勾股定理中的动点题.docx

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勾股定理中的动点题

勾股定理中的动点题

勾股定理中的动点题

动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。

一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。

第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。

这类题目难度较大从数学知识点来看，一般考察几何图像的判定和性质（如梯形，相似三角形，直角三角形等）以及函数和方程的知识等综合性很强.从数学思想方法看有：

数形结合的思想方法，转化的思想方法，分类讨论的思想方法，方程的数学，函数的思想方法等关键:

动点中的分类讨论：

抓住运动中的关键点，动中求静.

1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4，∠A=120°．动点P、E、M分别从B、A、D三点同时出发，其中点P沿BA向终点A运动，点E沿AD向终点D运动，点M沿DC向终点C运动，且它们的速度都为每秒2个单位．连接PE、PM、EM，设动点P、E、M运动时间为t（单位：

秒），△PEM的面积为S．

（1）判断△PAE与△EDM是否全等，说明理由；

（2）连接BD，求证：

△EPM∽△ABD；

（3）求S与t的函数关系式，并求出△PEM的面积的最小值．

考点：

相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定；勾股定理；梯形。

解答：

解：

（1）△PAE≌△EDM，

理由如下：

根据题意，得BP=AE=DM=2t，

∵AB=AD=DC=4，∴AP=DE=4﹣2t（1分）∵在梯形ABCD中，AB=DC，

∴∠PAE=∠EDM；（2分）又AP=DE，AE=DM，∴△PAE≌△EDM．（3分）

（2）证明：

∵△PAE≌△EDM，∴PE=EM，∠1=∠2（4分）

∵∠3+∠2=∠1+∠BAD，∴∠3=∠BAD；（5分）

∵AB=AD，∴；（6分）∴△EPM∽△ABD．（7分）

（3）过B点作BF⊥AD，交DA的延长线于F，过P点作PG⊥AD交于G；

在Rt△AFB中，∠4=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，

∴BF=AB•sin∠4=4•sin60°=

∴S△ABD=．（8分）

在Rt△APG中，PG=AP•sin∠4=（4﹣2t）•sin60°=（2﹣t）．

AG=AP•cos∠4=（4﹣2t）•cos60°=2﹣t，

∴GE=AG+AE=2﹣t+2t=2+t．

∵PE2=PG2+GE2∴[（2﹣t）]2+（2+t）2=4t2﹣8t+16．

∵△EPM∽△ABD，∴=（9分）

∴S△EPM=4×=；

∴S与t的函数关系式为S=（0≤t≤2）（10分）

即S=

∴当t=1，S有最小值，最小值为．（12分）

另一解法（略解）在Rt△APG中，PG=AP•sin∠4=（4﹣2t）•sin60°=（2﹣t）．

AG=AP•cos∠4=（4﹣2t）•cos60°=2﹣t．

在Rt△MFD中，FM=DM•sin∠MDF=2t•sin60°=，DF=DM•cos∠MDF=2t•cos60°=t．

∴GF=AG+AD+DF=2﹣t+4+t=6，GE=AG+AE=2﹣t+2t=2+t，

EF=ED+DF=4﹣2t+t=4﹣t；∴S△EPM=S梯形PGFM﹣S△PEG﹣S△EFM=．（0≤t≤2）

2、（2010•湘潭）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．

（1）求证：

△ACD∽△BAC；

（2）求DC的长；

（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．

考点：

二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质。

解答：

解：

（1）∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCA（1分）

又AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，（2分）

∴△ACD∽△BAC（3分）．

（2）……………………4分

∵△ACD∽△BAC∴……………………5分

即解得：

……………………6分

（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，

∴△ACB∽△EGB……………………7分

∴即故…………………8分

==故当t=时，y的最小值为19

3、（2007•河北）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA﹣AD﹣DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD﹣DA﹣AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；

（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC；

（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（4）△PQE能否成为直角三角形？

若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

考点：

等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质；平行四边形的判定。

解：

（1）t=（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P到达终点C．……………（1分）

此时，QC=35×3=105，∴BQ的长为135－105=30．………………（2分）

（2）如图8，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD

为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t

得50＋75－5t=3t，解得t=．经检验，当t=时，有PQ∥DC．………（4分）

（3）①当点E在CD上运动时，如图9．分别过点A、D

作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，

从而FH=AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40．

又QC=3t，从而QE=QC·tanC=3t·=4t．（注：

用相似三角形求解亦可）

∴S=S⊿QCE=QE·QC=6t2；………………………………………………………（6分）

②当点E在DA上运动时，如图8．过点D作DH⊥BC于点H，

由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，

从而ED=QH=QC－CH=3t－30．

∴S=S梯形QCDE=（ED＋QC）DH=120t－600．…………………………（8分）

（4）△PQE能成为直角三角形．……………………………………………………（9分）

当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35．…（12分）

（注：

（4）问中没有答出t≠或t=35者各扣1分，其余写法酌情给分）

下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：

①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图9．过点P作PG⊥BC于点G，则PG=PB·sinB=4t，又有QE=4t=PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形．

