程序设计大赛题目解答.docx

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程序设计大赛题目解答

程序设计大赛题目解答

1.求代数和

设n为正整数，求和

式中各项符号为二正一负，分母符号为一正一负。

正整数n从键盘输入，输出和s四舍五入精确到小数点后5位。

输入n=100输出：

输入n=2011输出：

//求代数和

#include

#include

voidmain（）

{longj,n;

doublets,s;

printf（"请输入n:

"）;

scanf（"%d",&n）;

j=0;ts=0;s=0;

while（j

{j=j+1;

if（j%2==0）

ts=ts-（double）1/j;//ts为各项的分母

else

ts=ts+（double）1/j;

if（j%3==0）

s=s-sqrt（j）/ts;//求代数和s

else

s=s+sqrt（j）/ts;

}

printf（"s=%.5f\n",s）;

}

请输入n:

100s=324.74013

请输入n:

2011s=28924.48725

变通：

设2

#include

#include

voidmain（）

{

intn,n1=1;

doublesum1=1,sum2=1,g;

printf（"请输入n:

"）;

scanf（"%d",&n）;

while（n1

{

n1++;

if（n1%2==0）

sum2+=-（double）1/n1;

elsesum2+=（double）1/n1;

g=sqrt（n1）;

if（n1%3==0）

sum1+=-g/sum2;

else

sum1+=g/sum2;

}

printf（"%lf\n",sum1）;

}

2.幂积序列

设x,y为非负整数，试计算集合

的元素不大于指定整数n的个数k，并求这些元素从小到大排序的第m项f。

输入n,m,输出k,f。

n=10000,m=50输出：

n=10000000,m=100输出：

幂积序列复杂在“积”字上，即幂积序列的项既可以是2的幂，3的幂，也可以是这双幂的乘积。

我们应用枚举求解。

（1）设计要点

集合元素由2的幂与3的幂及其乘积组成，设元素从小到大排序的第k项为f（k）。

显然，f

（1）=1,f

（2）=2。

设置a循环，a从3开始递增1至n，对每一个a（赋值给j）,逐次试用2试商，然后逐次试用3试商。

试商后若j>1，说明原a有2，3以外的因数，不属于该序列。

若j=1，说明原a只有2，3的因数，属于该序列，把a赋值给序列第k项。

由于实施从小到大测试赋值，所得项无疑是从小到大的序列。

当a达到指定的n，退出循环，输出指定项f（m）。

（2）枚举程序设计

//幂序列2^x*3^y枚举求解

#include

voidmain（）

{intk,m;

longa,j,n,f[1000];

printf（"计算不大于n的项数，请指定n:

"）;

scanf（"%ld",&n）;

printf（"输出序列的第m项，请指定m:

"）;

scanf（"%d",&m）;

f[1]=1;f[2]=2;k=2;

for（a=3;a<=n;a++）

{j=a;

while（j%2==0）j=j/2;//反复用2试商

while（j%3==0）j=j/3;//反复用3试商

if（j==1）

{k++;f[k]=a;}//用a给f[k]赋值

}

printf（"幂序列中不大于%ld的项数为：

%d\n",n,k）;

if（m<=k）

printf（"从小到大排序的第%d项为：

%ld\n",m,f[m]）;

else

printf（"所输序号m大于序列的项数！

\n"）;

}

（3）程序运行示例

n=10000,m=50输出：

67，2304

n=10000000,m=100输出：

190,93312

变通：

计算集合在指定区间[n1,n2]中有多少个元素？

3.喝汽水

定价1瓶汽水4角8分钱，同时规定3个空瓶可换回1瓶汽水，或20个空瓶可换回7瓶汽水。

例如用5元买10瓶汽水，然后用9个空瓶子换3瓶汽水，喝掉3瓶满的，喝完以后4个空瓶子，用3个再换一瓶，喝掉这瓶满的，这时候剩2个空瓶子。

然后你让老板先借给你一瓶汽水，喝掉这瓶满的，喝完以后用3个空瓶子换一瓶满的还给老板。

这样，5元可喝到15瓶汽水。

今有n元钱买汽水，最多可喝m瓶汽水。

n=100,m=

n=2011，m=

 #include

voidmain（）

{

intn1=2011,n,sum,i;

doublen2;

n2=n1/0.48;

n=n2;

sum=n;

while（n>20）

{

i=n/20;

sum+=i*7;

n=i*7+n%20;

