勾股定理中的动点题.docx

1、勾股定理中的动点题勾股定理中的动点题勾股定理中的动点题动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。 这类题目难度较大从数学知识点来看，一般考察几何图像的判定和性质（如梯形，相似三角形，直角三角形等）以及函数和方程的知识等综合性很强. 从数学思想方法看有

2、：数形结合的思想方法，转化的思想方法，分类讨论的思想方法，方程的数学，函数的思想方法等关键:动点中的分类讨论：抓住运动中的关键点，动中求静.1、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC=4，A=120动点P、E、M分别从B、A、D三点同时出发，其中点P沿BA向终点A运动，点E沿AD向终点D运动，点M沿DC向终点C运动，且它们的速度都为每秒2个单位连接PE、PM、EM，设动点P、E、M运动时间为t（单位：秒），PEM的面积为S（1）判断PAE与EDM是否全等，说明理由；（2）连接BD，求证：EPMABD；（3）求S与t的函数关系式，并求出PEM的面积的最小值考点：相似三角形的判定与性质

3、；二次函数的最值；全等三角形的判定；勾股定理；梯形。解答：解：（1）PAEEDM，理由如下：根据题意，得BP=AE=DM=2t，AB=AD=DC=4，AP=DE=42t（1分）在梯形ABCD中，AB=DC，PAE=EDM；（2分） 又AP=DE，AE=DM， PAEEDM（3分）（2）证明：PAEEDM， PE=EM，1=2（4分）3+2=1+BAD， 3=BAD；（5分）AB=AD，；（6分） EPMABD（7分）（3）过B点作BFAD，交DA的延长线于F，过P点作PGAD交于G；在RtAFB中，4=180BAD=180120=60，BF=ABsin4=4sin60=SABD= （8分）在R

4、tAPG中，PG=APsin4=（42t）sin60= （2t） AG=APcos4=（42t）cos60=2t，GE=AG+AE=2t+2t=2+tPE2= PG2+ GE2 （2t）2+（2+t）2=4t28t+16 EPMABD， = （9分）SEPM=4 =；S与t的函数关系式为S= （0t2）（10分）即S=当t=1，S有最小值，最小值为 （12分）另一解法（略解）在RtAPG中，PG=APsin4=（42t）sin60=（2t）AG=APcos4=（42t）cos60=2t在RtMFD中，FM=DMsinMDF=2tsin60=，DF=DMcosMDF=2tcos60=tGF=AG

5、+AD+DF=2t+4+t=6，GE=AG+AE=2t+2t=2+t，EF=ED+DF=42t+t=4t；SEPM=S梯形PGFMSPEGSEFM=（0t2） 2、（2010湘潭）如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，D=90，ACBC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0t5）（1）求证：ACDBAC；（2）求DC的长；（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值考点：二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质。解答：解：（1）CDAB

6、，BAC=DCA（1分）又ACBC，ACB=90，D=ACB=90，（2分）ACDBAC（3分）（2） 4分 ACDBAC 5分即 解得： 6分（3） 过点E作AB的垂线，垂足为G， ACBEGB 7分 即 故 8分 = 故当t=时，y的最小值为193、（2007河北）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=50，AD=75，BC=135点P从点B出发沿折线段BAADDC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QKBC，交折线段CDDAAB于点E点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止设

7、点P、Q运动的时间是t秒（t0）（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQDC；（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质；平行四边形的判定。解：（1）t =（507550）5=35（秒）时，点P到达终点C（1分）此时，QC=353=105，BQ的长为135105=30（2分）（2）如图8，若PQDC，又ADBC，则四边形P

8、QCD为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t得50755t=3t，解得t=经检验，当t=时，有PQDC（4分）（3）当点E在CD上运动时，如图9分别过点A、D作AFBC于点F，DHBC于点H，则四边形ADHF为矩形，且ABFDCH，从而FH= AD=75，于是BF=CH=30DH=AF=40又QC=3t，从而QE=QCtanC=3t=4t（注：用相似三角形求解亦可）S=SQCE =QEQC=6t2；（6分）当点E在DA上运动时，如图8过点D作DHBC于点H，由知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QCCH=3t30S= S梯形QCDE =(EDQC)DH