②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图8．

由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，

即5t－50＋3t－30≠75，解得t≠．

③当点P在DC上（不包括点D但包括点C），

即25＜t≤35时，如图10．由ED＞25×3－30=45，

可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故∠EPQ不会是直角．

由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角．对于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，

只有当点P与C重合，即t=35时，如图11，∠PQE=90°，△PQE为直角三角形．

综上所述，当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35．

4、（2009•青岛）如图，在梯形ABCD中，，，，，点由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交于Q，连接PE．若设运动时间为（s）（）．解答下列问题：

（1）当为何值时，？

（2）设的面积为（cm2），求与之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻，使？

若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．

（4）连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？

说明理由．

考点：

平行线的判定；根据实际问题列二次函数关系式；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质。

解：

（1）∵∴．

而，∴，∴．

∴当．2分

（2）∵平行且等于，∴四边形是平行四边形．∴．

∵，∴．

∴．∴．．∴．

过B作，交于，过作，交于．

．∵，∴．

又，，，

．6分

（3）．

若，则有，解得

（4）在和中，

∴．

∴在运动过程中，五边形的面积不变．12分

5、如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=9cm，CD=12cm，BC=15cm．点P由点C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，且与AC交于Q点，连接PE，PF．当点P与点Q相遇时，所有运动停止．若设运动时间为t（s）．

（1）求AB的长度；

（2）当PE∥CD时，求出t的值；

（3）①设△PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式；

②如图2，当△PEF的外接圆圆心O恰在EF的中点时，则t的值是多少？

（直接写出答案）

考点：

相似三角形的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理；直角梯形；三角形的外接圆与外心。

解：

（1）过A作AM⊥BC于M，则四边形AMCD是矩形；∴AD=MC=9cm，AM=CD=12cm；

Rt△ABM中，AM=12cm，BM=BC﹣MC=6cm；

由勾股定理，得：

AB=6cm（只写答案给1分）（3分）

（2）∵∠D=90°，AD=9cm，CD=12cm，∴AC==15cm

∴AP=15﹣t当PE∥CD时△AEP∽△ADC

∴=即解得（符合题意）∴当PE∥CD时，t=45/8

（3）①过点E，F作EG⊥AC于G，FH⊥AC于H．因为AC=BC；EF‖AB易证AQ=AE=t（1分）

在RT⊿ADC中，sin∠DAC=DC/AC=12/15∴EG=AE×sin∠DAC=12/15t；

∵AD∥BC∴∠ACB=∠DAC∴FH=CF×sin∠ACB=CF×sin∠DAC=12/15（15-t）=12-12/15t

PQ=15-2tEG+FH=12

∴S△PEF=S△PQE+S△PQF=+==﹣12t+90；

②易知：

AE=CP=t，AP=CF=CQ=15﹣t，∠EAP=∠FCP，

∴△AEP≌△CPF，∴EP=PF；

∵EF是⊙O的直径∴∠EPF=90°；

∴△EPF是等腰直角三角形；易知EF=AB=6cm；

∴S=1/2×6×3=45cm2；

代入①的函数关系式，得：

﹣12t+90=45，解得t=．（3分）

点评：

此题考查了直角梯形的性质、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形和相似三角形的判定和性质等知识的综合应用能力．

6、如图，在直角梯形中OABC，已知B、C两点的坐标分别为B（8，6）、C（10，0），动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动，速度为1单位/秒；同时，线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，速度为1单位/秒，交OB于点N，连接DM．

