《平行线的证明》专题专练.docx
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《平行线的证明》专题专练
第七章平行线的证明专题专练
专题一定义与命题
一、知识要点
1.定义:
对术语和名称的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义
如“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离的定义.
2.命题:
判断一件事情的句子叫做命题,每个命题都是由条件和结论两部分组成,
条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题一般写成如果……,那么••…
的形式,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.
3.真命题、假命题与反例
真命题:
正确的命题称为真命题.
假命题:
不正确的命题称为假命题.
反例:
要说明一个命题是假命题,通常可以举出一二例子,使之具有命题的条件,
而不具有命题的结论,这个例子称为反例.
4.公理、定理、证明
公理:
人们公认的真命题称为公理.
定理:
经过证明了的真命题称为定理.
证明:
推理的过程称为证明.
二、考点分析:
该考点主要涉及命题的概念和命题的结构形式、判断命题的真假
等.多以选择题的形式出现,以判断真假命题类型题为主要考点.
三、复习策略:
应结合具体实例来理解命题的定义,体会寻找命题的题设和结论
的常用方法----将命题改写成如果……,那么……”的形式,能举反例说明一个命题是
假命题,能利用推理的方法证明一个命题是真命题等.
四、典例分析
例1判断下列语句是不是命题,如果是命题,是真命题还是假命题?
(1)两点之间,线段最短;
(2)作线段AB=CD;(3)你今天上数学课了吗?
(4)
熊猫没有翅膀;(5)对于角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
解析:
判断一个句子是否为命题需抓住两点:
(1)命题必须是一个完整的语句,
且是陈述句,不是疑问句、祈使句;
(2)要对事情作出判断.根据这两条可知
(2)、(3)
不是命题,
(1)、(4)、(5)是命题,且都是真命题.
例2写出下列命题的条件和结论.
(1)如果一个三角形中有两条边相等,那么这个三角形是等腰三角形.
(2)对顶角相等.
解析:
(1)命题一般写成如果A,那么B'的形式,A部分为条件,B部分为结论,
所以
(1)中的条件“一个三角形中有两条边相等”,结论为“这个三角形是等腰三角形”.
(2)对于命题本身不含如果“,那么"词语,此时需将其改写成如果……,那么……”的形式,再找条件和结论,便不易错,所以
(2)中可改成如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”,故条件为“两个角是对顶角”,结论为“这两个角相等”.
专题练习一
1.把垂线段最短”改写成如果……,那么……”的形式是.
2.下列语句中,不是命题的是()
A.直角都相等B.如果ab=0,那么a=0
C.不是对顶角的两个角相等D.连接两点A、B
3.下列命题中,是真命题是是()
A.互补的两角若相等,则此两角都是直角B.直线是平角
C.不相交的两条直线叫平行线D.和为180°的两个角叫邻补角
4.下列命题中,是真命题的是()
1)所有菱形都相似;
(2)任意两个等边三角形都相似;
(3)任意两个等腰三角形都相似;
(4)有一个角相等的两个直角三角形相似;
(5)同位角相等.
A.0个B.1个C.2个D.3个
5.判断下列命题的真假,若是假命题,请举出反例:
(1)若|a|二|b|则a=b;
(2)两个锐角之和一定是钝角;
(3)实数与数轴上的点一一对应.
专题二平行线的判定和性质
一、知识要点
1.平行线的判定公理:
同位角相等,两直线平行.
2.平行线的判定定理1:
同旁内角互补,两直线平行.
3.平行线的判定定理2:
内错角相等,两直线平行.
平行线的性质公理:
两直线平行,同位角相等.
4.平行线的性质定理1:
两直线平行,内错角相等.
平行线的性质定理2:
两直线平行,同旁内角互补.
注意:
对于平行线的判定与性质,一定不要混淆它们的条件和结论,平行线的条
件是由角的数量关系来确定直线的位置关系,平行线的性质是由平行线的位置关系来
确定角的数量关系.对平行线的判定而言,“两直线平行”是结论,对平行线的性质而言,
“两直线平行”是条件.因此,不能随便说“同位角相等”“同旁内角互补”.
二、考点分析:
该考点主要涉及:
(1)与两直线平行条件有关的开放题、探究题
等;
(2)运用平行线的性质进行计算或说理,解决生活中的一些实际问题等.在中考中
多以填空题或选择题形式出现难度不大,但非常重要,在大题中,经常用到./
三、复习策略:
应理解并熟记两直线平行的判定和性质,注意平行线的判定和性
质的区别,同时也可进行适当的探究性问题的训练.
例1如图1,在4AFD和4BEC中,点A,E,F,C在同一直线上,有下面4
个论断:
①AD=CB;②BE=DF;③/B=/D;④AD//BC.请用其中三个作为条件,余
下一个作为结论,写出一个真命题,并证明.
分析:
本题是一道开放性问题,在写命题时,要根据题意找一个比较简单的,这
样解答起来也较容易.
解:
如,已知:
BE=DF,/B=/D,AD=CB.
求证:
AD//BC.
证明:
因为AD=CB,/B=/D,BE=DF,
所以△ADF^zXCBE.
所以/A=/C,所以AD//BC.
点评:
证明两条直线平行,主要根据图形找同位角相等或内错角相等或同旁内角
/EMB=50,
图2
互补.
例2如图2,AB//CD,EF分别交AB,CD于M,N,
MG平分/BMF,MG交CD于G.