9、 =120t600（8分）（4）PQE能成为直角三角形（9分）当PQE为直角三角形时，t的取值范围是0t25且t或t=35（12分）（注：（4）问中没有答出t或t=35者各扣1分，其余写法酌情给分）下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：当点P在BA（包括点A）上，即0t10时，如图9过点P作PGBC于点G ，则PG=PBsinB=4t，又有QE=4t = PG，易得四边形PGQE为矩形，此时PQE总能成为直角三角形当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10t25时，如图8由QKBC和ADBC可知，此时，PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，即5t503t3075，解得t当点P在DC

10、上（不包括点D但包括点C），即25t35时，如图10由ED25330=45，可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故EPQ不会是直角由PEQDEQ，可知PEQ一定是锐角对于PQE，PQECQE，只有当点P与C重合，即t=35时，如图11，PQE=90，PQE为直角三角形综上所述，当PQE为直角三角形时，t的取值范围是0t25且t或t=354、（2009青岛）如图，在梯形ABCD中，点由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交于Q，连接PE若设运动时间为（s）（）解答下列问题：（1）当为何值时，？（2）设的面积为（cm2），

11、求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由（4）连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由考点：平行线的判定；根据实际问题列二次函数关系式；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质。解：（1） 而， ， 当 2分（2）平行且等于，四边形是平行四边形 ， 过B作，交于，过作，交于， 又， ， ， 6分（3）若，则有， 解得（4）在和中， 在运动过程中，五边形的面积不变 12分5、如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，D=90，AD=9cm，CD=12cm，BC=15cm点P由点C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时

12、，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，且与AC交于Q点，连接PE，PF当点P与点Q相遇时，所有运动停止若设运动时间为t（s）（1）求AB的长度；（2）当PECD时，求出t的值；（3）设PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式；如图2，当PEF的外接圆圆心O恰在EF的中点时，则t的值是多少？（直接写出答案）考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理；直角梯形；三角形的外接圆与外心。解：（1）过A作AMBC于M，则四边形AMCD是矩形；AD=MC=9cm，AM=CD=12cm；RtABM中，AM=12cm，BM=BCMC=6cm；由勾股定理，得：AB

13、=6cm（只写答案给1分）（3分）（2）D=90，AD=9cm，CD=12cm，AC=15cmAP=15t 当PECD时AEPADC= 即 解得 （符合题意） 当PECD时，t=45/8（3）过点E，F作EGAC于G，FHAC于H因为AC=BC；EFAB易证AQ=AE=t（1分）在RTADC中，sinDAC=DC/AC=12/15 EG=AEsinDAC=12/15t；ADBC ACB =DAC FH=CFsinACB=CFsinDAC=12/15(15-t)=12-12/15tPQ=15-2t EG+FH=12SPEF=SPQE+SPQF=+= = 12t+90；易知：AE=CP=t，AP=

14、CF=CQ=15t，EAP=FCP，AEPCPF，EP=PF；EF是O的直径 EPF=90；EPF是等腰直角三角形；易知EF=AB=6cm；S=1/263=45cm2；代入的函数关系式，得：12t+90=45，解得t=（3分）点评：此题考查了直角梯形的性质、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形和相似三角形的判定和性质等知识的综合应用能力 6、如图，在直角梯形中OABC，已知B、C两点的坐标分别为B（8，6）、C（10，0），动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动，速度为1单位/秒；同时，线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，速度为1单位/秒，交OB于点N，连接DM若设运动时间为t（s）（0t8）（1

15、）当t为何值时，以B、D、M为顶点的三角形OAB与相似？（2）设DMN的面积为y，求y与t之间的函数关系式；（3）连接ME，在上述运动过程中，五边形MECBD的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；直角梯形。专题：综合题；动点型；分类讨论。解：（1）分类讨论。 若BAOBDM，则，（1分）在直角梯形中OABC由B（8，6）、C（10，0）可知AB=8，OA=6：OB=OC=108/t=10/10-t 解得t=40/9 （2分）若BAOBMD，（3分）即8/10-t=，解得t=；（4分）所以当t= 40/9 t=50/9，以B，D

