最新积分中值定理及其应用.docx
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最新积分中值定理及其应用
（积分中值定理及其应用）
学号：
**********
***师范大学
学士学位论文
题目积分中值定理及其应用
学生&&&&
指导教师******副教授
年级2009级
专业数学与应用数学
系别数学系
学院数学科学学院
***师范大学
2013年4月
******师范大学
学士学位论文开题报告
论文题目积分中值定理及其应用
学生姓名*****
指导教师*****副教授
年级2009级
专业数学与应用数学
2012年11月
课题来源：
自拟题目
课题研究的目的和意义：
在自然科学中、工程技术，甚至某些社会科学中，积分是被广泛应用的数学概念，积分贯穿了我们整个的学习时段.既然在数学学习中处于核心地位，本文就积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点«SkipRecordIf...»的渐进性，积分中值定理的应用这几个方面来深入研究.在以后的学习生活中，积分都是非常重要的基础和工具，具有一定的理论意义和现实意义.
国内外同类课题研究现状及发展趋势：
许多专家学者对积分中值定理及其应用作了研究，并取得了一定的突破.对积分中值定理一系列讨论和证明是本文的核心点，本文通过一些定理来讨论积分中值定理的证明并加以综合运用.
课题研究起止时间和进度安排：
起止时间：
2012年11月22日至2013年4月15日
2012年11月22日至2012年12月31日收集论文资料，确定论文题目
2013年1月1日—2013年2月28日整理论文资料，完成初稿
2013年3月1日—2013年3月31日教师指导，修改稿
2013年4月1日-2013年4月15日打印论文，定稿
课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：
本文首先给出了求极限的重要性的介绍，引出本论文要研究的内容，正文采取例题与方法结合的叙述方式进行，介绍了多种不同问题的解题方法.
在研究过程中大量阅读同类资料，并且综合运用通过网络技术进行总结.
课题研究所需主要设备、仪器及药品：
图书资料计算机
外出调研主要单位，访问学者姓名：
无
指导教师审查意见：
同意开题
指导教师（签字）
教研室（研究室）评审意见：
同意开题
教研室（研究室）主任（签字）
系（部）主任审查意见：
同意开题
（部）主任（签字）
学士学位论文
题目积分中值定理及其应用
学生******
指导教师******副教授
年级2009级
专业数学与应用数学专业
系别数学系
学院数学科学学院
***师范大学
2013年4月
积分中值定理及其应用
摘要:
本论文主要内容是积分中值定理及其应用，主要从以下几个方面论述：
积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点«SkipRecordIf...»的渐进性，积分中值定理的应用.
关键词：
积分中值定理；推广；应用
一、引言
随着科技时代的发展，数学也随之大步前进.其中，微积分的创立，为数学的发展奠定了不可磨灭的基础.积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质，而且在数学分析的学习过程占有很重要的地位，对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我就把积分中值定理及其应用简单清晰论述一下.
通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理.而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理，即在一个区间上的情形.还讨论了在几何形体上二重、三重积分的情形的积分中值定理.并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学.我们将积分中值定理加以应用，把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式：
数学中一些定理的证明，数学定理、命题，几何应用，含定积分的极限应用，确定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性，估计积分值.虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们任然可以把它当作一个基础定理，解决一些现实问题.
本课题的研究过程为：
讨论和分析积分中值定理，然后将其加以推广，讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进性质，最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题.
课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性，将各方面的应用如：
估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来.
二、积分中值定理的证明
1、定积分中值定理
引理：
假设«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»分别为函数«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上的最大值和最小值，则有
«SkipRecordIf...»
成立.
证明：
因为«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»分别为函数«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上的最大值和最小值，即«SkipRecordIf...»，我们对不等式进行积分可得
«SkipRecordIf...»，
由积分性质可知
«SkipRecordIf...»
（1）
成立，命题得证.
定理1（定积分中值定理）：
如果函数«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上连续，则在区间«SkipRecordIf...»上至少存在一个点«SkipRecordIf...»，使下式
«SkipRecordIf...»
成立.
证明：
由于«SkipRecordIf...»，将
（1）同时除以«SkipRecordIf...»可得
«SkipRecordIf...».
此式表明«SkipRecordIf...»介于函数«SkipRecordIf...»的最大值«SkipRecordIf...»和最小值«SkipRecordIf...»之间.
由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间«SkipRecordIf...»上至少存在一点«SkipRecordIf...»，使得函数«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处的值与这个数相等，即应该有
«SkipRecordIf...»，
成立，将上式两端乘以«SkipRecordIf...»即可得到
«SkipRecordIf...»，
命题得证.