求:
/1的度数.
分析:
由AB//CD,得/1=/2,所以要求/1的度数,可求/2的度数.由条件知
1
/2=—NBMF,而/BMF与/EMB是邻补角,所以/BMF=180-50=130.于是可求2
得/2的度数,进而得出/1的度数.
解:
因为AB//CD,所以/1=/2.
又因为/EMB=50,所以/BMF=180-50=130°.
11
因为MG平分/BNF,所以/2=1/BMF=」父130°=65°.所以/1=65.22
点评:
根据平行条件求角的度数,一般借助平行线的性质(两直线平行,同位角
相等、内错角相等或同旁内角互补)解决问题.
专题练习二
1.如图3,△ABC中,/ABC=90°,/A=50°,BD//AC,则/CBD的度数是
2.如图2,直线a//b,则/A的度数是()
A.28B.31C.39D.42
图4
3.如图5,/ABC=/ACB,BD平分/ABC,CE平分/ACB,/DBF=/F.求证:
EC//DF.
4.如图6,AB//EF,求证:
/BCF=/B+/F.
图5
图7
5
/D应满足什么条件?
.如图7,若要能使得AB//ED,/B、/C、
专题三三角形内角和定理
、知识要点
1.探究三角形内角和定理时,将三角形的三个内角凑”在一起,拼成一个平角,从
而得到三角形的内角和等于180°,这里体现了一种重要的数学思想一一转化思想.三角
形内角和定理的证明方法较多,除了转化为平角证明外,还可以利用构造周角”的方法以及两直线平行,同旁内角互补”的方法解析证明
、考点分析:
该考点主要是利用三角形的内角和定理求角的度数或判断三角形
的形状.单独命题时以填空、选择题为主,但大多出现在综合题中
、温馨提示:
复习时,应理解并熟记三角形内角和定理
四、典例分析
例1在4ABC中,/B-/C=40,/A=80°,求/A、/B、/C的度数,并判断
△ABC的形状?
分析:
利用隐含条件:
三角形的三个内角和等于180。
.构造方程求解.
解:
因为/A+/B+/C=180,ZA=80°,
所以/B+/C=100,又/B-ZC=40,
所以/B=70°,/C=30,
所以△ABC为锐角三角形.
点评:
在证明或计算三角形的角度的大小关系时,应注意三角形的三个内角和等于180。
的隐含条件,合理地构造方程(组),特别是在求解有关三角形角的度数的问题时,应体现几何问题代数化,善于使用方程思想,以便于问题的正确求解
例2如图1,/B=42°,/A+10°=/1,/ACD=64,求证:
AB//CD.
分析:
要证明AB//CD,根据图形可知,只需证明/A=64°,利用内
1
AB
图1
错角相等,两直线平行即可证明.或证明/DCB+/B=180°,利用同旁内
角互补,两直线平行也可证明.为此需利用三角形内角和定理求出/A或/1的度数.
证明:
在ZXABC中,/1+/A+/B=180°,
又/B=42°,/A+10°=/1,
所以(/A+10°)+/A+42°=180°.
即2/A+52°=180°,所以/A=64°.
又因为/DCA=64,所以/DCA=/A.
所以AB//CD.
点评:
证明两直线平行,借助于内错角相等,在推导内错角相等时,用到了三角形的内角和定理.
专题练习三
1
三角形.
.在4ABC中,已知/A:
/B:
/C=1:
2:
3,则这个三角形是
2.小华到工厂去进行社会实践活动时,发现工人师傅生产了一种如图2所示的零
件,工人师傅告诉他:
AB//CD,/BAE=35,/AEC=80,小华马上运用所学的数学
知识得出了/ECD的度数,聪明的你一定知道/ECD二
图2
图3
3.若等腰三角形白^一个内角为80°,
则另外两个内角的度数是
4.如图3,在4ABC中,/C=/ABC=2/A,BD是AC边上的高,求/DBC的度
5.如图4,已知AB//DE,求证:
/B+/C+/E=360°.
专题四关注三角形的外角
一、知识要点
三角形内角和定理的两个推论是:
推论1三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
推论2三角形的一个外角等于任何一个和它不相邻的内角
关于三角形外角的重要结论是三角形内角和定理的推论.第一个推论反映了一个外
角与它不相邻的两个的相等关系,应用在证明或计算内角与外角的大小问题中;第二个推论反映了一个外角与它不相邻的内角的不等关系,用于证明和三角形有关的角的不等关系问题中.
二、考点分析:
该考点主要涉及:
(1)利用三角形的外角等于与它不相邻的两个
内角的和”求角的度数;
(2)利用三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角”来证明两角的不等关系.在中考中可以单独命题,但大多数出现在综合题中.
三、复习策略:
应理解并熟记三角形的内角和定理的两个推论,并多练习利用它
们解决有关的证明问题或计算问题的题目.
四、典例分析
例1如图1,已知/1=100°,/2=140°,那么/3=.
分析:
观察图形可知,欲求/3的度数,可先求/4的度数,这只要利
用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可.
解:
因为/1=100°,所以/4=1800°-/1=70°.
又/2=/3+/4.
所以/3=/2-/4=140-70=70°.
点评:
求角的度数,根据三角形的外角性质:
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,因此,只要知道了其中的两个角的度数,就可以求出另一个角的度数.