若设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．

（1）当t为何值时，以B、D、M为顶点的三角形△OAB与相似？

（2）设△DMN的面积为y，求y与t之间的函数关系式；

（3）连接ME，在上述运动过程中，五边形MECBD的面积是否总为定值？

若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

考点：

相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；直角梯形。

专题：

综合题；动点型；分类讨论。

解：

（1）分类讨论。

若△BAO∽△BDM，则，（1分）

在直角梯形中OABC由B（8，6）、C（10，0）可知AB=8，OA=6：

OB=OC=10

8/t=10/10-t解得t=40/9（2分）

若△BAO∽△BMD，，（3分）即8/10-t=，解得t=；（4分）

所以当t=40/9t=50/9，以B，D，M为顶点的三角形与△OAB相似．

（2）过点M作MF⊥AB于F，则△BFM∽△BAO；

从而MF/6=（10-t）/10，所以MF=6﹣5/3×t，（5分）

S△BDM=1/2BD•MF=1/2t（6﹣5/3×t），（6分）

容易证△BDN∽△OBC

S△OBC=1/2×10×6=30，S△BDM/S△OBC=（）2，所以S△BDN=t2（7分）

①当0＜t≤5时，y=S△DMN=S△BDM﹣S△BDN=t（6﹣t）﹣t2=﹣t2+3t；

②当5＜t＜8时，y=S△DMN=S△BDN﹣S△BDM=t2﹣t（6﹣t）=．（8分）

（3）在△BDM与△OME中，

BD=OM=t，∠MBD=∠EOM，BM=EO=10﹣t，

所以△BDM≌△OME；（9分）

从而五边形MECBD的面积等于三角形OBC的面积，因此它是一个定值，

SMECBD=30．（10分）

点评：

此题考查的知识点有：

直角梯形的性质、相似三角形及全等三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，

（2）题中一定要根据M、N的不同位置分类讨论，以免漏解．

7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=4，BD⊥CD，E是BC的中点．

（1）求∠DBC的度数；

（2）求BC的长；

（3）点P从点B出发沿B→C以每秒3个单位的速度向点C匀速运动，同时点Q从点E出发沿E→D以每秒1个单位的速度向点D匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t（s），连接PQ．当t为何值时△PEQ为等腰三角形．

考点：

梯形；等腰三角形的判定。

解：

（1）设∠DBC=x，因为AD∥BC，AB=AD，

所以∠ABD=∠ADB=x，四边形ABCD为等腰梯形，∠BCD=2x，

又BD⊥CD，所以x+2x=90°，即x=30°．即∠DBC=30°．

（2）在Rt△BCD中，E是BC的中点，所以DE=BE=CE

又∠C=60°，所以△CDE为等边三角形．所以DE=DC=4，即BC=2DE=8．

（3）若点P在BE上，因为∠PEQ=120°，所以PE=QE；即4﹣3t=t，解之t=1s；

若P在EC上，因为∠PEQ=60°，所以PE=QE，

即3t﹣4=t，解之t=2s．所以当t=1s或t=2s时，△PEQ是等腰三角形．

8、（2009•乐山）如图在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AD=6厘米，DC=4厘米，BC的坡度i=3：

4，动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B⇒C⇒D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．

（1）求边BC的长；

（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；

（3）连接PQ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？

最大值是多少？

考点：

梯形；二次函数的最值。

专题：

分类讨论。

解：

（1）作CE⊥AB于E，则四边形ADCE是矩形．又…….2分

在中，由勾股定理得：

………3分

（2）要使PC与BQ相互平分由，只需保证四边形CPBQ是平行四边形，

此时在上）由

（1），得AB=4+8=12，则PB=12﹣2t．

即解得即秒时，与相互平分．

（3）①当在上，即时，作于，则

即8分

=9分

当秒时，有最大值为10分

②当在上，即时，

=易知随的增大而减小．故当秒时，

有最大值为

综上，当时，有最大值为12分

9、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AD=6，BC=12，梯形ABCD的面积为36，动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向点B运动，两点同时出发，点P到达点C时，Q点随之停止运动．

（1）线段CD的长为　5　；

（2）设P、Q运动时间为t（0＜t＜5）秒，PQ与梯形ABCD的边DC、BC所围成的三角形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻，使以P、Q、C三点为顶点的三角形是直角三角形，若有，请求出相应时间；若没有，请说明理由．

考点：

梯形；一次函数综合题；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质。

专题：

代数几何综合题；存在型；分类讨论。

分析：

（1）作AE⊥BC，DF⊥BC，则四边形ADFE是矩形，△ABE≌△DCF，由勾股定理可求得CD的值；

（2）过点P作PG⊥BC于点G，则PG是△PCQ的高，由平行线的性质可求得高PG用t表示的代数式，而CQ=2t，故可求得S与t的关系式；

（3）分两种情况讨论：

当PQ⊥BC时，作DE⊥BC于E，由平行线分线段成比例可求解；当QP⊥CD时，可由相似三角形的性质求解．

解答：

解：

（1）作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分为点E、F，则四边形ADFE是矩形，EF=AD=6，AE=DF，