}

while（n>=2）

{

i=n/3;

sum+=i;

n=i+n%3;

if（n==2）

{

sum++;break;

}

}

printf（"%d\n",sum）;

}

原题：

有这样一道智力题：

“某商店规定：

三个空汽水瓶可以换一瓶汽水。

小张手上有十个空汽水瓶，她最多可以换多少瓶汽水喝？

”答案是5瓶，方法如下：

先用9个空瓶子换3瓶汽水，喝掉3瓶满的，喝完以后4个空瓶子，用3个再换一瓶，喝掉这瓶满的，这时候剩2个空瓶子。

然后你让老板先借给你一瓶汽水，喝掉这瓶满的，喝完以后用3个空瓶子换一瓶满的还给老板。

如果小张手上有n个空汽水瓶，最多可以换多少瓶汽水喝？

//规定3个空瓶可换回1瓶汽水。

开始有n个空瓶，最多可喝多少瓶汽水？

#include

voidmain（）

{longn,m,t,x;

printf（"请输入开始拥有的空瓶数n：

"）;scanf（"%ld",&n）;

t=n;m=0;//确定初始值

while（t>=3）

{x=t/3;m=m+x;//用3x个空瓶换回x瓶汽水

t=t-2*x;//空瓶数减少2x个

printf（"用其中%ld个空瓶换回%ld瓶汽水。

",3*x,x）;

printf（"喝完后空瓶个数变为%ld.\n",t）;

}

if（t==2）

{m=m+1;

printf（"借1瓶汽水，再还3空瓶，两清.\n"）;

}

printf（"答案：

开始有%ld个空瓶，可喝%ld瓶汽水。

\n",n,m）;

}

请输入开始拥有的空瓶数n：

2012

用其中2010个空瓶换回670瓶汽水。

喝完后空瓶个数变为672.

用其中672个空瓶换回224瓶汽水。

喝完后空瓶个数变为224.

用其中222个空瓶换回74瓶汽水。

喝完后空瓶个数变为76.

用其中75个空瓶换回25瓶汽水。

喝完后空瓶个数变为26.

用其中24个空瓶换回8瓶汽水。

喝完后空瓶个数变为10.

用其中9个空瓶换回3瓶汽水。

喝完后空瓶个数变为4.

用其中3个空瓶换回1瓶汽水。

喝完后空瓶个数变为2.

借1瓶汽水，再还3空瓶，两清.

答案：

开始有2012个空瓶，可喝1006瓶汽水。

解：

因7/20>1/3,因此只要空瓶数大于等于20,尽可能用20个空瓶可换回7瓶汽水。

直到空瓶数不足20时，用3个空瓶可换回1瓶汽水。

由20空瓶=7汽水+7空瓶

得1空瓶=7/13汽水

由3空瓶=1汽水+1空瓶

得1空瓶=1/2汽水

设置变量k统计汽水瓶数，t统计空瓶数。

//规定1瓶汽水48分钱，今有n元钱;规定3个空瓶可换回1瓶汽水，

//或20个空瓶可换回7瓶汽水。

问最多可喝多少瓶汽水？

#include

voidmain（）

{longk,n,t,x;

printf（"请输入n：

"）;scanf（"%ld",&n）;

k=n*100/48;t=k;//k为汽水瓶数，t为空瓶数

printf（"有%ld元钱,可买回%ld瓶汽水。

",n,k）;

if（n*100>k*48）printf（"尚余%ld分钱。

",n*100-k*48）;

printf（"\n喝完%ld瓶汽水后，空瓶按以下方案换回汽水：

\n",k）;

while（t>=20）

{x=t/20;k=k+7*x;//用20x个空瓶换回7x瓶汽水

t=t-13*x;//空瓶数减少13x个

printf（"用其中%ld个空瓶换回%ld瓶汽水。

",20*x,7*x）;

printf（"喝完后空瓶个数变为%ld.\n",t）;

}

if（t>=13）

{k=k+7;t=t-13;

printf（"借7瓶汽水,再还20空瓶,空瓶个数变为%ld.\n",t）;

}

while（t>=3）

{x=t/3;k=k+x;//用3x个空瓶换回x瓶汽水

t=t-2*x;//空瓶数减少2x个

printf（"用其中%ld个空瓶换回%ld瓶汽水。

",3*x,x）;

printf（"喝完后空瓶个数变为%ld.\n",t）;

}

if（t==2）

{k=k+1;

printf（"借1瓶汽水，再还3空瓶.\n"）;

}

printf（"答案：

有%ld元钱，最多可喝%ld瓶汽水。

\n",n,k）;

}

请输入n：

100

有100元钱,可买回208瓶汽水。

尚余16分钱。

喝完208瓶汽水后，空瓶按以下方案换回汽水：

用其中200个空瓶换回70瓶汽水。

喝完后空瓶个数变为78.

