分线的性质：

角平分线上的点到角的两边的距离相等281下面用我们学过的知识证明发现：

282如图，已知AO平分BAC，OEAB，ODAC。

283求证：

OE=OD。

3.2角的平分线的性质

（二）284教学目标1、角的平分线的性质3会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”4能应用这两个性质解决一些简单的实际问题285教学重点286角平分线的性质及其应用287教学难点288灵活应用两个性质解决问题289教学过程290创设情境，引入新课291拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？

把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？

292分析：

第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对293导入新课294角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论295折出如图所示的折痕PD、PE296297画一画：

298按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？

299投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的300301结论：

同学乙的画法是正确的同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求302问题1：

如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？

303生角平分线上的点到角的两边的距离相等304问题2：

能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话请填下表：

30530