由题意四边形ABCD是等腰梯形，AB=CD，∠AEB=∠DFC，

∴△ABE≌△DCF，

∴CF=BE=（BC﹣EF）÷2=3

∵梯形的面积为36，

∴DF=36×2÷（AD+BC）=36×2÷（6+12）=4

在Rt△CDF中，由勾股定理得CD==5；

（2）过点P作PG⊥BC于点G，则PG是△PCQ的高，有PG∥DF，

∴PG：

DF=CP：

CD，

∵DP=t，CD=5，DF=4，PC=CD﹣DP

∴PG=，

∵CQ=2t，

∴S△PCQ=CQ•PG=•2t•=

（3）当P、Q、C三点构成的三角形是直角三角形时，有两种情况：

①当PQ⊥BC时，作DE⊥BC于E，

∴PQ∥DE，

∴=，∴t=（7分）

②当QP⊥CD时，

∵∠QPC=∠DEC=90°，∠C=∠C，∴△QPC∽△DEC，

∴=，=，∴t=（9分）

由①、②知：

当t=或时，P、Q、C三点构成的三角形是直角三角形

点评：

本题考查了等腰梯形的性质，利用了平行线分线段成比价的性质、相似三角形的知识．注意处级（3）小题要分两种情况讨论．

10、菱形ABCD的边长为24厘米，∠A=60°，质点P从点A出发沿着AB﹣BD﹣DA作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿着线路DC﹣CB﹣BD作匀速运动．

（1）求BD的长；

（2）已知质点P、Q运动的速度分别为4cm/秒、5cm/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形，并说明理由．

考点：

菱形的性质。

专题：

计算题；动点型。

分析：

（1）根据菱形各边长相等和∠A=60°即可求证△ABD为等边三角形；

（2）根据菱形的边长和P、Q的移动速度可以求得M、N的位置，即可求得△AMN的形状．

解答：

解：

（1）菱形各边长相等，边长为24cm，∠A=60°，

∴△ABD为等边三角形，∴BD=24厘米，

（2）P点的移动速度为4cm/秒、Q的移动速度为5cm/秒，

故12秒后P与D重合、Q点为线段BD的中点，∴△AMN为直角三角形．

点评：

本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了等边三角形的判定，考查了等腰三角形的腰长相等的性质，本题中正确求得M、N的位置是解题的关键．

11、如图矩形ABCD中，AB=10cm，AD=6cm，在BC边上取一点E，将△ABE沿AE翻折，使点B落在DC边上的点F处．

（1）求CF和EF的长；

（2）如图2，一动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AF向终点F作匀速运动，过点P作PM∥EF交AE于点M，过点M作MN∥AF交EF于点N．设点P运动的时间为t（0＜t＜10），四边形PMNF的面积为S，试探究S的最大值？

（3）以A为坐标原点，AB所在直线为横轴，建立平面直角坐标系，如图3，在

（2）的条件下，连接FM，若△AMF为等腰三角形，求点M的坐标．

考点：

相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质。

专题：

代数几何综合题；动点型；分类讨论。

分析：

（1）根据翻折对称性EF=BE，AF=AB，利用勾股定理求出DF的长，CF=AB﹣DF，在△CEF中，设EF为x，

则CE=6﹣x，利用勾股定理列式求解即可求出EF；

（2）根据相似三角形对应边成比例求出PM的长，矩形的面积等于PM•PF，再根据二次函数最值问题求解；

（3）因为三角形的腰不明确，分AM=MF和AM=AF两种情况讨论，①当AM=MF时，根据等腰三角形三线合一的性质点M是AE的中点，根据三角形中位线定理即可求出点M的坐标；②当AM=AF时，根据相似三角形对应边成比例求解点M的坐标．

解：

（1）由题意，得AB=AF=10，

∵AD=6，∴DF=8，∴CF=2．（2分）

设EF=x，则BF=EF=x，CE=6﹣x

在Rt△CEF中，22+（6﹣x）2=x2解得，，∴；（4分）

（2）∵PM∥EF，

∴△APM∽△AFE，∴即，∴，

∵PMNF是矩形，∴S=PM•PF=（6分）

∵，∴当时，；（8分）

（3）①若AM=FM，则，

过点M作MG⊥AB于G，则△AMG∽△AEB，

∴，，∴M（5，）；（11分）

②若AM=AF=10，过点M作MH⊥AB于H，

由△AMH∽△AEB，得AH=3，MH=，

∴M（3，）．故点M的坐标为（5，）或（3，）．

点评：

本题综合性较强，主要利用勾股定理，等腰三角形的性质，二次函数最值问题求解，相似三角形对应边成比例的性质，熟练掌握各定理和性质并灵活运用是解