16、，M为顶点的三角形与OAB相似（2）过点M作MFAB于F，则BFMBAO；从而MF/6=(10-t)/10，所以MF=65/3t，（5分）SBDM=1/2BDMF=1/2t（65/3t），（6分）容易证BDNOBCSOBC=1/2106=30，SBDM / SOBC =（）2，所以SBDN=t2（7分）当0t5时，y=SDMN=SBDMSBDN=t（6t）t2=t2+3t；当5t8时，y=SDMN=SBDNSBDM=t2t（6t）=（8分）（3）在BDM与OME中，BD=OM=t，MBD=EOM，BM=EO=10t，所以BDMOME；（9分）从而五边形MECBD的面积等于三角形OBC的面积，因

17、此它是一个定值，SMECBD=30（10分）点评：此题考查的知识点有：直角梯形的性质、相似三角形及全等三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，（2）题中一定要根据M、N的不同位置分类讨论，以免漏解 7、如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=AD=4，BDCD，E是BC的中点（1）求DBC的度数；（2）求BC的长；（3）点P从点B出发沿BC以每秒3个单位的速度向点C匀速运动，同时点Q从点E出发沿ED以每秒1个单位的速度向点D匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动设运动时间为t（s），连接PQ当t为何值时PEQ为等腰三角形考点：梯形；等腰三角形的判定。解：（1）设DBC=x，因为

18、ADBC，AB=AD，所以ABD=ADB=x，四边形ABCD为等腰梯形，BCD=2x，又BDCD， 所以x+2x=90，即x=30即DBC=30（2）在RtBCD中，E是BC的中点，所以DE=BE=CE又C=60，所以CDE为等边三角形所以DE=DC=4，即BC=2DE=8（3）若点P在BE上，因为PEQ=120，所以PE=QE；即43t=t，解之t=1s；若P在EC上，因为PEQ=60，所以PE=QE，即3t4=t，解之t=2s所以当t=1s或t=2s时，PEQ是等腰三角形8、（2009乐山）如图在梯形ABCD中，DCAB，A=90，AD=6厘米，DC=4厘米，BC的坡度i=3：4，动点P从

19、A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为t秒（1）求边BC的长；（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；（3）连接PQ，设PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？考点：梯形；二次函数的最值。专题：分类讨论。解：（1）作CEAB于E，则四边形ADCE是矩形 又.2分在中，由勾股定理得：3分（2）要使PC与BQ相互平分由，只需保证四边形CPBQ是平行四边形，此时在上）由（1），得AB=4+8=12，则PB=122

20、t即解得即秒时，与相互平分（3）当在上，即时，作于，则即 8分= 9分当秒时，有最大值为 10分当在上，即时，=易知随的增大而减小故当秒时， 有最大值为 综上，当时，有最大值为 12分 9、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，AD=6，BC=12，梯形ABCD的面积为36，动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向点B运动，两点同时出发，点P到达点C时，Q点随之停止运动（1）线段CD的长为5；（2）设P、Q运动时间为t（0t5）秒，PQ与梯形ABCD的边DC、BC所围成的三角形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）是否存

21、在某一时刻，使以P、Q、C三点为顶点的三角形是直角三角形，若有，请求出相应时间；若没有，请说明理由考点：梯形；一次函数综合题；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质。专题：代数几何综合题；存在型；分类讨论。分析：（1）作AEBC，DFBC，则四边形ADFE是矩形，ABEDCF，由勾股定理可求得CD的值；（2）过点P作PGBC于点G，则PG是PCQ的高，由平行线的性质可求得高PG用t表示的代数式，而CQ=2t，故可求得S与t的关系式；（3）分两种情况讨论：当PQBC时，作DEBC于E，由平行线分线段成比例可求解；当QPCD时，可由相似三角形的性质求解解答：解：（1）作AEBC，DFBC，垂足