备注1：
很显然，积分中值定理中公式
«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»之间）
不论«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»都是成立的.
2、积分第一中值定理
定理2（第一积分中值定理）：
如果函数«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上连续，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上不变号，并且«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上是可积的，则在«SkipRecordIf...»上至少存在一点«SkipRecordIf...»，使得
«SkipRecordIf...»
成立.
证明：
由于«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上不变号，我们不妨假设«SkipRecordIf...»，并且记«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上的最大值和最小值为«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»，即«SkipRecordIf...»，将不等式两边同乘以«SkipRecordIf...»可知，此时对于任意的«SkipRecordIf...»都有«SkipRecordIf...»
成立.对上式在«SkipRecordIf...»上进行积分，可得
«SkipRecordIf...».
此时在«SkipRecordIf...»之间必存在数值«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»，即有
«SkipRecordIf...»
成立.
由于«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上是连续的，则在«SkipRecordIf...»上必定存在一点«SkipRecordIf...»，使«SkipRecordIf...»成立.此时即可得到
«SkipRecordIf...»，
命题得证.
3、积分第二中值定理
定理3（积分第二中值定理）：
如果函数«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上可积，而«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上单调，则在«SkipRecordIf...»上至少存在一点«SkipRecordIf...»，使下式成立
«SkipRecordIf...»
（2）
特别地，如果«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上单调上升且«SkipRecordIf...»，那么存在«SkipRecordIf...»，使下式成立
«SkipRecordIf...»（3）
如果«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上单调下降且«SkipRecordIf...»，那么存在«SkipRecordIf...»，使下式成立
«SkipRecordIf...»（4）
证明：
由题设条件知«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上都是可积的，由积分性质可知«SkipRecordIf...»也是可积的.我们先证明（3）式，即在«SkipRecordIf...»非负、且在区间«SkipRecordIf...»上单调上升的情形下加以证明.对于（4）式证明是类似的，最后我们再将其推导到一般情形，即可证明
（2）式.
在区间«SkipRecordIf...»上取一系列分点使«SkipRecordIf...»，记«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上的幅度，即«SkipRecordIf...»，再将所讨论的积分作如下改变：
将积分限等分为如下«SkipRecordIf...»等份，并且记
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...».
则
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，
因为«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上可积，且区间«SkipRecordIf...»是有限的，所以«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上有界，此时我们不妨假设«SkipRecordIf...».
估计«SkipRecordIf...»如下：
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
由于«SkipRecordIf...»可积，所以当«SkipRecordIf...»时，有«SkipRecordIf...»，从而有«SkipRecordIf...»，从而可知
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
我们记«SkipRecordIf...»，由于函数«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上可积，那么函数«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»上的连续函数，并且有最大值和最小值«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»，记为«SkipRecordIf...»，很显然
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
从而
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
因为«SkipRecordIf...»是非负的，并且在区间«SkipRecordIf...»上单调上升，即有«SkipRecordIf...»、«SkipRecordIf...»成立，所以有下式成立
«SkipRecordIf...».
即有
«SkipRecordIf...»
成立.从而可以得到«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»满足«SkipRecordIf...».由于函数«SkipRecordIf...»连续，则在«SkipRecordIf...»之间存在一点«SkipRecordIf...»，使«SkipRecordIf...»成立，从而有公式（2-3）成立，即
«SkipRecordIf...»
成立，（3）式得证.
对于«SkipRecordIf...»单调下降且«SkipRecordIf...»的情形即公式（4）的证明过程是类似的，证明略.
对于«SkipRecordIf...»是一般单调上升情形，我们作辅助函数«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»为单调上升且«SkipRecordIf...»，此时公式（3）对于«SkipRecordIf...»是成立的，即存在«SkipRecordIf...»使
«SkipRecordIf...»
成立，这就证明了公式
（2）
«SkipRecordIf...».
对于«SkipRecordIf...»是一般单调下降的情形，此时应用公式（4），同样可得到
（2）式，此命题得证.
三、积分中值定理的推广
1、定积分中值定理的推广
定理7（推广的定积分中值定理）：
如果函数«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»连续，则在开区间«SkipRecordIf...»至少存在一个点«SkipRecordIf...»，使得下式
«SkipRecordIf...»
成立.
证明：
作辅助函数«SkipRecordIf...»如下：
«SkipRecordIf...».
由于«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»连续，则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上可微，且有«SkipRecordIf...»成立.由微分中值定理可知：
至少存在一点«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»成立.并且有«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，此时即可得到下式
«SkipRecordIf...»，
命题得证.