用其中60个空瓶换回21瓶汽水。

喝完后空瓶个数变为39.

用其中20个空瓶换回7瓶汽水。

喝完后空瓶个数变为26.

用其中20个空瓶换回7瓶汽水。

喝完后空瓶个数变为13.

借7瓶汽水,再还20空瓶,空瓶个数变为0.

答案：

有100元钱，最多可喝320瓶汽水。

请输入n：

2011

有2011元钱,可买回4189瓶汽水。

尚余28分钱。

喝完4189瓶汽水后，空瓶按以下方案换回汽水：

用其中4180个空瓶换回1463瓶汽水。

喝完后空瓶个数变为147

用其中1460个空瓶换回511瓶汽水。

喝完后空瓶个数变为523.

用其中520个空瓶换回182瓶汽水。

喝完后空瓶个数变为185.

用其中180个空瓶换回63瓶汽水。

喝完后空瓶个数变为68.

用其中60个空瓶换回21瓶汽水。

喝完后空瓶个数变为29.

用其中20个空瓶换回7瓶汽水。

喝完后空瓶个数变为16.

借7瓶汽水,再还20空瓶,空瓶个数变为3.

用其中3个空瓶换回1瓶汽水。

喝完后空瓶个数变为1.

答案：

有2011元钱，最多可喝6444瓶汽水。

省去过程，简化设计：

//规定1瓶汽水48分钱，今有n元钱;规定3个空瓶可换回1瓶汽水，

//或20个空瓶可换回7瓶汽水。

问最多可喝多少瓶汽水？

#include

voidmain（）

{longk,n,t,x;

printf（"请输入n：

"）;scanf（"%ld",&n）;

k=n*100/48;t=k;//k为汽水瓶数，t为空瓶数

x=t/13;k=k+7*x;//实现1空瓶=7/13瓶汽水

t=t-13*x;//空瓶数减少13x个

x=t/2;k=k+x;//实现1空瓶=1/2瓶汽水

printf（"答案：

%ld元钱最多可喝%ld瓶汽水。

\n",n,k）;

}

请输入n：

100

答案：

100元钱最多可喝320瓶汽水。

请输入n：

2011

答案：

2011元钱最多可喝6444瓶汽水。

4.解佩尔方程

1.案例背景

佩尔（Pell）方程是关于x,y的二次不定方程，表述为

（其中n为非平方正整数）

当x=1或x=-1，y=0时，显然满足方程。

常把x,y中有一个为零的解称为平凡解。

我们要求佩尔方程的非平凡解。

佩尔方程的非平凡解很多，这里只要求出它的最小解，即x,y为满足方程的最小正数的解，又称基本解。

对于有些n，尽管是求基本解，其数值也大得惊人。

这么大的数值，如何求得？

其基本解具体为多少？

可以说，这是自然界对人类计算能力的一个挑战。

十七世纪曾有一位印度数学家说过，要是有人能在一年的时间内求出x2-92y2=1的非平凡解，他就算得上一名真正的数学家。

由此可见，佩尔方程的求解是有趣的，其计算也是繁琐的。

输入n=92，方程的基本解：

输入n=73，方程的基本解：

2.枚举设计

应用枚举试值来探求佩尔方程的基本解。

设置y从1开始递增1取值，对于每一个y值，计算a=n*y*y后判别:

若a+1为某一整数x的平方，则（x,y）即为所求佩尔方程的基本解。

若a+1不是平方数，则y增1后再试，直到找到解为止。

应用以上枚举探求，如果解的位数不太大，总可以求出相应的基本解。

如果基本解太大，应用枚举无法找到基本解，可约定一个枚举上限，例如10000000。

可把y<=10000000作为循环条件，当y>10000000时结束循环，输出“未求出该方程的基本解！

”而结束。

3.程序设计

//解PELL方程:

x^2-ny^2=1

#include

#include

voidmain（）

{doublea,m,n,x,y;

printf（"解PELL方程:

x^2-ny^2=1.\n"）;

printf（"请输入非平方整数n:

"）;

scanf（"%lf",&n）;

m=floor（sqrt（n+1））;

if（m*m==n）

{printf（"n为平方数,方程无正整数解!