22、分为点E、F，则四边形ADFE是矩形，EF=AD=6，AE=DF，由题意四边形ABCD是等腰梯形，AB=CD，AEB=DFC，ABEDCF，CF=BE=（BCEF）2=3梯形的面积为36，DF=362（AD+BC）=362（6+12）=4在RtCDF中，由勾股定理得CD=5； （2）过点P作PGBC于点G，则PG是PCQ的高，有PGDF，PG：DF=CP：CD，DP=t，CD=5，DF=4，PC=CDDPPG=，CQ=2t，SPCQ=CQPG=2t= （3）当P、Q、C三点构成的三角形是直角三角形时，有两种情况：当PQBC时，作DEBC于E， PQDE，=， t=（7分）当QPCD时， QPC

23、=DEC=90，C=C，QPCDEC，=，=，t=（9分）由、知：当t=或时，P、Q、C三点构成的三角形是直角三角形点评：本题考查了等腰梯形的性质，利用了平行线分线段成比价的性质、相似三角形的知识注意处级（3）小题要分两种情况讨论 10、菱形ABCD的边长为24厘米，A=60，质点P从点A出发沿着ABBDDA作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿着线路DCCBBD作匀速运动（1）求BD的长；（2）已知质点P、Q运动的速度分别为4cm/秒、5cm/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问AMN是哪一类三角形，并说明理由考点：菱形的性质。专题：计算题；动点型。分析：（1）

24、根据菱形各边长相等和A=60即可求证ABD为等边三角形；（2）根据菱形的边长和P、Q的移动速度可以求得M、N的位置，即可求得AMN的形状解答：解：（1）菱形各边长相等，边长为24cm，A=60，ABD为等边三角形，BD=24厘米，（2）P点的移动速度为4cm/秒、Q的移动速度为5cm/秒，故12秒后P与D重合、Q点为线段BD的中点， AMN为直角三角形点评：本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了等边三角形的判定，考查了等腰三角形的腰长相等的性质，本题中正确求得M、N的位置是解题的关键11、如图矩形ABCD中，AB=10cm，AD=6cm，在BC边上取一点E，将ABE沿AE翻折，使点B落在DC边

25、上的点F处（1）求CF和EF的长；（2）如图2，一动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AF向终点F作匀速运动，过点P作PMEF交AE于点M，过点M作MNAF交EF于点N设点P运动的时间为t（0t10），四边形PMNF的面积为S，试探究S的最大值？（3）以A为坐标原点，AB所在直线为横轴，建立平面直角坐标系，如图3，在（2）的条件下，连接FM，若AMF为等腰三角形，求点M的坐标考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质。专题：代数几何综合题；动点型；分类讨论。分析：（1）根据翻折对称性EF=BE，AF=AB，利用勾股定理求出DF的长，CF=ABDF，在C

26、EF中，设EF为x，则CE=6x，利用勾股定理列式求解即可求出EF；（2）根据相似三角形对应边成比例求出PM的长，矩形的面积等于PMPF，再根据二次函数最值问题求解；（3）因为三角形的腰不明确，分AM=MF和AM=AF两种情况讨论，当AM=MF时，根据等腰三角形三线合一的性质点M是AE的中点，根据三角形中位线定理即可求出点M的坐标；当AM=AF时，根据相似三角形对应边成比例求解点M的坐标解：（1）由题意，得AB=AF=10，AD=6，DF=8，CF=2（2分）设EF=x，则BF=EF=x，CE=6x在RtCEF中，22+（6x）2=x2解得，；（4分）（2）PMEF，APMAFE， 即， ，PMNF是矩形，S=PMPF=（6分），当时，；（8分） （3）若AM=FM，则，过点M作MGAB于G，则AMGAEB，M（5，）；（11分）若AM=AF=10，过点M作MHAB于H，由AMHAEB，得AH=3，MH=，M（3，）故点M的坐标为（5，）或（3，）点评：本题综合性较强，主要利用勾股定理，等腰三角形的性质，二次函数最值问题求解，相似三角形对应边成比例的性质，熟练掌握各定理和性质并灵活运用是解