2、定积分第一中值定理的推广
定理8（推广的定积分第一中值定理）：
若函数«SkipRecordIf...»是闭区间«SkipRecordIf...»上可积函数，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上可积且不变号，则在开区间«SkipRecordIf...»上至少存在一点«SkipRecordIf...»，使得
«SkipRecordIf...»
成立.
证法1：
由于函数«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上是可积的，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上可积且不变号，令«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，很显然«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续.并且«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...».由柯西中值定理即可得到
«SkipRecordIf...»，
即
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，
命题得证.
证法2：
由于函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上可积且不变号，我们不妨假设«SkipRecordIf...».而函数«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上可积，我们令«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...».假设«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上的一个原函数，即«SkipRecordIf...».此时我们有下式成立
«SkipRecordIf...»
（1）
由于«SkipRecordIf...»，则有«SkipRecordIf...»，以下我们分两种情形来进行讨论：
[1]如果«SkipRecordIf...»，由（3-1）式可知«SkipRecordIf...»，则此时对于«SkipRecordIf...»
有
«SkipRecordIf...»
成立.
[2]如果«SkipRecordIf...»，将（3-1）式除以«SkipRecordIf...»可得
«SkipRecordIf...»，
（2）
我们记
«SkipRecordIf...»，（3）
此时我们又分两种情形继续进行讨论：
i如果
（2）式中的等号不成立，即有«SkipRecordIf...»成立，则此时存在«SkipRecordIf...»，使得
«SkipRecordIf...»，
我们不妨假设«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...».因为«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，则有
«SkipRecordIf...».
此时至少存在一点«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»，即有
«SkipRecordIf...»
成立，从而结论成立.
ii如果
（2）式中仅有一个等号成立，不妨假设«SkipRecordIf...»，因为«SkipRecordIf...»，此时必存在«SkipRecordIf...»（其中«SkipRecordIf...»），使得«SkipRecordIf...»，恒有«SkipRecordIf...»成立，我们则可将（3）式可改写为
«SkipRecordIf...»，
因为«SkipRecordIf...»，则有
«SkipRecordIf...»（4）
又注意到«SkipRecordIf...»，必有
«SkipRecordIf...».
于是
«SkipRecordIf...»（5）
下证必存在«SkipRecordIf...»，使«SkipRecordIf...».
若不然，则在«SkipRecordIf...»上恒有«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»成立，从而«SkipRecordIf...».如果«SkipRecordIf...»，由达布定理在«SkipRecordIf...»上有«SkipRecordIf...»，这与«SkipRecordIf...»矛盾.
如果«SkipRecordIf...»，这与（5）式矛盾.所以存在«SkipRecordIf...»，使«SkipRecordIf...»，定理证毕.
3、推广定积分第二中值定理
定理9（推广定积分第二中值定理）：
如果函数«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»可积，«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上可积且不变号，则在«SkipRecordIf...»上必存在一点«SkipRecordIf...»，使得
«SkipRecordIf...»
成立.
证明过程详见参考文献[9].
4、第一曲线积分中值定理
定理10（第一型曲线积分中值定理）：
如果函数«SkipRecordIf...»在光滑有界闭曲线«SkipRecordIf...»上连续，则在曲线«SkipRecordIf...»上至少存在一点«SkipRecordIf...»，使
«SkipRecordIf...»
成立，其中«SkipRecordIf...»为曲线«SkipRecordIf...»的弧长.
证明：
因为函数«SkipRecordIf...»在光滑有界闭曲线«SkipRecordIf...»上连续，所以存在«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»，对不等式在闭曲线«SkipRecordIf...»上进行第一类曲线积分可得
«SkipRecordIf...»，
其中«SkipRecordIf...»为曲线«SkipRecordIf...»的弧长，并且«SkipRecordIf...»，由于«SkipRecordIf...»，将上式同除以常数«SkipRecordIf...»，即可得到
«SkipRecordIf...»，
由于函数«SkipRecordIf...»在曲线«SkipRecordIf...»上连续，故由闭区间上连续函数的介值定理，在曲线«SkipRecordIf...»上至少存在一点«SkipRecordIf...»，使
«SkipRecordIf...»
成立，左右两边同除以常数«SkipRecordIf...»，即可得到结论，从而命题得证.
5、第二曲线积分中值定理
定理11（第二型曲线积分中值定理）：
如果函数«SkipRecordIf...»在光滑有向曲线«SkipRecordIf...»上连续，则在曲线«SkipRecordIf...»上至少存在一点«SkipReco
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