\n"）;

return;

}

y=1;

while（y<=10000000）

{y++;//设置y从1开始递增1枚举

a=n*y*y;x=floor（sqrt（a+1））;

if（x*x==a+1）//检测是否满足方程

{printf（"方程x^2-%.0fy^2=1的基本解为:

\n",n）;

printf（"x=%.0f,y=%.0f\n",x,y）;

break;

}

}

if（y>10000000）

printf（"未求出该方程的基本解！

"）;

}

4.程序运行示例与说明

解PELL方程:

x^2-ny^2=1.

请输入非平方整数n:

73

方程x^2-73y^2=1的基本解为:

x=2281249,y=267000

为了提高求解方程的范围，数据结构设置为双精度（double）型。

如果设置为整形或长整形，方程的求解范围比设置为双精度型要小。

例如n=73时，设置整形或长整形就不可能求出相应方程的解。

可见，数据结构的设置对程序的应用范围有着直接的影响。

对某些n，相应佩尔方程解的位数太大。

例如当n=991时，相应佩尔方程的基本解达30位。

此时只有通过某些专业算法（例如连分数法）才能进行求解。

5.分解质因数

整数分解质因数是最基本的分解。

例如，90=2*3*3*5,1960=2^3*5*7^2，前者为质因数乘积形式，后者为质因数的指数形式。

把指定区间上的所有整数分解质因数,每一整数表示为质因数从小到大顺序的乘积形式。

如果被分解的数本身是素数，则注明为素数。

例如,92=2*2*23,91（素数!

）。

分解：

1671861＝

5845271＝

6.构建横竖折对称方阵

试观察图所示的横竖折对称方阵的构造特点，总结归纳其构造规律，设计并输出n（奇数）阶对称方阵。

图7阶横竖对称方阵

输出15阶、19阶横竖折对称方阵。

10.统计

试统计含有数字7且不能被7整除的m位整数的个数s1，并指出这s1个数中不含有数字4的整数的个数s2。

输入m,输出s1,s2。

m=5,输出：

m=6,输出：

（1）设计要点

首先通过乘m-1个10计算m位数的起点b=10^（m-1）,为枚举提供范围t（b—10*b-1）。

为了检测m位数t含有多少个数字7，每个m位整数t赋给d（以保持t不变）,然后通过m次求余先后分离出t的m个数字c，if（c==7）f++,统计整数t中数字7的个数f。

同时统计数字4的个数g。

如果f>0，说明整数t中含有数字7。

如果g=0，说明整数t中不含数字4。

对每一个m位整数，据f>0&&t%7>0,s1作相应统计。

据f>0&&t%7>0&&g==0,s2作相应统计。

（2）程序设计

//统计含数字7且不能被7整除的m位整数的个数s1，其中不含数字4的个数s2

#include

voidmain（）

{intc,f,g,i,j,m;

longb,d,s1,s2,t;

printf（"请输入位数m（2<=m<=9）:

"）;scanf（"%d",&m）;

b=1;s1=0;s2=0;

for（i=2;i<=m;i++）b=b*10;//计算m位数的起点

for（t=b;t<=10*b-1;t++）//枚举每一个m位数

{d=t;

f=0;g=0;

for（j=1;j<=m;j++）

{c=d%10;d=d/10;

if（c==7）f++;//统计数字7的个数

if（c==4）g++;//统计数字4的个数

}

if（f>0&&t%7>0）s1++;//统计含数字7且不能被7整除数的个数

if（f>0&&t%7>0&&g==0）s2++;//统计其中不含数字4的个数

}

printf（"s1=%ld,s2=%ld\n",s1,s2）;

}

（3）程序运行示例

请输入位数m（2<=k<=9）:

5

s1=32152,s2=20412

请输入位数m（2<=k<=9）:

6

s1=366522,s2=208300

变通:

求m（m>3）位整数中恰含有2个7且恰含有1个4的整数的个数.

11.构建斜折对称方阵

试观察图所示的斜折对称方阵的构造特点，总结归纳其构造规律，设计并输出n（奇数）阶斜折对称方阵。

图7阶斜折对称方阵

输出15阶、19阶斜折对称方阵。

（1）构造规律与赋值要点

斜折对称方阵的构造特点：

两对角线上均为“0”，依两对角线把方阵分为4个区域，每一区域表现为同数字依附两对角线折叠对称，至上下左右正中元素为n/2。

同样设置2维a[n][n]数组存储方阵中元素，行号为i，列号为j，a[i][j]为第i行第j列元素。

令m=（n+1）/2,按m把方阵分成的4个小矩形区如图所示。

图按m分成的4个小矩形

注意到方阵的主对角线（从左上至右下）上元素为：

i=j，则左上区与右下区依主对角线赋值：

a[i][j]=abs（i-j）;

注意到方阵的次对角线（从右上至左下）上元素为：

i+j＝n+1，则右上区与左下区依次对角线赋值：

a[i][j]=abs（i+j-n-1）;

（2）程序设计

//斜折对称方阵

#include

#include

voidmain（）

{inti,j,m,n,a[30][30];

printf（"请确定方阵阶数（奇数）n:

"）;scanf（"%d",&n）;

if（n%2==0）

{printf（"请输入奇数！

"）;return;}

m=（n+1）/2;

for（i=1;i<=n;i++）

for（j=1;j<=n;j++）

{if（i<=m&&j<=m||i>m&&j>m）

a[i][j]=abs（i-j）;//方阵左上部与右下部元素赋值

if（i<=m&&j>m||i>m&&j<=m）

a[i][j]=abs（i+j-n-1）;//方阵右上部与左下部元素赋值

}

printf（"%d阶对称方阵为:

\n",n）;

for（i=1;i<=n;i++）

{for（j=1;j<=n;j++）//输出对称方阵

printf（"%3d",a[i][j]）;

printf（"\n"）;

}

}

运行以上两个程序，可以在欣赏各个具体的对称方阵中，感受从特例到一般的神奇。

12.台球碰撞

在平面直角坐标系下，台球桌是一个左下角在（0,0），右上角在（L,W）的矩形。

有一个球心在（x,y），半径为R的圆形母球放在台球桌上（整个球都在台球桌内）。

受撞击后，球沿极角为b的射线（即：

x正半轴逆时针旋转到此射线的角度为b）以初速度v飞出。

因球与桌面的磨擦，球作的加速度为a的匀减速率运动，每次碰到球桌边框时均发生完全弹性碰撞（反射角等于入射角）。

试求球停止时球心所在位置。

输入：

l=180,w=120,x=35,y=40,r=5,b=30,v=27,a=6

输出：

（87.61,70.37）

原题：

在平面直角坐标系下，台球桌是一个左下角在（0,0），右上角在（L,W）的矩形。

有一个球心在（x,y），半径为R的圆形母球放在台球桌上（整个球都在台球桌内）。

受撞击后，球沿极角为a的射线（即：

x正半轴逆时针旋转到此射线的角度为a）飞出，每次碰到球桌时均发生完全弹性碰撞（球的速率不变，反射角等于入射角）。

如果球的速率为v，s个时间单位之后球心在什么地方？

输入

输入文件最多包含25组测试数据，每个数据仅一行，包含8个正整数L,W,x,y,R,a,v,s（100<=L,W<=105,1<=R<=5,R<=x<=L-R,R<=y<=W-R,0<=a<360,1<=v,s<=105），含义见题目描述。

L=W=x=y=R=a=v=s=0表示输入结束，你的程序不应当处理这一行。

输出

对于每组数据，输出仅一行，包含两个实数x,y，表明球心坐标为（x,y）。

x和y应四舍五入保留两位小数。

样例输入

样例输出

1001008010590223

1101007010518019999

00000000

80.0056.00

71.0010.00

设计要点:

（1）

（1）确定球心区域

设球心座标为（x,y）,则有球心矩形区域：

x1≤x≤x2，y1≤y≤y2

其中：

x1=r,x2=l-r;y1=r,y2=w-r

（2）没撞击时球位置

设开始时球心位于（x0,y0），球沿极角为a的射线射出，球的速率为v,s